1、动态几何1在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，BC6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？【解析】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则APt，QC2t，BQ62t，ADBC所以APBQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，知：APBQ即可，即：t62t，t2，当t2时，APBQ2BCAD，符合，综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形2如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上（1）求证：；（2）若，求的值；（3）设，是否存在的值，使与相似？若存在，求出的值；若不存在
2、，请说明理由【解析】（1）证明：四边形是矩形，沿折叠为，又，；（2）解：在中，设，沿折叠为，又，；（3）存在，时，与相似理由：当时，；当时，这与相矛盾，不成立综上所述，时，与相似3如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线：()经过点和轴上的点，（1）求该抛物线的表达式；（2）联结，求；（3）将抛物线向上平移得到抛物线，抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧)，如果与相似，求所有符合条件的抛物线的表达式【解析】解：（1）过作轴，垂足为，在中，抛物线：经过点，可得：，解得：这条抛物线的表达式为；（2）过作轴，垂足为，=顶点是，得设直线AM为y=kx+b，把，代入得，解得直线为令y=0，解得x=直线与轴
3、的交点为（3）、，在中，由抛物线的轴对称性得：，当与相似时，有：或即或，或或设向上平移后的抛物线为：，当时，抛物线为：当时，抛物线为：综上：抛物线为：或4定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，点、分别在边、上，连接、，点、分别为、的中点，且连接、观察猜想（1）线段与 “等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由拓展延伸（3）把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出与的积的最大值【解析】（1）是；，DB=EC，ADE=AED=B=ACBDEBCEDC=DCB点、分别为、的中点PMEC，PNB
4、D，DPM=DCE，PNC=DBCDPN=PNC+DCBMPN=DPM+DPN=ACD+DCB+B=180-90=90线段与是“等垂线段”；（2）由旋转知，（），利用三角形的中位线得，由中位线定理可得，与为“等垂线段”；（3）与的积的最大值为49；由（1）（2）知，最大时，与的积最大点在的延长线上，如图所示：.5 数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为-10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）（1）当t=5时，点P表示的有理数为 （2）在点P往左运动的过程中，点P表
5、示的有理数为 （用含t的代数式表示）（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为 【解析】（1）由题意得：，点P从点A运动到点B所需时间为（秒），点P从点B返回，运动到点A所需时间为（秒），则当时，因此，点P表示的有理数为，故答案为：；（2）在点P往左运动的过程中，则点P表示的有理数为，故答案为：；（3）由题意，分以下两种情况：当点P从点A运动到点B，即时，由（2）可知，点P表示的有理数为，则，即或，解得或，均符合题设；当点P从点B返回，运动到点A，即时，点P表示的有理数为，则，即或，解得或，均符合题设；综上，当点P与原点距离5个单位长度时，的值为或5或或时，故答案为：或5或或6如图，ABC
6、中，ACB=90，AB=10cm，BC=8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t（t0）秒（1）AC= cm； （2）若点P恰好在ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，ACP为等腰三角形【解析】（1）由题意根据勾股定理可得：（cm），故答案为6；（2）如图，点P恰好在ABC的角平分线上，过P作PDAB于点D，则可设PC=xcm，此时BP=（8-x）cm，DP=PC=xcm，AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm，在RTBDP中，即 ，解之可得：x=3， BP=8-3=5cm，P运动的路程为：AB+BP=10+5=15
7、cm，t=s；（3）可以对ACP的腰作出讨论得到三种情况如下：如图，AP=AC=6cm，此时t=s；如图，PA=PC，此时过P作PDAC于点D，则AD=3，PD=4，AP=5，此时t=s；如图，PC=AC=6cm，则BP=8-6=2cm，则P运动的路程为AB+BP=10+2=12cm，此时t=s，综上所述，在运动过程中，当t为2.5s或3s或6s时，ACP为等腰三角形7已知，在平面直角坐标系中，ABx轴于点B，A(a，b)满足0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点COACB（1）填空：a_，b_，点C的坐标为_；（2）如图1，点P(x，y)在线段BC上，求x，y满足的关系式；（3）
8、如图2，点E是OB一动点，以OB为边作BOGAOB交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在OB上运动时，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值【解析】解：（1） ， 由平移得：且C在y轴负半轴上， 故答案为：； （2）如图，过点分别作x轴于点M，y轴于点N，连接ABx轴于点B，且点A，C三点的坐标分别为： OB=，OC=， ，而 满足的关系式为：（3） 的值不变，值为2理由如下：线段OC是由线段AB平移得到， ， AOB=OBC， 又BOG=AOB， BOG=OBC， 根据三角形外角性质，可得OGC=2OBC，OFC=FCG+OGC， OFC+FCG=2FCG+2OBC =
9、2（FCG+OBC） =2OEC， ；所以：的值不变，值为2 8综合实践初步探究：如图，已知AOB=60，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E (1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为 ；解决问题：(2)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为 ；拓展应用：(4)当DCE绕点C旋转到CD
10、与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；【解析】：（1）OM是AOB的角平分线，AOC=BOC=AOB=30，CDOA，ODC=90，OCD=60，OCE=DCE-OCD=60，在RtOCD中，OD=OCcos30=OC，同理：OE=OC，OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，OF+OG=OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CG，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，D
11、F=EG，OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE-OD=OC，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，OF+OG=OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CG，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，OE-OD=OC（4）由（1）可得
12、OD+OE=OC，CD+CE=OCOD+OE+CD+CE=(+1)OC，故四边形CDOE的周长为(+1)OC9是等边三角形，点在上，点，分别在射线，上，且（1）如图1，当点是的中点时，则_；（2）如图2，点在上运动（不与点，重合）判断的大小是否发生改变，并说明理由；点关于射线的对称点为点，连接，依题意补全图形，判断四边形的形状，并证明你的结论【解析】（1）点D是等边ABC的边BC的中点，DABDACBAC30，DADE，AEDBAD30，ADE180BADAED120，同理：ADF120，EDF360ADEADF120，故答案为：120；（2）不发生改变，理由如下：是等边三角形，点，在以为圆，
13、长为半径的圆上，补全图形如下：四边形为平行四边形，证明如下：由知，在和中，点和点关于射线对称，且四边形为平行四边形10如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动
14、至D点需要时间为_秒；（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数【解析】（1）点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，动点P从点A运动到点D所需时间为（秒），故答案为：15；（2）由题意，分以下六种情况：当点P在AB，点Q在CD时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，此方程无解；当点P在AB，点Q在CO时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，解得，此时
15、点P表示的数为3，不在AB上，不符题设，舍去；当点P在BO，点Q在CO时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，解得，此时点P表示的数为，不在BO上，不符题设，舍去；当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，解得，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；当点P在OC，点Q在OB时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，解得，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；当点P在OC，点Q在BA时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P、Q到原点的距离相同，解得，此时点Q表示的数为0，不在BA上
16、，不符题设，舍去；综上，点P表示的数为或；（3）点Q到达点A所需时间为（秒），此时点P到达的点是，点P到达点C所需时间为（秒），此时点Q到达的点是，点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，解得，此时点P表示的数为18，点Q表示的数为1811如图，在矩形中，点为对角线的中点，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）（1）求点落在上时的值（2）直接写出点在正方形内部时的取值范围（3）当点在折线上运动时，求与之间的函数关系式（4）直接写出直线平分面积时的值
17、【解析】（1）如图1所示，由题意可知，当点落在上时，因为四边形是正方形，所以，又因为在矩形中，所以，在和中，因为，所以，则，所以，解得，所以当点落在上时的值为故答案为：（2）如图2，点刚落在正方形上因为点是矩形对角线的中点，所以在矩形的一条对称轴上，所以，所以，解得如图3，点和点重合，此时点运动的距离为，因为，所以，所以，所以此时综上所述，当点在正方形内部时，的取值位于上述两个临界位置之间，即的取值范围为故答案为：（3）由（1）可知，当时，正方形和的重叠部分即为正方形，所以此时当时，点在上，设与交于点，与交于点，此时正方形和的重叠部分为五边形，此时同（1），可知，因为，所以，所以，所以，所以，
18、所以，所以，所以，整理得当时，点在上，设与交于点，则因为，所以，所以，同（1），所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，整理得综上所述，当时，；当时，；当时，故答案为：（4）设直线与交于点，因为直线平分的面积，如图7，点在上，过点作于点，则，所以，因为，所以，解得如图8，点在上，连接因为、分别是、的中点，所以是的一条中位线，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，（由（3）知），所以，解得如图9，在上，设与交于点，连接，交于同，且，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为（同），所以，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，解得综上所
19、述，当直线平分的面积时，的值为或或故答案为：或或12在中，点是射线上的动点，连接，将沿着翻折得到，设， （1）如图1，当点在上时，求的值（2）如图2，连接，当时，求的面积（3）在点的运动过程中，当是等腰三角形时，求的值【解析】(1)在中，由勾股定理得：BC=10，由折叠性质得：P=AP=x， C=AC=6，则PB=8-x，B=4，在RtBP中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得：；（2）当时，由折叠性质得：AC=C=4，CAB=CP=90，=，=90，=90，=90，=90，=4，则，且=，由，CAB=90，可求得，；（3）当时，若在线段上，如图1，过作HAB于H，过C作CDH延长线于D，则四边形ACDH是矩形，又是等腰三角形，=90，=90,，又=90,，得，解得，若在延长线上时，如图2，过作AB的平行线，交AC延长线与D，过P作PH垂直平行线于H，则四边形APHD是矩形，同上方法，易求得D=4，PH=AD=，同理可证得，得，解得，当时，如图3，由折叠性质得：CP垂直平分A，则，AQP=90，又AC=6,， AQP=CAB=90，由同角的余角相等得：ACQ=QAP，即，解得：；当时，如图4，则、重合，综上所述或或或.
