1、2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法学 习 任 务核 心 素 养1经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义(重点)2能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集(重点、难点)3理解三个“二次”之间的关系(重点)1从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养2在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升数学运算素养.已知一元二次函数yx24x，一元二次方程x24x0，一元二次不等式x24x0.问题：(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标(2)一元二次方程的根是什么？(3)问题1中的交点横
2、坐标与问题2中的根有何内在联系？(4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？(5)能否利用问题4得出不等式x24x0，x24x0或ax2bxc0(ab0)可以看作关于a的一元二次不等式吗？提示可以1.已知下列不等式：ax22x10；x2y0；x23x0.其中一元二次不等式的个数为()A1B2C3D4A只有是一元二次不等式，故选A.知识点2二次函数的零点一般地，对于二次函数yax2bxc，我们把使ax2bxc0的实数x叫做二次函数yax2bxc的零点2.二次函数yax2bxc的零点就是图象与x轴的交点吗？提示不是是图象与x轴交点的横坐标2.函数yx22x3的零点为_1或3由y0
3、得x22x30，即x1或x3.即函数的零点为1或3.知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0，则x满足的条件是_；(2)若y0，则x满足的条件是_答案(1)x5(2)0x54.不等式x23x60的解集为_946150，不等式x23x60；(2)3x26x20；(3)4x24x10；(4)x22x20.解(1)方程2x23x20的解是x1，x22.因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.(2)不等式可化为3x26x2
4、0，所以方程3x26x20的解是x11，x21.因为函数y3x26x2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.(3)方程4x24x10的解是x1x2，函数y4x24x1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.(4)因为x22x20的判别式0，所以方程x22x20无解又因为函数yx22x2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正(2)判别式对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式(3)求实根求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根(4)画草
5、图根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图(5)写解集根据图象写出不等式的解集1解下列不等式(1)4x220x25；(2)(x3)(x7)0；(3)3x25x40；(4)x(1x)x(2x3)1.解(1)不等式可化为4x220x250，由于0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是x|3x7(3)不等式3x25x40，由于判别式2548230，函数y3x25x4的图象开口向上，所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1x)x(2x3)1可化为3x24x10.因为
6、方程3x24x10的两个根是，1，函数y3x24x1的图象开口向上，所以不等式的解集是. 类型2含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10.对于二次项的系数a是否分a0，a0三类进行讨论？当a0时，是否还要比较两根的大小？解当a0时，原不等式可化为x1.当a0时，原不等式可化为(ax1)(x1)0.当a0，1，x1.当a0时，原不等式可化为(x1)0.若1，则x1，即0a1，则1x.综上所述，当a1；当0a1时，原不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并2解关于x的不等式x2(3a
7、1)x(2a22)0.解原不等式可化为x(a1)x2(a1)0，讨论a1与2(a1)的大小(1)当a12(a1)，即aa1或x2(a1)(2)当a12(a1)，即a3时，不等式的解为x4.(3)当a13时，不等式的解为x2(a1)或xa1.综上，当aa1或x3时，不等式的解集为x|x2(a1)或x0的解集为x|2x3，求关于x的不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知5，6.由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax
8、2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0的解集解由根与系数的关系知5，6且a0.c0，即x2x0，即x2x0.解得.一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集(2)求解步骤：第一步：审结论明确解题方向如要解cx2bxa0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值第二步：审条件挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系，列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c.第三步：建联系找解题
9、突破口由给定不等式的解集形式确定关于a，b，c的方程组用a表示b，c代入所求不等式求解cx2bxa0的解集3已知一元二次不等式x2pxq0的解集解因为x2pxq0即为x2x10，整理得x2x60，解得2x0的解集为x|2x0的解集为x|2x1，则函数yax2xc的图象为()ABCDB由题意可知，a0且2,1是图象yax2xc与x轴交点的横坐标，结合图象可知B正确4设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集为_因为a1，所以a(xa)0.又aa，所以x或xa.5已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为_由题意，2，是方程ax2bxc0的两个根且a0，即为2x25x20，解得x0的解集为.回顾本节知识，自我完成以下问题：1求解一元二次不等式解集的步骤有哪些？提示(1)化成标准形式，(2)计算判别式，(3)求对应方程的实根，(4)结合图象写解集2含参数的一元二次不等式常从哪些方面讨论求解？提示(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0)，一根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.3由一元二次不等式的解集可以得出相应函数的哪些信息？提示由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标
