1、2015-2016学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知复数z=（a21）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A2B1C1D12双曲线=1的渐近线方程是（）Ay=xBy=xCy=xDy=x3已知sin（）=，那么sin2x的值为（）ABCD4有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错
2、误C推理形式错误D结论正确5设实数an和bn分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1，则以下结论正确的是（）Aa3b3Ba2a3Ca3b3Db2b36如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A15B18C22D337点P是曲线y=x21nx上任意一点，则点P到直线y=x2的距离的最小值是（）A1BC2D28如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点给出下列命题不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥存在点D，使CD与AB垂直并且相等存在无数
3、个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）ABCD二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.9在复平面内，复数z=对应的点位于第象限10函数f（x）=sin（x+）+cos2的振幅为，最小正周期为11已知Sn为等差数列an的前n项的和，S10，且S4S6，则S10为（填“正数”、“负数”或“零”）12函数f（x）=1cos（x）cos2x的最大值为，最小值为13ABC中，A=，b=2，以下命题中正确的序号是若a=1，则c有一解； 若a=，则c有两解；若a=，则c有两解； 若a=3，则c有两解14已知数列an的各项均为正整数，对于n=1，2，3，有an+1=，其中k为使a
4、n+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=；若存在mN*，当nm且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=（）求cosB的值；（）若a=3，b=2，求c的值16等差数列an中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列bn各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，bn的公比q=（1）求an与bn；（2）证明：+17如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点（I）求证：MN平面AA1C1C；（II） 若CC1=CB1，CA=CB，平面CC
5、1B1B平面ABC，求证：AB平面CMN（III）若直线A1B1与平面CMN的交点为D，试确定的值18已知函数f（x）=lnx+（a0）（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根情况19已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且OMF是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由20设M是由满足下列条件的
6、函数f（x）构成的集合：“方程f（x）x=0有实数根； 函数f（x）的导数f（x）满足0f（x）1”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0m，n，使得等式f（n）f（m）=（nm）f（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）x=0只有一个实数根2015-2016学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知复数z=（a21）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等
7、于（）A2B1C1D1【考点】复数的基本概念【分析】由纯虚数的概念知实部为零，虚数不为零求解【解答】解：z=（a21）+（a+1）i，又z是纯虚数得a=1故选B2双曲线=1的渐近线方程是（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即故选C3已知sin（）=，那么sin2x的值为（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x），再利用二倍角公式求得它的值【解答】解：已知sin（）=，sin2x=cos（2x）=12 =12=，故选B4有一段“
8、三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【考点】演绎推理的基本方法【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0
9、是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A5设实数an和bn分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1，则以下结论正确的是（）Aa3b3Ba2a3Ca3b3Db2b3【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】利用等差中项和等比中项即可得出a3，b3，再比较即可【解答】解：实数an和bn分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1an为递减数列，B错误公比可能为负数D不正确，a3=（a1+a5）=（16+1）=，b3=4，a3
10、b3，故选：A6如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A15B18C22D33【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体是一个组合体，上部是半球，下部是到放的圆锥，依据所给数据求解即可【解答】解；该几何体是一个组合体，上部是半球，半径是3，下部是到放的圆锥，半径是3，高是4该几何体的表面积：S=S上+S下=故选D7点P是曲线y=x21nx上任意一点，则点P到直线y=x2的距离的最小值是（）A1BC2D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间的距离公式【分析】画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线y=x2平行的直线的切点时，然后求解即可【解答】解：由
11、题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x2平行的直线的切点时，最近；故令y=2x=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x2的最小值为=；故选：B8如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点给出下列命题不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥存在点D，使CD与AB垂直并且相等存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）ABCD【考点】棱锥的结构特征【分析】对于可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于，使AB=AD=BD，
12、此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定的真假【解答】解：四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，AC=BC=，AB=当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，
13、故正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故正确故选D二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.9在复平面内，复数z=对应的点位于第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】化简复数然后由其实虚部，即可得知对应的点为与那个象限【解答】解： =，其实部为，虚部为，故对应的点位于第四象限，故答案为：四10函数f（x）=sin（x+）+cos2的振幅为，最小正周期为2【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】将函数利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象和
14、性质即可得出答案【解答】解：f（x）=sin（x+）+cos2，=sinxcos+cosxsin+cosx+=+cosx+cosx+=+cosx+=sin（x+）+，其中tan=；振幅为，最小正周期T=；故答案为，211已知Sn为等差数列an的前n项的和，S10，且S4S6，则S10为正数（填“正数”、“负数”或“零”）【考点】等差数列的前n项和【分析】根据等差数列的前n项和公式计算即可【解答】解：设公差为d，S10，a10S4S6，4a1+6d6a1+15d，a19d0，S10=10a1+45d90d+45d=45d0，故S10为正数，故答案为：正数12函数f（x）=1cos（x）cos2x
15、的最大值为3，最小值为【考点】三角函数的最值【分析】利用余弦函数的倍角公式进行化简，再根据二次函数和正弦函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=1cos（x）cos2x=1+sinx1+2sin2x=2（sinx+）21sin1，当sinx=1时，函数取得最大值，此时最大值为3当sinx=时，函数取得最小值，此时最小值为故答案为：3，13ABC中，A=，b=2，以下命题中正确的序号是若a=1，则c有一解； 若a=，则c有两解；若a=，则c有两解； 若a=3，则c有两解【考点】正弦定理【分析】在ABC中，已知a，b和角A为锐角时，解的情况：若absin A，无解；若a=bsin A，一解；若bs
16、in Aab，两解；若ab时，一解逐一分析各个选项即可得解【解答】解：ABC中，A=，b=2，bsinA=1，对于，若a=1，可得：a=bsin A，故c有一解，正确；对于，若a=，可得：bsin Aab，故c有两解，正确；对于若a=，可得：bsin Aab，故c有两解，正确；对于若a=3，可得：ab时，故c有一解，错误；故答案为：14已知数列an的各项均为正整数，对于n=1，2，3，有an+1=，其中k为使an+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=98；若存在mN*，当nm且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为1或5【考点】数列的应用【分析】由题设分别求出a1，a2，a3，a4
17、，a5，a6，a7，a8，a9，仔细观察能够发现an从第3项开始是周期为6的周期数列，故a2016=a6=98，当nm且an为奇数时，an恒为常数p，知an=p，an+1=3p+5，an+2=，再由数列an的各项均为正整数，能求出p【解答】解：由题设知，a1=11，a2=311+5=38，a3=19，a4=319+5=62，a5=31，a6=331+5=98，a7=49，a8=349+5=152，a9=19，an从第3项开始是周期为6的周期数列，a2016=a6=98，若存在mN*，当nm且an为奇数时，an恒为常数p，则an=p，an+1=3p+5，an+2=，（32k）p=5，数列an的各
18、项均为正整数，当k=2时，p=5，当k=3时，p=1故答案为：98，1或5三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=（）求cosB的值；（）若a=3，b=2，求c的值【考点】余弦定理；二倍角的余弦【分析】（I）根据，结合cosB=12sin2，可求cosB的值；（II由余弦定理可得c的值【解答】解：（I），sin=cosB=12sin2=；（II）a=3，b=2，cosB=由余弦定理可得8=9+c22cc22c+1=0c=116等差数列an中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列bn各项均为正数，b1=1，
19、且b2+S2=12，bn的公比q=（1）求an与bn；（2）证明：+【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【分析】（1）利用b2+S2=12和数列bn的公比q=，即可列出方程组求的q、a2的值，进而获得问题的解答；（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用叠加法即可获得问题的解答【解答】（1）解：由已知等比数列bn各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，bn的公比q=q+3+a2=12，q=q=3或q=4（舍去），a2=6an=3+（n1）3=3n，bn=3n1；（2）证明：Sn=，+=（1+）=n1，0+17如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，
20、M，N分别为AB，B1C1的中点（I）求证：MN平面AA1C1C；（II） 若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B平面ABC，求证：AB平面CMN（III）若直线A1B1与平面CMN的交点为D，试确定的值【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（I）取A1C1的中点P，连接AP，NP证得四边形AMNP为平行四边形再由线面平行的判定定理即可得到；（II）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证（III）经N点向A1B1作垂线，设垂足为D，连接DM，可证NDCM，取A1B1的中点E，连接C1E，则NDC1E，由于N为C1B1的中点，E为A1B1的中点，利
21、用三角形中位线定理即可得解的值【解答】证明：（I）取A1C1的中点P，连接AP，NP因为：C1N=NB1，C1P=PA1，所以：NPA1B1，NP=A1B1 在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB，A1B1=AB故：NPAB，且NP=AB因为：M为AB的中点，所以AM=AB所以：NP=AM，且NPAM所以：四边形AMNP为平行四边形所以：MNAP 因为：AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以：MN平面AA1C1C （II）因为：CA=CB，M为AB的中点，所以：CMAB 因为：CC1=CB1，N为B1C1的中点，所以：CNB1C1在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以：
22、CNBC因为：平面CC1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABC=BCCN平面CC1B1B，所以：CN平面ABC 因为：AB平面ABC，所以CNAB 因为：CM平面CMN，CN平面CMN，CMCN=C，所以：AB平面CMN（III）如图，经N点向A1B1作垂线，设垂足为D，连接DM，因为：NDA1B1，ABA1B1，所以：NDCM，取A1B1的中点E，连接C1E，则由C1EAB，所以：NDC1E，因为：N为C1B1的中点，E为A1B1的中点，所以：，所以： =18已知函数f（x）=lnx+（a0）（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（
23、x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根情况【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；（3）把f（x）=lnx+代入f（x）=，整理后得，讨论原方程的根的情况，即讨论方程的根的情况，引入辅助函数，求导得到函数在（0，+）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况【解答】解：（）
24、函数f（x）=lnx+（a0）的定义域为（0，+），则因为a0，由f（x）0得x（a，+），由f（x）0得x（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+），单调递减区间为（0，a）（）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足（x00），所以对x00恒成立又当x00时，所以a的最小值为（）由f（x）=，即化简得（x（0，+）令，则当x（0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为所以 当b0，即b0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有两个交点，方程f（x）=有
25、两个实根，当b=0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有一个交点，方程f（x）=有一个实根，当b0时，y=h（x） 的图象与x轴无交点，方程f（x）=无实根19已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且OMF是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，即可得到椭圆方程；（）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设
26、直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程【解答】解：（）由OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，故椭圆方程为 （）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故kPQ=1于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m22=0由0，得m23，且，由题意应有，又，故x1（x21）+y2（y11）=0，得x1（x21）+（x2+m）（x1+m1）=0即整理得解得或m=1经检验，当m=1时，PQM不存在，故舍去m=1当时，所求直线l存在
27、，且直线l的方程为20设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“方程f（x）x=0有实数根； 函数f（x）的导数f（x）满足0f（x）1”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0m，n，使得等式f（n）f（m）=（nm）f（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）x=0只有一个实数根【考点】导数的运算；函数的零点与方程根的关系【分析】（I）判定函数是否满足：“方程f（x）x=0有实数根；函数f（x）的导数f（x）满足0f（x）1”（II）证明只有一个的问题，可利用反正法进行证明，假设方程f（x）x=0存在两个实数根，（），然后寻找矛盾，从而肯定结论【解答】解：（I）因为，所以满足条件0f（x）1，又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）x=0有实数根0所以函数是集合M中的元素（II）证明：假设方程f（x）x=0存在两个实数根，（），则f（）=0，f（）=0不妨设，根据题意存在数c（，），使得等式f（）f（）=（）f（c）成立因为f（）=，f（）=，且，所以f（c）=1与已知0f（x）1矛盾，所以方程f（x）x=0只有一个实数根2016年10月15日
