1、本部分主要考查均值不等式的应用，含绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等总体而言难度不大知识点 1含绝对值不等式的解法1绝对值三角不等式（1）定理 1：如果，是实数，则|+|+|，当且仅当 0时，等号成立；（2）性质：|+|；（3）定理 2：如果，是实数，则|+|，当且仅当()()0时，等号成立2绝对值不等式的解法（1）含绝对值不等式|的解法不等式 0=0 0|或 0)和|+|(0)型不等式的解法|+|+；|+|+或+（3）|+|(0)和|+|(0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体
2、现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想知识点 2：不等式的证明方法考点清单 命题趋势 专题 12 不等式选讲 1基本不等式定理一：设，则2+2 2，当且仅当=时，等号成立定理二：如果，为正数，则2abab，当且仅当=时，等号成立定理三：如果，为正数，则33abcabc，当且仅当=时，等号成立2不等式的证明方法（1）比较法作差比较：0，0；作商比较：01aabb，01aabb（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件
3、出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；（4）反证法作出与所证不等式相反的假设；从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立（5）放缩法：要证 ，可寻找合适的中间量有 ，从而证得 10的解集；（2）记集合=|()5=0，若 A ，求实数的取值范围【答案】（1）2|3x x 或6x；（2）5,【解析】（1）依题意 22610 xx当 6，无解；当 6时，22610 xx，则 6，故 6，故不等式()10的解集为2|3x x 或6x（2）依题意，5f xa，而 38,12264,1638,6xxf xxxxxxx，则可知()mi
4、n=5，即()的值域为5,，因为 A ，故5 5，则5a，故实数的取值范围为5,【点评】本题考查绝对值不等式的求解，解题的关键是根据绝对值为 0 时端点分段讨论取绝对值进行求解2已知函数()3132f xxx（1）求不等式()5的解集；（2）若关于的不等式2()29f xaa恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）213xx；（2）1,52【解析】（1）()5，即为31325xx，经典训练题 精题集训（70 分钟）等价于133325xxx 或21333325xxx 或2333325xxx，解得213x，即不等式的解集为213xx（2）因为()313233 325f xxxxx ，当且仅当213x
5、 时取最小值，所以由2()29f xaa恒成立，可得2295aa，即22950aa，解得152a，故实数的取值范围是1,52【点评】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3已知函数()=2|1|+|+2|的最小值为 m（1）画出函数()的图象，利用图象写出函数最小值；（2）若，且+=，求证：+3【答案】（1）图象见解析，最小值为 3；（2）证明见解析【解析】（1）3,22124,213,1xxf xxxxxxx ，图象如图所示：由图可知当=
6、1时()取得最小值=3（2）由题意得+=3，222abab，222bcbc，222caac，三式相加并整理得2+2+2 +，两边同时加：2+2+2，并配方得(+)2 3(+)，9 3(+)，+3成立【点评】本题考查绝对值函数的性质和利用基本不等式证明其它不等式，属基础题画图象时关键是根据绝对值得零点分段，然后分段绘制函数的图象，证明不等式时要注意使用基本不等式，并注意时当配凑，配方以便使用已知条件证明结论4求证：222211112123n【答案】证明见解析【解析】证明：因为2111111nn nnn，所以22221111111111231 22 33 41nnn 111111111122223
7、341nnn【点评】本题考查了放缩法证明不等式，关键在于放缩的度的掌握，属于中档题5若，0，2+2=1求证：331abba【答案】证明见解析【解析】334422 22222()21 212abababa ba babbaabababab，因为2+2=1 2，当且仅当=时等号成立，所以102ab，设=，112(0)2h tttt，2120h tt，则()在10,2上单调递减，所以 112h th，所以当102ab时，121abab ，所以331abba【点评】证明不等式通常利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号6已知函数()=|2|+|（1）求不等式()+2的解集；（2）若函
8、数()的最小值为，正数，满足 12mab，求222abba的最小值【答案】（1）,04,；（2）最小值为 1【解析】（1）22,022,0222,2xxf xxxxxx，由()+2，得0222xxx或 0222xx 或2222xxx，解得 0或 4，故不等式()+2的解集为,04,（2）由绝对值三角不等式的性质，可知|2|+|(2)|=2，当且仅当(2)0时取“=”号，122ab，即+2=2222211212222abababa bbaabbab a，当且仅当 abba，即32ab时取等号，故222abba的最小值为 1【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”
9、就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方一、解答题1已知函数()=2+1，()=|2 1|，12a（1）当12a 时，解不等式27()2g x；（2）对任意1，2 ，若不等式(1)(2)恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】（1）,22,；（2）1322a【解析】（1）当12a 时，112122g xxxx，不等式 272g x，即21722x，即217|22x，解
10、得2 4或23x (舍去)，由2 4，解得 2所以不等式27()2g x 的解集是,22,（2）由题意知，只需满足()min ()max即可()=2+1，()min=1，依题意，当12a 时，11,2131,21,xaxg xxaxaxaxa ，由一次函数性质知，()在1,2上单调递增，在 1,2 a和,a 上单调递减，max1()12g xga高频易错题 由()min ()max，得112a，即32a 所以实数 a 的取值范围是 1322a【点评】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数=()，=()，（1）若1 ，2 ，总有(1)(2)成立，故()max (2)
11、min；（2）若1 ，2 ，有(1)(2)成立，故()max (2)max；（3）若1 ，2 ，有(1)(2)成立，故()min (2)max；（4）若1 ，2 ，有(1)=(2)，则()的值域是()值域的子集一、解答题1已知函数 1f xxaxa（1）当=2时，求不等式 3f x 的解集；（2）若不等式()2 对任意实数及恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）3|4x x 或94x；（2）1 2【解析】（1）当=2时，不等式 3f x 为1232xx所以21232xxx 或1221232xxx 或121232xxx，解得34x 或94x，综上所述，不等式的解集为3|4x x 或94x（2）1
12、11f xxaxxaxaaaa，精准预测题 而11122aaaaaa，当且仅当|=1时等号成立即当 x 和 a 变化时，()的最小值为 2，因为不等式()2 对任意实数 x 及 a 恒成立，2 2 ，1 2【点评】本题是含参数的不等式恒成立问题；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集的对立面(如 f xm的解集是空集，则 f xm恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f xa恒成立 maxaf x，f xa恒成立 minaf x2设函数()=2 2+2+2 8+16(0)（1）当1a 时，求不等式()的解集；（2）若 410f xa 恒成立，求的
13、取值范围【答案】（1）3,5；（2）,01,【解析】（1）当1a 时，52,1143,1425,4x xf xxxxxx，当 1时，()，无解；当1 4时，由()，可得3 4；当 4时，由()，可得4 5，故不等式()的解集为3,5（2）因为 410f xa 恒成立，即 min41f xa，()=|+|4|()(4)|=|4|，4441aaaa 当 0或 4时，不等式显然成立；当0 4时，44aaa，得2 5+4 0，则1 ，2，又 ，2 2，0 xa，2 3 0，+5 0，()|+5|+|+|2 3|+5|+2 3 +5即 2+8在 ，2 2上恒成立，令=2+8在 ，2 2上单调递减，min
14、=4+12，4+12，解得125a，综上，的取值范围为122,5【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：分离参数 ()恒成立()max即可)或 ()恒成立（()min即可）；数形结合(yf x图象在=()上方即可)；讨论最值()min或()max恒成立4设函数()=|2 1|+1|+，（1）若12a，求不等式()0的解集；（2）若函数()恰有三个零点，求实数的取值范围【答案】（1）4,0,3；（2）1,3【解析】（1）若12a，不等式()0，即121102xxx ，则 111 2102xxxx 或 11211 2102xxxx 或 12
15、121102xxxx，解得 1或1 0或43x，故原不等式的解集为4,0,3（2）由()=|2 1|+1|+=0，得|2 1|+1|=，设 2,112113,1212,2xxg xxxxxxx ，()=，在平面直角坐标系中做出()的大致图象，如图所示，结合图象分析，可知当3 1，即1 2)的最小值为 1（1）求不等式()+|2的解集（2）若2223232abcm，求+2的最大值【答案】（1）13,3,3；（2）3【解析】（1）|3|+|3 +|=|3|，当且仅当(3 )()0时，()取得最小值|3|又()=|3|+|的最小值为 1，|3|=1，2，=4()+|2，等价于|3|+2|4|2当 3
16、时，所求不等式等价于3+11 2，解得3x，符合题意；当3 2，解得3x，与条件矛盾；当 4时，所求不等式等价于3 11 2，解得133x，符合题意，综上，原不等式的解集为13,3,3（2）=4，22232362abcm，6=2+22+32=2+2+2(2+2)2(+2)，+2 3当且仅当=1时，+2取得最大值 3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误6已知不等式|2|3的解集与关于的不等式2 0的
17、解集相同（1）求实数，的值；（2）求函数()344f xa xbx 的最大值及取最大值时的值【答案】（1）=4，=5；（2）19x 时，()的最大值为 41【解析】（1）由|2|3，得 2 3或 2 5或 3的解集为|5或 0的解集为|5或 0，0，且+=1，证明：2+2+2+2 23【答案】（1）25 10+1；（2）证明见解析【解析】（1）因为(25)2 (10+1)2=20 (11+210)=9 210 0，所以(25)2 (10+1)2，因为25 0，10+1 0，所以25 10+1（2）证明：因为32253 2222aaa（当且仅当12a 时，等号成立），32253 2222bbb（
18、当且仅当12b 时，等号成立），所以553 223 22522ababab ，当且仅当12ab时，等号成立，因为+=1，所以3(2+2)+3(2+2)6，当且仅当12ab时，等号成立，所以2+2+2+2 23【点评】（1）不等式的大小比较，可利用作差法或作商法，前者需要定号，后者需要和 1 比较大小且需注意代数式的符号（2）利用基本不等式证明不等式，注意将目标代数式配凑成与已知条件相关的新的代数式8已知函数2()ln12xf xxx（1）证明：0时，()0；（2）证明：111ln13521nn【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）0时，22214()01(2)(1)(2)xfxxxxx，故()为增函数，()(0)=0（2）由（1）知：2ln(1)2xxx，令1xn时，有12121ln1ln1212nnnnnn，故 22ln31，23ln52，21ln21nnn，将式相加得：222231lnlnln352112nnn2 31lnln(1)1 2nnn，1111 ln(1)ln135212nnn【点评】（1）利用函数的导函数确定函数单调性证明函数不等式（2）由（1）结论，令1xn有21ln21nnn，应用累加求和求证不等式
