1、第3讲二项式定理【2014年高考会这样考】1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 考点梳理1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式其中的系数C(r0,1，n)叫二项式系数式中的Canrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Canrbr.2二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到
2、n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即CC_.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值(3)各二项式系数和：CCCCC2n；CCCCCC2n1.【助学微博】 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指
3、C，而后者是字母外的部分前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：证明与二项式系数有关的等式；证明不等式；证明整除问题；做近似计算等考点自测1(2012四川)(1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35 C28 D21解析x2项的系数是C21.答案D2(人教A版教材习题改编)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A
4、9 B8 C7 D6解析令x1，则a0a1a2a3a40令x1，则a0a1a2a3a416a0a2a48.答案B3(2011重庆)(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n()A6 B7 C8 D9解析Tr1C(3x)r3rCxr，由已知条件35C36C，即C3C，3，解得n7.答案B4(2012上海)在6的二项展开式中，常数项等于_解析Tr1Cx6rrC(2)rx62r，令r3，得常数项为T4C(2)3160.答案1605(2012陕西)(ax)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为_解析由二项展开式的通项公式可得，T3Ca3x210x2，解得a1.答案1 考向一
5、二项展开式中的特定项或特定项的系数【例 1】 已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项审题视点 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键解通项公式为Tr1Cx(3)rx(3)rCx.(1)第6项为常数项，r5时，有0，解得n10.(2)令2，得r(n6)2，x2的项的系数为C(3)2405.(3)由题意知令k(kZ)，则102r3k，即r5k，rZ，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8.第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236，295 245x2. 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简
6、通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可【训练1】 (2012福建)(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a_.解析(ax)4的展开式中的通项Tr1Ca4rxr，当r3时，有Ca8，所以a2.答案2 考向二二项式定理中的赋值【例2】在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和审题视点 求二项式的系数的和，常用赋值法求解解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和即为
7、a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项的系数和为；，得2(a1a3a9)1510，偶数项的系数和为. (1)对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只
8、需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.【训练2】 (2013九江质检)(12x)6a0a1xa2x2a6x6，则|a0|a1|a2|a6|的值为()A1 B64 C243 D729解析|a0|a1|a6|即为(12x)6展开式中各项系数的和，在原题中令x1，则|a0|a1|a6|(12)636729.答案D 考向三二项式的和与积【例3】(12x)3(1x)4展开式中x项的系数为_审题视点 求多个二
9、项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式解析(12x)3(1x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0C(x)1C(2x)1C14(x)0，其系数为CC(1)C2462.答案2 对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解【训练3】 (2012安徽)(x22)5的展开式的常数项是()A3 B2 C2 D3解析二项式5展开式的通项为：Tr1C5r(1)rCx2r10
10、(1)r.当2r102，即r4时，有x2Cx2(1)45；当2r100，即r5时，有2Cx0(1)52.展开式中的常数项为523，故选D.答案D 热点突破26二项式定理的常考题型 【命题研究】 通过对近三年高考试题的研究可以看出，二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一，二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系，试题相对独立，是高考中多年来最缺少变化的题型之一，预测2014年高考仍将以考查二项展开式中的常数项或求展开式中某一项或某一项的系数为主，考查题型主要是选择题和填空题一、求常数项【真题探究1】 (2012湖南)6的二项展开式中的常数项为_(用
11、数字作答)教你审题 求二项展开式中的常数项，首先应正确写出通项公式，然后令所含参数的指数为零，确定项数，再代入通项公式求解解法 二项展开式的通项为Tr1C(2)6rrC(1)r26rx3r，令3r0则r3，得常数项为T48C160.答案160【试一试1】 (2012重庆)8的展开式中常数项为()A. B. C. D105解析二项展开式的通项Tr1C()8rrCrx4r，当4r0时，r4，所以展开式中的常数项为C4.答案B二、求特定项的系数【真题探究2】 (2012全国)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_教你审题 由二项式系数相等，可以确定n的值，然后进一步借助
12、于通项公式，分析项的系数解法 因为展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，即CC，所以n8，所以8的展开式的通项公式为Tr1Cx8rrCx82r，所以82r2r5，所以的系数为C56.答案56备考 求二项展开式中的特定项或特定项的系数是高考考查二项式定理的主要题型之一解这类问题的关键是弄清楚待求解的特定项是哪一项，这一项如何计算，基本方法就是根据题目的要求和二项展开式的通项公式列出方程，通过方程找到是哪一项，然后再根据二项展开式的通项公式进行计算【试一试2】 (2012广东)6的展开式中x3的系数为_(用数字作答)解析由6的展开式的通项为Tr1C(x2)6rrCx123r，令123r3，得r3
13、，所以展开式中x3的系数为C20.答案20 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A3项 B4项 C5项 D6项解析Tr1C()24rrCx12，故当r0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项答案C2设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中x的系数为()A150 B150 C300 D300解析由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案B3(2013兰州模拟)已知8展开式中常
14、数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A28 B38 C1或38 D1或28解析由题意知C(a)41 120，解得a2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.答案C4(2012天津)在5的二项展开式中，x的系数为()A10 B10 C40 D40解析因为Tr1C(2x2)5rrC25r(1)rx103r，所以103r1，所以r3，所以x的系数为C253(1)340.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5(2011湖北)18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)解析Tr1Cx18rr(1)rCrx18r，令18r15，解得r2.所以所求系数为(
15、1)2C217.答案176(2012浙江)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)5r(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.答案10三、解答题(共25分)7(12分)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项解(1)由题意，得CCCC256，即2n256，解得n8.(2)该二项展开式中的第r1项为Tr1C()8rrCx，令0，得r2，此时，常数项为T3C28.8(13分)在杨辉三角形中，每一行除首
16、末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论第0行1第1行 11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解(1)CCC.(2)12222n2n11.(3)设CCC345，由，得，即3n7r30.由，得，即4n9r50.解联立方程组，得n62，r27，即CCC345. B级能力突破(时间：30分钟满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1已知0a0)与y|loga
17、x|的大致图象如图所示，所以n2.故(x1)n(x1)11(x21)2(x21)11，所以a12C2119.答案B2(2012湖北)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解析512 012a(1341)2 012a被13整除余1a，结合选项可得a12时，512 012a能被13整除答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a11)_.解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2
18、(a1a3a11)log2277.答案74(2011浙江)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_解析由Tr1Cx6rrC(a)rx6r，得BC(a)4，AC(a)2，B4A，a0，a2.答案2三、解答题(共25分)5(12分)已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解5的展开式的通项为Tr1C5rr5rCx，令205r0，得r4，故常数项T5C16.又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n16，得n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中系数最大的项是中间项
19、T3，故有Ca454，解得a.6(13分)已知n， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11，T11C2210x1016 896x10.版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
