1、2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=(x,y)|y=lgx,B=(x,y)|x=a,若AB=,则实数a的取值范围是( ). A. a1 B. a1 C. a0 D. a02.“实数a=1”是“复数( aR ,i为虚数单位)的模为”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件3. 执行如图所示的程序框图,输出的M的值是（ ）开始M=2i=1i0,b0)
2、的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线对称,则该双曲线的离心为 ( ).A. B. C. D.2 9.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x), f(2x)=f(x),且当x0,1时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H(x)= |xex|f(x)在区间3,1上的零点个数为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.210.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x(0,1)时取得极大值,当x(1,2)时取极小值,则的取值范围是( ).A. B. C. D.(5,25)第卷(非选择题 共100分)OACB二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共2
3、0分.11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).12.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M,则点M恰好取自阴影部分的概率为 . 13. 若直线与圆相交于A、B两点,则的值为 .14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 . 15.已知函数 ,若数列am满足,且的前项和为,则= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:甲地乙地
4、 803 4 6 81 2 4 7 8 8 90 2 4 5 62 0 0 1 2规定:当产品中的此种元素含量15毫克时为优质品.()试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);()从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.17. （本小题满分13分）已知函数.（）当时，求函数的单调递增区间；（）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形中，=4，点、分别是、的中点，点G在上，沿将梯形翻折，使平面平面（）当最小时，求证：；（）当时，求二面角平面角的余弦值.19.（本小题
5、满分13分）已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=1相切.（）求动圆圆心C的轨迹方程;（）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当=时,求证直线AB恒过一定点M;若为定值,直线AB是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由. 20. （本小题满分14分）已知函数，其中且（）讨论的单调区间；（）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;（）若存在，使得，求证：.21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号
6、右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量.（）求矩阵A的逆矩阵; （）计算A3的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为:(t为参数),两曲线相交于M,N两点.（）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;（）若P(2,4),求|PM|+|PN|的值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x4|+|x3|,（）求f
7、(x)的最小值m（）当a+2b+3c=m(a,b,cR)时,求a2+b2+c2的最小值.2014年福州市高中毕业班质量检测数学(理科)试卷参考答案及评分标准110 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+ cm2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为4分 (II)的取值为1，2，3. 5分7分9分11分 所以的分布列为 1 2 3 12分故13分 17. 解:(I)=2分 令，解得即4分,f(x)的递增区间为 6分 ()由,得而,所以,所以得因为向量与向量共线，所以，由正弦定理得: 10
8、分由余弦定理得:,即a2+b2ab=912分由解得13分18. 解:()证明：点、分别是、的中点,EF/BC 又ABC=90AEEF，平面AEFD平面EBCF，AE平面EBCF，AEEF，AEBE， 又BEEF，如图建立空间坐标系Exyz2分翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.EG=BC=2,又EA=EB=2 则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),=(2,2,2),=(-2,-2,0)=(2,2,2)(-2,-2,0)=0，5分()解法一：设EG=k,平面,点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面E
9、FCB的距离. (3- k)+42=7-k=又=,=,即EG=18分设平面DBG的法向量为,G(0,1,0),(2,2,2), 则 ,即 取x1,则y2,z1, 10分 面BCG的一个法向量为 则cos= 12分由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角,所以此二面角平面角的余弦值为 13分()解法二:由解法一得EG=1,过点D作DHEF,垂足H,过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD. 平面AEFD平面EBCF, DH平面EBCF，ODOB,所以就是所求的二面角的平面角. 9分由于HG=1,在OHG中,又DH=2，在DOH中11分所以此二面角平面角的余弦值为.13分19. 解: ()设动圆圆
10、心M(x,y),依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=1为准线的抛物线2分其方程为y2=4x.- 3分()设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1x2(否则)且x1x20,则所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky24y+4b=0由韦达定理得-6分当=时,所以,7分所以y1y2=16,又由知:y1y2=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(4,0). 8分当为定值时.若=,由知,直线AB恒过定点M(4,0) 9分当时,由,得=将式代入上式整理化简可得:,所以,11分此时,直线
11、AB的方程可表示为y=kx+,所以直线AB恒过定点12分所以当时,直线AB恒过定点(4,0).,当时直线AB恒过定点.13分20. 解:(I)f(x)的定义域为.其导数1分当时,函数在上是增函数;2分当时,在区间上,;在区间(0,+)上,所以在是增函数,在(0,+)是减函数. 4分(II)当时, 取，则, 不合题意.当时令,则6分问题化为求恒成立时的取值范围. 由于 7分在区间上,;在区间上,.的最小值为,所以只需即,9分()由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以构造函数:()11分则所以函数在区间上为减函数. ,则,于是,又,由在上为减函数可知.即14分21. (1)(本小题满分7分)选
12、修4-2：矩阵与变换解: ()法一:依题意,. 2分所以4分法二:的两个根为6和1,故d=4,c=2. 2分所以-4分()法一:=25分A3=26313=7分法二:A3=7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:()(曲线C的直角坐标方程为y2=4x, 直线l的普通方程xy2=0. .4分()直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2则所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 解:()法1: f(x)=|x4|+|x3|(x4)(x3)|=1,故函数f(x)的最小值为1. m=1. 4分 法2:.-1分x4时,f(x)1;x1,3x4时,f(x)=1,-3分故函数f(x)的最小值为1. m=1. 4分()由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)(a+2b+3c)2=1-5分故a2+b2+c2-6分当且仅当时取等号7分
