1、1 正整数指数函数2 指数扩充及其运算性质内 容 标 准学 科 素 养1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化2.理解实数指数幂的运算性质3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.精确数学概念熟练等价转化提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 正整数指数函数预习教材P6163，思考并完成以下问题定义在 N上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置.x12345678y248163264128256提示：y2x，xN，自变量在指数上知识梳理 正整数指数函数(1)正整数指数函数一般地，函数叫作正整数指数函数，其中 x 是自
2、变量，定义域是.(2)正整数指数函数的图像：正整数指数函数的图像是第一象限内一系列的点，是离散而不是连续的yax(a0，a1，xN)孤立正整数集N知识点二 分数指数幂预习教材P6466，思考并完成以下问题由 a222(a0)易得 a2，由此你有什么猜想？提示：当 a0，b0 时，若 ambn，则(m、n 为非零整数)知识梳理 分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)，存在唯一的正实数 b，使得 bnam，我们把 b 叫作 a 的mn次幂，记作；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a0，m，nN，且 n1)；(3)0 的正分数指数幂等于,0
3、 的负分数指数幂0 没有意义知识点三 有理数指数幂的运算性质知识梳理(1)aras(2)(ar)s(3)(ab)rars(a0，r，sQ)ars(a0，r，sQ)arbr(a0，b0，rQ)知识点四 无理数指数幂思考并完成以下问题无理数是无限不循环小数，课本中是怎样用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？提示：随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数 知识梳理 无理数指数幂无理数指数幂 a(a0，是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用思考：1.分数指数幂与根式什么关系？提示：(1)分数指数幂是根式的另一种表示形式(
4、2)根式与分数指数幂之间可进行互化2分数指数幂的意义为什么规定“a0”？提示：由分数指数幂的定义可知 a0 时，可能会无意义，如，如果能化成根式的话为 27，显然无意义3成立吗？提示：不一定成立当 a0 时，成立，而 a0 时 a无意义，二者不相等，故分数指数幂不能随便约分自我检测1化成根式形式为()A.3 24B.4 23C.4 32D.2 43解析：结合正分数指数幂的运算性质可知4 23.答案：B2等于()A.3 22B.2 23C3 22D.13 22解析：结合负分数指数幂的运算性质可知 D 正确答案：D3_.解析：原式 12212141134.答案：134 探究一 根式的运算例 1 求
5、下列各式的值：(1)3 834 34；(2)(5 ab)5(6 ba)6(ba)思路点拨 先利用根式的性质化简各个根式，再进行运算解析(1)原式8|3|8311.(2)原式(ab)(ba)abba0.方法技巧 利用根式的性质化简、求值，就是利用n an与(n a)n 的结果去根号，所以在运算时要特别注意：(1)若 n 为奇数，n a对任意 aR 都有意义，并且表示 a 在实数范围内的唯一的一个 n次方根，即(n a)na.(2)若 n 为偶数，n a只有当 a0 时才有意义，n a(a0)表示 a 在实数范围内的一个正的 n 次方根，但 a 还有另一个负的 n 次方根是n a，即(n a)na
6、.(3)(n a)n 与n an的意义不同.n an对任意 aR 都有意义；当 n 为奇数时，n ana，当n 为偶数时，n an|a|a，a0，a，a0.跟踪探究 1.求下列各式的值：(1)423 43；(2)|x|x2 x2|x|.解析：(1)原式|4|4440.(2)原式|x|x|11.例 2 化简下列各式：(1)x22x1 x26x9(3x3)；(2)(a1)2 12aa23 1a3.思路点拨(1)去根号，化为含绝对值的形式，然后根据 x 的范围去绝对值；(2)由根式得出 a 的范围，再去根号化简解析(1)原式x12x32|x1|x3|.3x3，当3x1 时，原式(x1)(x3)2x2
7、；当 1x3 时，原式(x1)(x3)4.原式2x2，3x1，4，1x3.(2)由 a1知 a10，原式a1 a121aa1.方法技巧 在对根式进行化简时，若被开方数中含有字母，则要注意字母的取值范围，即确定n an中 a 的正负，再结合 n 的奇偶性给出正确结果若根式的根指数是偶数，可由被开方数不小于 0 确定出字母的取值范围，再进行化简跟踪探究 2.(1)若1x2，则 x24x4 x22x1的化简结果是_(2)4 1a2 a213a1a的化简结果是_解析：(1)原式x22x12|x2|x1|.1x2，x10，x20，原式2xx112x.(2)由原式知1a20，a210，即a1.a1，原式0
8、031132.答案：(1)12x(2)32探究二 根式与分数指数幂的互化例 3 将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)1a1a(a0)；(2)13x5 x22；解析(1)原式.方法技巧 根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式，但用分数指数幂表示运算时更方便因此，在很多情况下，需要对根式与分数指数幂进行互化(1)分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错跟踪探究 3.用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)a a a；(2)3 a2 a
9、3；(3)(3 a)2 ab3.探究三 利用分数指数幂运算性质化简与求值方法技巧 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的(2)无括号先做指数运算(3)负指数幂化为正指数幂的倒数(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化为假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质探究四 条件求值问题思路点拨 解答本题可从整体上寻求各式与条件5 的联系，进而整体代入求值延伸探究 1.(变换条件)若将本例中改为则结论如何？2(变换条件，改变问法)已知 aa15(a0)，求下列各式的值：(1)a2a2；(3)a3a3.解析：(1)法一：由 a
10、a15 两边平方，得 a22aa1a225，即 a2a223.法二：a2a2a22aa1a22aa1(aa1)2225223.(3)a3a3(aa1)(a2aa1a2)(aa1)(a22aa1a23)(aa1)(aa1)235(253)110.方法技巧 条件求值问题的两个步骤及一个注意点(1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，注意应用平方差公式或立方差公式课后小结1掌握两个公式：(1)(n a)na(nN)；(2)n 为奇数且 nN，n ana，n 为偶数且nN，n an|a|aa0，aa0.2根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质
11、进行运算在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解素养培优1忽略 n 的取值范围导致式子n an的化简出错易错案例：计算：3 1 234 1 24.易错分析：化简n an(n1，且 nN)时，一定要注意 n 的取值范围当 n 为奇数时，n ana，当 n 为偶数时，n an|a|，如果忽略了这一点，往往会化简出错考查概念公式、数学运算的学科素养自我纠正：3 1 234 1 24(1 2)|1 2|1 2 212 2.2忽略有意义的条件计算出错易错案例：化简易错分析：对式子化简时，要注意条件中有无隐含条件，有无偶次方根，被开方数是否符合要求，忽略这一点容易计算失误致错考查概念公式、数学运算的学科素养04 课时 跟踪训练
