1、江苏省南通市启东市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得集合，进而求得.【详解】依题意，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2.已知向量，且，则x（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式直接计算即可得到答案.【详解】由向量，由，可得，所以故选：C【点睛】本题考查根据向量平行的坐标公式求参数的值，属于基础题.3.已知一只口袋内装
2、有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用减去没有白球的概率，求得所求概率.【详解】依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是.故选：D【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.4.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a，b，c与0和1比较即可.详解：，；.故.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间值过渡法，即
3、寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法，根据图象观察得出大小关系5.为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表：零件数（个）加工时间（分钟）若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为，则a（ ）A. 1B. 0.8C. 1.09D. 1.5【答案】B【解析】【分析】将样本中心点代入回归直线方程，解方程求得的值.【详解】依题意，将代入得，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.6.已知直线l经过两点，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）A. B. C.
4、D. 【答案】A【解析】【分析】求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率.【详解】依题意，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为.故选：A【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角，属于基础题.7.下列可能是函数（e是自然对数的底数）的图象的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数的定义域为，所以AB选项错误.当时，所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.8.已知函数在（0，）上恰有两个不同的零点，则的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4
5、【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简解析式，根据的取值范围，求得的取值范围，结合三角函数的零点，求得的值.【详解】依题意，由于，所以，由于在上有两个不同的零点，所以，解得，由于是正整数，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数的零点，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ）A. 函数的图象过原点B. 函数是偶函数C. 函数是单调减函数D. 函数的值域为R【答案】AD【解析】【分析】根据幂
6、函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数过点，所以，解得，所以.，满足，A选项正确.是奇函数，所以B选项错误.在上递增，所以C选项错误.值域为，所以D选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 这组数据的众数是8B. 这组数据的平均数是8C. 这组数据的中位数是6D. 这组数据的方差是【答案】ABD【解析】【分析】先将数据从小到大排列，再求得这组数据的众数、中位数、平均数和方差.【详解】
7、数据从小到大排列为：，所以众数为，A选项正确；中位数为，C选项错误；平均数为，所以B选项正确；方差为，所以D选项正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查样本众数、中位数、平均数和方差的计算，属于基础题.11.已知直线l：，其中，下列说法正确是（ ）A. 当a1时，直线l与直线xy0垂直B. 若直线l与直线xy0平行，则a0C. 直线l过定点(0，1)D. 当a0时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐项分析，得到结果.【详解】对于A项，当a1时，直线l的方程为，显然与xy0垂直，所以正确；对于B项，若直线l
8、与直线xy0平行，可知，解得或，所以不正确；对于C项，当时，有，所以直线过定点，所以正确；对于D项，当a0时，直线l的方程为，在两轴上的截距分别是，所以不正确；故选：AC.【点睛】该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有两直线平行，两直线垂直，直线过定点问题，直线在两轴上的截距的求解，属于简单题目.12.已知在三棱锥PABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP5cm，AB4cm，AC3cm，点O为三棱锥PABC的外接球的球心，点D为ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（ ）A. 三棱锥PABC的体积为10cm3B. 直线BC与平面PAC所成角的正切值为C. 球O的表面积为50cm2D.
9、 ODPA【答案】ABC【解析】【分析】把三棱锥PABC补形成一个长方体，利用长方体的性质判断各选项【详解】因为AP，AB，AC两两互相垂直，以AP，AB，AC为棱补成一个长方体，如图，由长方体性质知：，A正确；与平面所成角为，B正确；长方体的对角线是其外接球也是三棱锥外接球直径，长度为，球表面积为，C正确，由外接球性质，平面，而平面，D错故选：ABC【点睛】本题考查棱锥的性质，考查棱锥中的计算问题，解题关键是把棱锥补形成一个长方体，利用长方体性质求解较为方便三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子的值是_【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【
10、详解】依题意，原式.故答案：【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知为锐角，则_【答案】【解析】【分析】先根据条件求出，然后由诱导公式可得，得出答案.【详解】由为锐角，有则故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式的应用，属于基础题.15.已知直线xy10与圆相切，则a的值是_【答案】1【解析】【分析】利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得的值.【详解】圆的圆心为，半径为，由于直线与圆相切，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题.16.“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底
11、的面积S、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积S0的4倍、下底的面积S之和乘以高h的六分之一，即.已知函数的图象过点，与直线x0，y1及y2围成的封闭图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，则km_，利用“辛普森（Simpson）公式可估算该几何体的体积V_ 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】先求得函数的解析式，由此求得，根据“辛普森（Simpson）公式估算出几何体的体积.【详解】依题意函数的图象过点，则，所以函数的解析式为.所以.由得；由得.，由得，所以，,.所以几何体的体积的估计值为.故答案为：；【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查性定义概念的理解和运
12、用，属于难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知与的夹角为.求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的运算，求得.（2）利用平方再开方的方法，求得.【详解】（1）（2）.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查向量模的计算，属于中档题.18.眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生1200名、1080名、720名.为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）
13、求从高一年级抽取的学生人数；（2）试估计该学校学生视力不低于4.8的概率；（3）从视力在4.0，4.4)内的受测者中随机抽取2人，求2人视力都在4.2，4.4）内的概率.【答案】（1）20；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由分层抽样的计算方法有高一年级抽取的学生人数为：.（2）根据频率分布直方图先求出的值，再根据频率分布直方图求学生视力不低于4.8的概率.（3）先求出视力在内的受测者有2人，视力在内的受测者有3人，用列举法得到基本事件数结合古典概率的计算可得答案.【详解】解：（1）高一年级抽取的学生人数为：.所以从高一年级抽取的学生人数为20.（2）由频率分布直方图，得，所以.所以抽取5
14、0名学生中，视力不低于4.8的频率为，所以该校学生视力不低于4.8的概率的估计值为.（3）由频率分布直方图，得视力在内的受测者人数为，记这2人为，视力在内的受测者人数为，记这3人为.记“抽取2人视力都在内”为事件A，从视力在内的受测者中随机抽取2人，所有的等可能基本事件共有10个，分别为，则事件A包含其中3个基本事件：，根据古典概型的概率公式，得.所以2人视力都在内的概率为.【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算图表中的数据，根据频率分布直方图求概率，考查古典概率，属于中档题.19.如图，在长方体中，已知ABAD1，AA12.（1）求证：BD平面A1ACC1；（2）求二面角的正切值.【答案】（
15、1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明、，证得平面.（2）作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正切值.【详解】（1）因为为长方体，所以平面.因为平面，所以.因为，所以为正方形.所以.又因为，平面， 所以平面.（2）设，连接.由（1）知，平面.因为平面，所以.又由（1）知，所以为二面角的平面角.在中，所以，所以二面角的正切值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.在锐角中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且.（1）求B的大小；（2）若，点D在边AC上，_，求BD的长.请在ADDC；DBCDBA
16、；BDAC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.（2）若选，利用余弦定理求得，由此求得，利用结合余弦定理列方程，解方程求得的长.若选，由列方程，解方程求得.若选，利用余弦定理求得，利用列方程，解方程求得.【详解】（1）在中，由正弦定理，及得，.因为为锐角三角形，所以，所以.所以.又因为，所以.（2）若选.在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，即.又，所以.所以，所以BD.若选.在中，即，即，解得.若选.在中，由余弦定理，得，所以.因
17、为，又，所以，解得.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.21.已知圆关于直线对称（1）求实数a的值；（2）设直线与圆C交于点A，B，且.求k的值；点P（3，0），证明：x轴平分APB.【答案】（1）；（2）；证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到圆心在直线上，代入计算得到答案.（2）直接利用弦长公式计算得到答案；联立方程解得交点坐标，计算得到，得到证明.【详解】（1）圆C：，即，圆关于直线l：对称，所以圆心C在直线l：上.所以，解得.（2）圆C：.所以圆心C到直线m：的距离为.因为，所以，解得，因为，所以.直线m：，联立消去，得，解得或，
18、不妨，所以.所以直线的倾斜角互补，从而，所以轴平分.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据弦长求参数，证明平分线，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且.（1）求函数f(x)与g(x)的解析式；（2）设函数，若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性，代入整理即可得出结论；（2）把对任意实数x，恒成立转化为恒成立，分三种情况进行讨论，令，利用定义证单调区间求出的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，且，所以，即，由，得，由，得；（2）恒成立，即恒成立.当时，显然成立；当时，令，设，当，即时，设是上任意两个值，且，则，当时，所以，即；当时，所以，即，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以当时，上取得最大值.所以.当，即时，同理可证，函数在上单调递增，在上单调递减.所以当时，在上取得最大值.所以.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的性质，利用定义找单调性求最值.属于中档题.
