1、2021年天津市滨海新区塘沽一中高考数学三模试卷一、选择题（共9小题）.1设全集为R，集合AxZ|1x3，集合B1，2，则集合A（RB）（）A1，0B（1，1）（2，3C（0，1）（1，2）（2，3D0，32设xR，则“|x1|4”是“0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3函数f（x）的部分图象大致为（）ABCD4为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在9，11）的学生人数为25，则n的值为（）A70B60C50D405已知各顶点都在一个球
2、面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16 B20C24D326已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（，0上是增函数设af（log80.2），bf（log0.34），cf（21.1），则a，b，c的大小关系是（）AcbaBabcCacbDcab7已知函数f（x）sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）8已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若M
3、AN60，则双曲线C的离心率为（）ABCD29已知函数g（x），f（x）|kx2|g（x）在（0，+）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A（48，+）B（48，1）（1，+）C（48，4）D（48，1）（1，4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10复数z（i是虚数单位）的实部为 ，|z| 11已知F是抛物线y4x2的焦点，点P（x0，y0）在抛物线上，且|PF|2，则y0 12某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有 种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用表示他遇到红灯的次数，则E（） .（用数字
4、作答）13二项式（x）6的展开式中常数项为20，则含x4项的系数为 .（用数字作答）14如图，在四边形ABCD中，B60，AB2，BC6，且，2，则实数的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为 15已知正实数a，b满足：a+b1，则的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16函数f（x）（sinx+cosx）2+cos（2x+）（）求函数f（x）的最小正周期并求当x0，时，函数f（x）的最大值和最小值（）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）1，sinC2sinB，且a2，求ABC的面积17如图，在多面体ABC
5、A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA平面ABB1A1，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1（）求证：AB1平面A1C1C（）求异面直线CA1与BC1所成角的余弦值（）若点M是线段AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角CA1C1M的余弦值为18已知数列an，bn，Sn是数列an的前n项和，已知对于任意nN*，都有3an2Sn+3，数列bn是等差数列，b1log3a1，且b2+5，b4+1，b63成等比数列（）求数列an和bn的通项公式（）记cn，求数列cn的前n项和Tn（）求ckck+119椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直
6、线被椭圆C截得的线段长为3（）求椭圆C的方程；（）已知点H（0，1），若直线yx+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为2，求实数t的值（）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围20（16分）已知函数f（x）m（klnx）+nex+1（ex+1ax+a1），其中e2.718是自然对数的底数，f（x）是函数f（x）的导数（）若m1，n0，（）当k1时，求曲线f（x）在x1处的切线方程（）当k0时，判断函数f（x）在区间（1，上零点的个数（）若m0，n1，当a时，求证：若x1x2，且x1+x22，
7、则f（x1）+f（x2）2参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集为R，集合AxZ|1x3，集合B1，2，则集合A（RB）（）A1，0B（1，1）（2，3C（0，1）（1，2）（2，3D0，3解：全集为R，集合AxZ|1x30，1，2，3，集合B1，2，集合A（RB）0，3故选：D2设xR，则“|x1|4”是“0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：解|x1|4，得Ax|3x5，解，得Bx|2x5，BA，A是B的必要不充分条件故选：B3函数f（x）的部分图象大致为（）ABCD解：函数的定义域为（，0）（0，+）
8、，则函数f（x）为奇函数，可排除AC；又，可排除D故选：B4为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在9，11）的学生人数为25，则n的值为（）A70B60C50D40解：由频率分布直方图得学习时长在9，11）的频率为：1（0.05+0.15+0.05）20.5，学习时长在9，11）的学生人数为25，n50故选：C5已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16 B20C24D32解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱（
9、其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，设正四菱形的底面边长为a，则a2416，解得a2，这个球的半径r，这个球的表面积S4（）224故选：C6已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（，0上是增函数设af（log80.2），bf（log0.34），cf（21.1），则a，b，c的大小关系是（）AcbaBabcCacbDcab解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在（，0上是增函数，则f（x）在（0，+）为减函数，则af（log80.2）f（log85），bf（log0.34）f（），又由0log851221.1，则有cba，故选：A7已知函数f（x）sin（2x+），其中
10、为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）解：若f（x）|f（）|对xR恒成立，则f（）为函数的函数的最大值或最小值，即2+k+，kZ，则k+，kZ，又f（）f（），sin（+）sinsin（2+）sin，sin0令k1，此时，满足条件sin0，令2x2k，2k+，kZ，解得：xk+，k+（kZ）则f（x）的单调递增区间是k+，k+（kZ）故选：C8已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则双曲线C的离心率为（）
11、ABCD2解：双曲线的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，可得A到渐近线bx+ay0的距离为：bcos30b，可得：b，即，可得离心率为：e故选：A9已知函数g（x），f（x）|kx2|g（x）在（0，+）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A（48，+）B（48，1）（1，+）C（48，4）D（48，1）（1，4）解：f（x）|kx2|g（x）在（0，+）上有3个不同的零点，|kx2|g（x）在（0，+）上有3个不同的解，当k0时，g（x）2，显然有3个不同的解，当k4时，由图可知，函数y|kx2|和yg（x）在（0
12、，+）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当1k4时，由图可知，函数y|kx2|和yg（x）在（0，+）上有3个不同的交点，如下图所示，当k1时，由图可知，函数y|kx2|和yg（x）在（0，+）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当0k1时，由图可知，函数y|kx2|和yg（x）在（0，+）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当k0时，由图可知，要使|kx2|g（x）在（0，+）上有3个不同的解，必须满足y|kx2|与y4x2+8x（0x2）有两个不同的交点，当y|kx2|与y4x2+8x（0x2）相切时，满足|kx2|4x2+8x有唯一根，如下图所示，此时2kx4x2+8
13、x有唯一解，由0可求得k或k（舍去），k0，综上所述，k1或1k4故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10复数z（i是虚数单位）的实部为，|z|解：z，复数z的实部为；|z|故答案为：；11已知F是抛物线y4x2的焦点，点P（x0，y0）在抛物线上，且|PF|2，则y0解：抛物线y4x2的标准方程是x2y，其准线方程是y，点P（x0，y0），|PF|2点P到准线的距离为2，即y0+2，得y故答案为：12某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有15种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用表示他遇到红灯的次数
14、，则E（）2.（用数字作答）解：经过6个红绿灯路口，遇到2次红灯的分布情形有种，随机变量B（6，），E（）故答案为：15，213二项式（x）6的展开式中常数项为20，则含x4项的系数为6.（用数字作答）解：二项式（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1（a）rx62r，令62r0，求得r3，可得展开式中常数项为a320，a1则令62r4，求得r1，可得展开式中含x4项的系数为（1）6，故答案为：614如图，在四边形ABCD中，B60，AB2，BC6，且，2，则实数的值为，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为解：建立如图以 B 点为坐标原点的坐标系，设 ，由，得 ，所以，当 M 在 N
15、 的左侧时，设 M（x，0），N（x+1，0），x0，5，当 M 在 N 的右侧时，设 N（x，0），M（x+1，0），x0，5，综上 的最小值为 故答案为：15已知正实数a，b满足：a+b1，则的最大值是解：正实数a，b满足：a+b1，b1a，+，而（a+1）+32323，当且仅当（a+1）23时“”成立，故，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16函数f（x）（sinx+cosx）2+cos（2x+）（）求函数f（x）的最小正周期并求当x0，时，函数f（x）的最大值和最小值（）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）1，si
16、nC2sinB，且a2，求ABC的面积解：（I）f（x）（sinx+cosx）2+cos（2x+）1+sin2xcos2x1+2sin（2x），T，当x0，时，（2x），所以sin（2x），1，故当2x，即x时，函数取得最大值3，当2x，即x0时，函数取得最小值1；（II）f（）1+2sin（2A）1，即sin（2A）0，由A为三角形内角，得A，由sinC2sinB及正弦定理得c2b，由余弦定理，得a2b2+c2bc，所以4b2+4b22b2，故，ABC的面积S17如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA平面ABB1A1，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1（）
17、求证：AB1平面A1C1C（）求异面直线CA1与BC1所成角的余弦值（）若点M是线段AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角CA1C1M的余弦值为【解答】（）证明：因为CA平面ABB1A1，所以CAAB，CAA1A，因为四边形ABB1A1是正方形，所以ABA1A，所以AC、AB、AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，（0，1，1），（1，0，1），（，0），设平面A1C1C的法向量为（x，y，z），令y1，（1，1，1），因为1+10，所以AB1平面A1C1C（）解：因为（1，0，1），（，1），所以异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为（）解：设AMt，则M（0，t，0），（，
18、0），（0，t，1），设平面A1C1M的法向量为（u，v，w），令v1，（1，1，t），由（）知平面A1C1C的法向量为（1，1，1），所以二面角CA1C1M的余弦值为，整理得（t1）（t5）0，解得t1，t5（舍去），于是当M运动到B点时二面角CA1C1M的余弦值为18已知数列an，bn，Sn是数列an的前n项和，已知对于任意nN*，都有3an2Sn+3，数列bn是等差数列，b1log3a1，且b2+5，b4+1，b63成等比数列（）求数列an和bn的通项公式（）记cn，求数列cn的前n项和Tn（）求ckck+1解：（）对于任意nN*，都有3an2Sn+3，可得n1时，3a12S1+32a1
19、+3，解得a13，n2时，3an12Sn1+3，又3an2Sn+3，可得3an3an12Sn+32Sn132an，即为an3an1，所以an33n13n；数列bn是等差数列，设公差为d，b1log3a1log331，由b2+5，b4+1，b63成等比数列，可得（b4+1）2（b2+5）（b63），即为（2+3d）2（6+d）（5d2），解得d2，则bn1+2（n1）2n1；（）cn，当n为偶数时，Tn（3+27+.+3n1）+（1+3+.+n1）+n2；n为奇数时，TnTn+1n+（n+1）2n+所以Tn；（）ckck+1c1c2+c2c3+.+c2n1c2n+c2nc2n+1，由c2n1c2
20、n+c2nc2n+1c2n（c2n1+2n+1）（2n1）（32n1+32n+1）（2n1）9n，设Rn191+392+593+.+（2n1）9n，9Rn192+393+594+.+（2n1）9n+1，两式相减可得8Rn9+2（92+93+.+9n）（2n1）9n+19+2（2n1）9n+1，化简可得Rn+9n+1，所以ckck+1+9n+119椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3（）求椭圆C的方程；（）已知点H（0，1），若直线yx+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为2，求实数t的值（）点P是椭圆C上
21、除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围解：（）由e，即，且3，解得a2，b，则椭圆的方程为+1：（）联立直线yx+t，与椭圆方程3x2+4y212，可得7x2+8tx+4t2120，设C（x1，y1），D（x2，y2），可得64t228（4t212）0，解得t，x1+x2，x1x2，则kHC+kHD+2+（t1）2+（t1）（）2，解得t2（3舍去）；（）由椭圆方程可得F1（1，0），F2（1，0），由角平分线的性质定理可得，即为，可得，所以|PF2|2（1m）（ac，a+c），即12（1m）3，解得m（，）20（16分）
22、已知函数f（x）m（klnx）+nex+1（ex+1ax+a1），其中e2.718是自然对数的底数，f（x）是函数f（x）的导数（）若m1，n0，（）当k1时，求曲线f（x）在x1处的切线方程（）当k0时，判断函数f（x）在区间（1，上零点的个数（）若m0，n1，当a时，求证：若x1x2，且x1+x22，则f（x1）+f（x2）2【解答】（）解：（）当m1，n0，k1时，f（x）lnx，则f（1），f（x），所以f（1）0，故切点坐标为（1，），切线的斜率为0，故切线方程为y；（ii）由f（x）klnx（k0）可得，令f（x）0，解得x，当0x时，f（x）0，则f（x）单调递减，当x时，f（x
23、）0，则f（x）单调递增，所以当x时，f（x）取得极小值即最小值f（），当0ke时，f（x）无零点；当ke时，f（x）在区间（1，上单调递减，且f（）0，所以x是f（x）在（0，上的唯一零点；当ke时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且又f（1），f（），所以f（x）在区间（1，上仅有一个零点综上所述，当0ke时，f（x）在区间（1，上无零点；当ke时，f（x）在区间（1，上仅有一个零点；（）证明：当m0，n1，当a时，令x+1t，t1+t20，不妨设tx1+10，h（t），令H（t）0，其中，因为H（0）2，所以当t0时，H（t）2，故若x1x2，且x1+x22，则f（x1）+f（x2）2
