1、课时跟踪检测（二十八） 直线与抛物线的位置关系及应用1过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a22a5(aR)，则这样的直线()A有且仅有1条B有且仅有2条C有1条或2条 D不存在解析：选C|AB|xAxBpa22a5(a1)244，而通径的长为4，所以有1条或2条2已知抛物线C：x22py的焦点为F，过F且倾斜角为60的直线l交C于A，B两点，若|AB|16，则p()A2 B4C6 D12解析：选A抛物线C：x22py的焦点为F，直线l：yx，可得x，代入抛物线方程，得y27pyp20，则y1y27p，|AB|y1y2p7pp16，解得p2.3过点(1
2、,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2 B2C2 D2解析：选B设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y2(x1)，代入抛物线方程y28x，整理得x24x10，则x1x24，x1x21，|AB| 2.4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A B2,2C1,1 D4,4解析：选C准线为x2，Q(2,0)，设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0,0)；当k0时，0，1k0或0k1
3、.综上，k的取值范围是1,15(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C7D8解析：选D由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立解得或不妨设M(1,2)，N(4,4)又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)03248.6设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_.解析：分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8.答案：87已知抛物线
4、y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：设AB的方程为xmy4，代入y24x得y24my160，则y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m232，当m0时，yy最小为32.答案：328已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为_. 解析：假设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为，将x代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，所以p6，点P在准线上，到AB的距离为p6，所以ABP的面积为61236.答案：369设直线
5、y2xb与抛物线y24x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值解：由消去y，得4x24(b1)xb20.由0，得b.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x21b，x1x2.|x1x2|.|AB|x1x2|3，12b9，即b4.10已知抛物线C：y24x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，求DAB的面积S的取值范围解：抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，D(1,0)，设过点F的直线l：xty1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x, 整理得y24ty40，则y1y24t，y1y24，所以SDAB|FD|y2y1|44，故DAB的
6、面积S的取值范围为4，)1过抛物线y24x的焦点F作斜率为的直线，交抛物线于A，B两点，若 (1)，则()A3 B4C5 D6解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线的方程可得3x210x30，解得x13，x2(x1x2)，因为|FA|x11，|FB|x21，所以3.2设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A BC D解析：选D易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长
7、|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d.3已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则实数k的值为()A BC D解析：选D由题知抛物线C：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图，过A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|AF|，所以|OB|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，所以k.4已知抛物线y24x和点M(6,0)，O为坐标原点，直线l
8、过点M，且与抛物线交于A，B两点(1)求；(2)若OAB的面积等于12，求直线l的方程解：(1)设直线l的方程为xmy6，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy6与抛物线y24x得y24my240，显然0，y1y24m，y1y224，x1x236，可得x1x2y1y212.(2)因为SOAB|OM|y1y2|312 12，所以m24，m2.故直线l的方程为x2y60或x2y60.5已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点解：(1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA，kOB.因
9、为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明：因为y2px1，y2px2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yy1，即y.因为y2px1，y1y24p2，代入整理得y，所以y(x2p)，即直线AB过定点(2p,0)6(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.
