1、解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题 第八章 平面解析几何圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现热点题型 1 圆锥曲线中的定点问题典例 1 (2019广州二模)已知抛物线 y24x 的焦点 F 与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点重合，且点 F 关于直线 yx 的对称点在椭圆上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 Q0，13且斜率为 k 的
2、动直线 l 交椭圆于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M 点的坐标，若不存在，说明理由解题思路(1)求出抛物线的焦点 F 关于直线 yx 的对称点，结合已知条件及 a，b，c 的关系，求解椭圆的标准方程(2)假设存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点，求出 AB 垂直于两坐标轴时以 AB 为直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论解题思路规范解答规范解答(1)由抛物线 y24x，得其焦点为 F(1,0)，从而得点 F 关于直线 yx 的对称点为(0,1)，故 b1，c1，因此 a 2，椭圆 C 的
3、标准方程为x22y21.(2)假设存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点当 ABx 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2y21.当 ABy 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2y132169.联立，得x0，y1，定点 M(0,1)规范解答证明：设直线 l：ykx13，代入x22y21，有(2k21)x243kx169 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24k32k21，x1x21692k21.则MA(x1，y11)，MB(x2，y21)；MA MB x1x2kx143kx243(1k2)x1x243k(x1x2)169(1k2)1692k2143k4k32k21
4、169 0，所以在 y 轴上存在定点 M(0,1)，使以 AB 为直径的圆恒过这个定点典例 2 (2019北京高考)已知椭圆 C：x2a2y2b21 的右焦点为(1,0)，且经过点 A(0,1)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为原点，直线 l：ykxt(t1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若|OM|ON|2，求证：直线 l 经过定点解题思路(1)由已知条件直接求 b，c.再依据 a2b2c2 求 a，写出椭圆 C 的方程(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，写出直线 AP 的方程，求 xM.利用 y1kx
5、1t 和|OM|xM|，把|OM|用 k，t，x1 表示，同理表示|ON|，直线 l 与椭圆 C 的方程联立，推出 x1x2，x1x2.利用|OM|ON|2，求 t，从而得到定点解题思路规范解答规范解答(1)由题意，得 b21，c1，所以 a2b2c22.所以椭圆 C 的方程为x22y21.(2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线 AP 的方程为 yy11x1 x1.令 y0，得点 M 的横坐标 xM x1y11.又 y1kx1t，从而|OM|xM|x1kx1t1.同理，|ON|x2kx2t1.规范解答由ykxt，x22y21，得(12k2)x24ktx2t220，则 x1x
6、2 4kt12k2，x1x22t2212k2.所以|OM|ON|x1kx1t1 x2kx2t1x1x2k2x1x2kt1x1x2t12规范解答2t2212k2k22t2212k2kt1 4kt12k2 t1221t1t.又|OM|ON|2，所以 21t1t 2.解得 t0，所以直线 l 经过定点(0,0)热点题型 2 圆锥曲线中的定值问题典例 1 (2019全国卷)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x20 相切(1)若 A 在直线 xy0 上，求M 的半径；(2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解题思路(1)由
7、点 A，B 关于坐标原点 O 对称和点 A 在直线 xy0上知，点 A，B 都在直线 xy0 上，于是得点 M 在线段 AB 的垂直平分线，即 yx 上，设圆心 M 为(a，a)根据M 与直线 x2 相切和MO AO，求 a 从而得到M 的半径(2)联系第(1)问求圆心 M 坐标的方法找等量关系，求出 M 的轨迹方程，进而利用相应曲线的性质求|MA|，|MP|，判断|MA|MP|是否为定值解题思路规范解答(1)因为M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上由已知 A 在直线 xy0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M在直线 yx 上，故可设圆心 M 为(a，a)因为
8、M 与直线 x20 相切，所以M 的半径为 r|a2|.由已知得|AO|2.又MO AO，故可得 2a24(a2)2，解得 a0 或 a4.故M 的半径 r2 或 r6.规范解答规范解答(2)存在定点 P(1,0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设圆心 M 为(x，y)，由已知，得M 的半径为 r|x2|，|AO|2.由于MO AO，故可得 x2y24(x2)2，化简得 M 的轨迹方程为 y24x.因为曲线 C：y24x 是以点 P(1,0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点 P(1,0)典例 2 (2
9、019青岛三模)已知 O 为坐标原点，点 F1，F2 为椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，G 为椭圆 M 上的一个动点，GF1F2 的最大面积为 3，椭圆 M 的离心率为12.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)过抛物线 N：x24 33 y 上的一点 P 与抛物线 N 相切的直线 l 与椭圆M 相交于 A，B 两点，设 AB 的中点为 C，直线 OP 与直线 OC 的斜率分别是 k1，k2，证明：k1k2 为定值解题思路(1)根据题意，列方程组，结合 a，b，c 的关系即可求得 a和 b 的值，进而求得椭圆方程(2)通过求导求得直线 AB 的方程，代入椭圆方程，利用根与系数
10、的关系及中点坐标公式，即可求得 k1k2 为定值解题思路规范解答规范解答(1)因为GF1F2 的最大面积为 3，椭圆 M 的离心率为12.所以122cb 3，ca12，又因为 a2b2c2，所以 a2，b 3，所以椭圆 M 的标准方程为x24y231.(2)证明：设 Pt，3t24，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线方程 N：y 34 x2，对其求导得 y 32 x，规范解答则直线 AB 的方程为y 32 t(xt)34 t2 3t2 x 34 t2，将直线 AB 的方程代入椭圆方程x24y231，可得 12(1t2)x212t3x3t4480，因为 x1x2 t31t2，y1y2
11、 3t2(x1x2)3t22 3t221t2，所以点 Ct321t2，3t241t2，所以 k1 3t4，k2 32t，所以 k1k238.热点题型 3 圆锥曲线中的证明问题典例 1 已知抛物线 C：x22py(p0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B两点，D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点(1)若 ABl，且ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切解题思路(1)判断ABD 的形状，求|FD|，|AB|.由ABD 的面积为 1，列方程求 p，得抛物线的方程(2)将直线 AB 的方程与抛物线
12、 C 的方程联立，消去 y 并整理，结合根与系数的关系用 k，p 表示 M，N 的坐标求 kAN：斜率公式，导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切解题思路规范解答规范解答(1)ABl，ABD 为等腰三角形，且 FDAB，又|FD|p，|AB|2p.SABDp21.p1，故抛物线 C 的方程为 x22y.(2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为ykxp2，Ax1，x212p，Bx2，x222p.由ykxp2，x22py消去 y 整理得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.Mkp，k2pp2，Nkp，p2.规范解答kANx212pp2x1kpx212pp2x1x1x2
13、2x21p22px1x22x21x1x22px1x22x1p.又 x22py，yxp.抛物线 x22py 在点 A 处的切线的斜率 kx1p.直线 AN 与抛物线相切典例 2 (2019福州三模)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F(1,0)，过 F 且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 M(4,0)，过 F 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，证明：FMAFMB.解题思路(1)根据焦点坐标求 c，由点c，b2a 在椭圆上和过 F 且垂直于 x 轴的弦长为 3，列出关于 a，b 的方程，结合 a2b2c2 求出 a，b，得出椭圆
14、的方程(2)先讨论直线 l 斜率不存在的情况，再讨论直线 l 斜率存在的情况设直线 l 的斜率为 k，列出直线 l 的方程，并与椭圆方程联立，消元得到关于x 的方程根据根与系数的关系计算出 kAMkBM0，从而得出结论解题思路规范解答规范解答(1)由题意，知 c1，把 x1 代入椭圆方程，得 1a2y2b21，解得 yb2a，b2a 32，又 a2b21，得 a2，b 3，椭圆的方程为x24y231.(2)证明：当直线 l 斜率不存在时，由对称性知FMAFMB；当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，代入椭圆方程，得(34k2)x28k2x4k2120，设 A(x1，y1)
15、，B(x2，y2)，规范解答则 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，kAMkBM y1x14 y2x24kx11x24kx21x14x14x24k2x1x25x1x28x14x24，2x1x25(x1x2)88k22434k2 40k234k280，kAMkBM0，FMAFMB.综上，FMAFMB.热点题型 4 圆锥曲线中的最值与范围问题典例 1 (2019包头二模)设 F 为抛物线 C：y22px 的焦点，A 是 C上一点，FA 的延长线交 y 轴于点 B，A 为 FB 的中点，且|FB|3.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线
16、l1 与 C 交于 M，N 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，求四边形 MDNE 面积的最小值解题思路(1)由题意画出图形，结合已知条件列式求得 p，则抛物线 C的方程可求(2)由已知直线 l1 的斜率存在且不为 0，设其方程为 yk(x1)，与抛物线方程联立，求出|MN|，同理可求|DE|实际上，在|MN|的表达式中用1k代替 k 即可，可得四边形 MDNE 的面积表达式，再利用基本不等式求最值解题思路规范解答规范解答(1)如图，A 为 FB 的中点，A 到 y轴的距离为p4，|AF|p4p23p4|FB|2 32，解得 p2.抛物线 C 的方程为 y24x.规范解答(2)由已知
17、直线 l1 的斜率存在且不为 0，设其方程为 yk(x1)由ykx1，y24x，得 k2x2(2k24)xk20.0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x224k2，则|MN|x1x22411k2；同理设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，x3x424k2，则|DE|x3x424(1k2)四边形 MDNE 的面积 S12|MN|DE|82k21k232.当且仅当 k1 时，四边形 MDNE 的面积取得最小值 32.典例 2 如图，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 A(2,0)，左、右焦点分别为 F1，F2，过点 A 且斜率为12的直线与 y 轴交于点 P，与椭圆交于
18、另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 P 且斜率大于12的直线与椭圆交于 M，N两点(|PM|PN|)，若 SPAMSPBN，求实数 的取值范围解题思路(1)求点 B 的坐标根据 kAB12列方程由题意得 a2，a2b2c2，解方程组求 a，b，c，写出椭圆 C 的标准方程(2)SPAMSPBN 面积公式PM 与PN的关系点 M，N 坐标之间的关系直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 y 整理用根与系数的关系得出点 M，N 的坐标之间的关系式推出 与 k 的关系，并根据 k12求范围，找到 所满足的不等式，求出 的取值范围
19、解题思路规范解答规范解答(1)因为 BF1x 轴，所以点 Bc，b2a，所以a2，b2aac12，a2b2c2a2，b 3，c1，所以椭圆 C 的标准方程是x24y231.规范解答(2)因为SPAMSPBN12|PA|PM|sinAPM12|PB|PN|sinBPN2|PM|1|PN|PM|PN|2(2)，所以PM 2PN.由(1)可知 P(0，1)，设直线 MN：ykx1k12，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得ykx1，x24y231，化简得，(4k23)x28kx80.规范解答得x1x28k4k23，x1x2 84k23.(*)又PM(x1，y11)，PN(x2，y21)，
20、有 x12x2，将 x12x2 代入(*)可得，22 16k24k23.因为 k12，所以 16k24k23 163k24(1,4)，规范解答则 122240，解得 22 k 22(k0)，设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2 8k212k2，x1x28k2212k2，规范解答y1y2k(x1x2)4kk 8k212k24k4k12k2，取 MN 的中点 H，即 Hx1x22，y1y22，则y1y221x1x22k1，即2k12k214k212k2k1，化简得 2k22k10，无实数解，故舍去规范解答当 k0 时，M，N 为椭圆 C 的左、右顶点，显然满足|BM|BN|，此时直线 l 的方程为 y0.综上可知，存在直线 l 满足题意，此时直线 l 的方程为 y0.本课结束
