1、2021-2022学年北京交大附中高三（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）.1函数f（x）的定义域是（）Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x12设函数f（x）ax2+bx+c（a0），对任意实数t都有f（2+t）f（2t）成立，则函数值f（1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（）Af（1）Bf（1）Cf（2）Df（5）3已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3a3，且a30，则（）A1BCD34已知数列an的通项公式为，则“a2a1”是“数列an单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5某市生产总值连续
2、两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）ABCpqD16已知x0是函数的一个零点，且x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）07某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an（a1，nN*）是几位数”，他以2n（nN*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N2n（n0）lgNN的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1
3、.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg20.3010）（）A101B50C31D308已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，且f（2）0，则不等式的解集是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（2，+）D（，2）（0，2）9对于任意的实数a、b，记max设F（x）maxf（x），g（x）（xR），其中g（x），yf（x）是奇函数当x0时，yf（x）的图象与g（x）的图象如图所示则下列关于函数yF（x）的说法中，正确的是（）AyF（x）有极大值F（1）且无最小值B
4、yF（x）为奇函数CyF（x）的最小值为2且最大值为2DyF（x）在（3，0）上为增函数10在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A随着车流密度增大，车流速度增大B随着车流密度增大，交通流量增大C随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共30分）11设an为等比
5、数列，其前n项和为Sn，a22，S23a10则an的通项公式是 ；Sn+an48，则n的最小值为 12设函数f（x）的定义域为0，1，能说明若函数f（x）在0，1上的最大值为f（1），则函数f（x）在0，1上单调递增”为假命题的一个函数是 13已知f（x），则不等式xf（x）+x2的解集是 14已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2ax+a，其中aRf（1） ；若f（x）的值域是R，则a的取值范围是 15在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%
6、，对于此次测试，给出下列三个结论：甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定其中，所有正确的序号是 三、解答题（本大题共6小题，共70分）16已知等差数列an满足a59，a3+a922（）求an的通项公式；（）等比数列bn的前n项和为Sn，且b1a1，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知条件，求满足Sn2020的n的最大值条件：b3a1+a2；条件：S37；条件：bn+1bn17某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第
7、二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123pad（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（）求p，q的值；（）求数学期望E18已知函数f（x）x3+mx2+nx2的图象过点（1，6），且函数g（x）f（x）+6x是偶函数（1）求m，n的值及函数yf（x）的单调区间；（2）若a0，求函数yf（x）在区间（a1，a+1）内的极值19已知函数f（x）ex（2x23x）（）求不等式f（x）0的解集；（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）函数f（x）在区间0，2上的最大值和最小值；（）若在区间（a，+）上
8、，函数f（x）总有最小值，求出a的取值范围；（）在函数f（x）的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）20已知函数f（x），其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线xy10是曲线yf（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）xlnxx2f（x），求g（x）在区间1，e的最大值（其中e为自然对数底数）（）若g（x）xlnxx2f（x）0恒成立，求a的值21给定正整数n（n3），集合Un1，2，n若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：UnABC，且ABBCAC；集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中（集合C中还可以包
9、含其它数）；集合A，B，C中各元素之和分别记为SA，SB，SC，有SASBSC；则称集合Un为可分集合（）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；（）证明：若n是3的倍数，则Un不是可分集合；（）若Un为可分集合且n为奇数，求n的最小值参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共50分）1函数f（x）的定义域是（）Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1【分析】根据根式函数，分式函数，对数函数的定义域求函数f（x）的定义域即可解：方法1：要使函数有意义，则有，即，所以x1所以函数的定义域为x|x1方法2：特殊值法当x0时，无意义，所以排除A，C当x1时，则不能当分母
10、，所以排除D故选：B2设函数f（x）ax2+bx+c（a0），对任意实数t都有f（2+t）f（2t）成立，则函数值f（1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（）Af（1）Bf（1）Cf（2）Df（5）【分析】由题设知，函数f（x）ax2+bx+c（a0）的对称轴是x2a0时，函数值f（1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）a0时，函数值f（1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（1）和f（5）解：对任意实数t都有f（2+t）f（2t）成立，函数f（x）ax2+bx+c（a0）的对称轴是x2，当a0时，函数值f（1），f（1），f（2），f（5
11、）中，最小的一个是f（2）当a0时，函数值f（1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（1）和f（5）故选：B3已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3a3，且a30，则（）A1BCD3【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出解：设等差数列an的公差为d，S3a3，且a30，3a1+3da1+2d，化为：2a1d0故选：C4已知数列an的通项公式为，则“a2a1”是“数列an单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】数列an单调递增an+1an，可得a的范围由“a2a1”可得：2+1+a，可得a的范围即可判断出关系解：数列a
12、n单调递增an+1an，可得：n+1+n+，化为：an2+na2由“a2a1”可得：2+1+a，可得：a2“a2a1”是“数列an单调递增”的充要条件，故选：C5某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）ABCpqD1【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）（1+x）2，解出即可解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）（1+x）2，解得x1，故选：D6已知x0是函数的一个零点，且x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2
13、）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0【分析】判断f（x）在（，0）上的单调性，从而得出答案解：y（）x在（，0）上单调递减，y在（，0）上单调递减，f（x）（）x+在（，0）上单调递减，f（x0）0，x1x0，x0x20，f（x1）0，f（x2）0故选：D7某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an（a1，nN*）是几位数”，他以2n（nN*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N2n（n0）lgNN的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位
14、数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg20.3010）（）A101B50C31D30【分析】因为4502100，所以N2100，则lgNlg2100100lg230+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数解：4502100，N2100，则lgNlg2100100lg230.1030+0.1030+lg100.1030+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C8已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，且f（2）0，则不等式的解集是（）A（2，0）（0，2）B（
15、，2）（2，+）C（2，0）（2，+）D（，2）（0，2）【分析】f（x）是定义在R上的偶函数，说明奇函数，若x0时，可得为增函数，若x0，为增函数，根据f（2）f（2）0，求出不等式的解集；解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，为增函数，f（x）为偶函数，为奇函数，在（，0）上为增函数，f（2）f（2）0，若x0，0，所以x2；若x0，0，在（，0）上为增函数，可得2x0，综上得，不等式的解集是（2，0）（2，+）故选：C9对于任意的实数a、b，记max设F（x）maxf（x），g（x）（xR），其中g（x），yf（x）是奇函数当x0时，yf（x）的图象与g（x）的图象如图所示则下列关
16、于函数yF（x）的说法中，正确的是（）AyF（x）有极大值F（1）且无最小值ByF（x）为奇函数CyF（x）的最小值为2且最大值为2DyF（x）在（3，0）上为增函数【分析】先由图象观察求出当x0时的表达式f（x）a（x1）22，其中a0，不妨取a1；因为函数f（x）是奇函数，所以当x0时，f（0）0；当x0时，f（x）f（x）（x+1）2+2因此，分别画出yf（x）及yg（x）的图象，即可得出函数yF（x）的图象及表达式，进而可求出函数yF（x）的有关性质解：当x0时，由图象可知：函数yf（x）是二次函数的一部分，并且知道顶点为（1，2），不妨取a1，可得f（x）（x1）22；函数f（x）是
17、R上的奇函数，当x0时，x0，f（x）f（x）（x+1）2+2；易知f（0）0；分别画出yf（x）及yg（x）的图象，当x0时，由，解得x；当x0时，由，解得；由F（x）maxf（x），g（x）（xR），可得函数F（x）的图象及表达式F（x），1当x时，显然F（x）（x1）22单调递增，故此时无最大值；2当时，F（x）单调递增，所以；3当时，F（x）（x+1）2+2，有F（x）2x2，令F（x）0，则x1，易知，当x1时，F（x）有极大值F（1）；4当时，F（x）单调递增，故F（x）综上可知：yF（x）既无最大值，也无最小值，但有极大值F（1），而在上单调递增，在1，0上单调递减故选：A10在
18、交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A随着车流密度增大，车流速度增大B随着车流密度增大，交通流量增大C随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，
19、D正确，故选：D二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共30分）11设an为等比数列，其前n项和为Sn，a22，S23a10则an的通项公式是 an2n1；Sn+an48，则n的最小值为 6【分析】设等比数列an的公比为q，由题意可得a1q2，a2+a13a10，从而解得a11，q2，即可写出通项公式及前n项和公式，从而解不等式解：设等比数列an的公比为q，则a1q2，S23a1a2+a13a10，解得，a11，q2，故an12n12n1，Sn2n1，Sn+an2n1+2n148，即32n149，故n的最小值为6，故答案为：an2n1，612设函数f（x）的定义域为0，1，能说明若函数f（x
20、）在0，1上的最大值为f（1），则函数f（x）在0，1上单调递增”为假命题的一个函数是 f（x）（x）2+，x0，1，（答案不唯一）【分析】根据题意，可以构造在定义域为0，1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案【解答】根据题意，要求函数f（x）的定义域为0，1，在0，1上的最大值为f（1），但f（x）在0，1上不是增函数，可以考虑定义域为0，1上，先减后增的函数的二次函数，函数f（x）（x）2+，x0，1符合，故答案为：f（x）（x）2+，x0，1，（答案不唯一）13已知f（x），则不等式xf（x）+x2的解集是x|x1【分析】由题意，不等式求解必须分类讨论，分x0、x0时解答，最后
21、求并集解：x0时，f（x）1，xf（x）+x2x1，0x1；当x0时，f（x）1，xf（x）+x202，x0综上x1故答案为：x|x114已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2ax+a，其中aRf（1）1；若f（x）的值域是R，则a的取值范围是（，04，+）【分析】运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴有交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到所求范围解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2ax+a，其中aR，f（1）f（1）（1a+a）1；若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当
22、x0时，f（x）x2ax+a，图象与x轴有交点，可得a24a0，解得a4或a0，即a的取值范围是（，04，+）故答案为：1 （，04，+）15在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定其中，所有正确的序号是【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断解：
23、由题意得，甲校学生成绩优秀率在50%与70%之间，乙校学生成绩的优秀率在40%与60%之间，不能确定哪个学校的优秀率大，错误；甲乙两校所有男生的优秀率在60%与70%之间，甲乙两校所有女生成绩的优秀率在40%与50%之间，所以甲乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲乙两校所有女生成绩的优秀率，正确；甲校学生成绩的优秀率与学校的男女生的比例有关，不能由甲乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系确定，正确；所有正确的结论序号是故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）16已知等差数列an满足a59，a3+a922（）求an的通项公式；（）等比数列bn的前n项和为Sn，且b1a1，再从条件、条件、条件这
24、三个条件中选择两个作为已知条件，求满足Sn2020的n的最大值条件：b3a1+a2；条件：S37；条件：bn+1bn【分析】（1）用a1和d表示出已知的两个式子，求解出a1和d即可；（2）利用已知求出等比数列bn的首项及公比，构造出前n项和，再解不等式即可解：（I）设等差数列an的公差为d，a59，a3+a922，a1+4d9，2a1+10d22，解得：a11，d2，an1+2（n1）2n1（）（i）选择：由可知：an2n1，所以a11，a23，所以b11因为b3a1+a2，所以b34，因为S37，b11，b34，所以b22，因为数列bn为等比数列，所以公比q2，所以，所以2n12020，解得
25、n10（ii）选择：由可知：an2n1，所以a11，a23，所以b11因为b3a1+a2，所以b34，因为数列bn为等比数列，所以q24，因为bn+1bn，所以b2b1，所以q2，所以，所以2n12020，解得n10（iii）选择：由可知：an2n1，所以a11，a23，所以b11，因为S37，所以b1+b2+b37，因为数列bn为等比数列，所以1+q+q27，解得：q2或q3，因为bn+1bn，所以b2b1，所以q2，所以，所以2n12020，解得n1017某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否
26、取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123pad（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（）求p，q的值；（）求数学期望E【分析】（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率为1P（0）；（II）根据P（0）与P（3）建立关于p和q的方程组，解之即可求出p和q的值；（III）先求出a和d的值，然后根据E0P（0）+1P（1）+2P（2）+3P（3）即可求出数学期望解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i1，2，3，由题意知，P（A2）p，P（A3）q（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优
27、秀成绩”与事件“0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，（II）由题意知整理得 ，p+q1由pq，可得，（III）由题意知dP（2）1P（0）P（1）P（3）E0P（0）+1P（1）+2P（2）+3P（3）故所求数学期望为18已知函数f（x）x3+mx2+nx2的图象过点（1，6），且函数g（x）f（x）+6x是偶函数（1）求m，n的值及函数yf（x）的单调区间；（2）若a0，求函数yf（x）在区间（a1，a+1）内的极值【分析】（1）利用条件的到两个关于m、n的方程，求出m、n的值，再找函数yf（x）的导函数大于0和小于0对应的区间即可（2）利用（1）的结论，分情况讨论区间
28、（a1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论解：（）由函数f（x）图象过点（1，6），得mn3，由f（x）x3+mx2+nx2，得f（x）3x2+2mx+n，则g（x）f（x）+6x3x2+（6+2m）x+n；而g（x）图象关于y轴对称，所以00，所以m3，代入得n0于是f（x）3x26x3x（x2）由f（x）得x2或x0，由f（x）0得0x2，故f（x）的单调递增区间是（，0），（2，+），f（x）的单调递减区间是（0，2）（2）由（1）得f（x）3x（x2），令f（x）0得x0或x2当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表：X（，0）0（0，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）极
29、大值2极小值6由此可得：当0a1时，f（x）在（a1，a+1）内有极大值f（0）2，无极小值；当a1时，f（x）在（a1，a+1）内无极值；当1a3时，f（x）在（a1，a+1）内有极小值f（2）6，无极大值；当a3时，f（x）在（a1，a+1）内无极值综上得：当0a1时，f（x）有极大值2，无极小值，当1a3时，有极小值6，无极大值，当a1或a3时，f（x）无极值19已知函数f（x）ex（2x23x）（）求不等式f（x）0的解集；（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）函数f（x）在区间0，2上的最大值和最小值；（）若在区间（a，+）上，函数f（x）总有最小值，求出a的取值范围；（）在函数f
30、（x）的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）【分析】（）根据题意，解一元二次不等式，即可求得不等式的解集；（）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）的单调区间和极值；（）由（）列表即可求得f（x）的最值；（）根据导数与单调性的关系，绘出大致图象，根据题意即可求得a的取值范围；（）根据导数的几何意义，即可判断解：（）因为ex0，所以f（x）ex（2x23x）0，得2x23x0，解得x0或，所以不等式f（x）0的解集为；（）由f（x）ex（2x23x）f（x）ex（2x2+x3）ex（2x+3）（x1），x0，2所以f（x）和f（x）在区间0，2上随x
31、变化的情况如下： x 0 （0，1） 1 （1，2） 2f（x） 0+ f（x） 0e 2e2所以f（x）在0，2单调递减区间为0，1），单调递增区间为（1，2；当x1时，取得极小值，极小值为e，无极大值；（）由（）可知，当x1时，f（x）取得最小值e，当x2时，f（x）取得最大值2e2；（）f（x）ex（2x2+x3）ex（2x+3）（x1），所以f（x）和f（x）随x变化的情况如下： x 1（1，+）f（x）+ 0 0+ f（x） e由如f（x）在区间（a，+）上，总有最小值，由图可知，a1，所以a的取值范围为（，1）；（）存在20已知函数f（x），其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（
32、）若直线xy10是曲线yf（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）xlnxx2f（x），求g（x）在区间1，e的最大值（其中e为自然对数底数）（）若g（x）xlnxx2f（x）0恒成立，求a的值【分析】（）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间1，e上的单调性，进而求得其在区间1，e上的最大值；（）问题转化为a（x1）xlnx在（0，+）恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性，求出a的值即可解：（）因为函数f（x）
33、，f（x），f（x）00x2，f（x）0x0，x2，故函数在（0，2）上递增，在（，0）和（2，+）上递减（）设切点为（x，y），由切线斜率k1，x3ax+2，由xy1x10（x2a）（x1）0x1，x，把x1代入得a1，把x代入得a1，把x代入得a1，a0，故所求实数a的值为1（）g（x）xlnxx2f（x）xlnxa（x1），g（x）lnx+1a，且g（1）1a，g（e）2a，当a1时，g（1）0，g（e）0，故g（x）在区间1，e上递增，其最大值为g（e）a+e（1a），当1a2时，g（1）0，g（e）0，故g（x）在区间1，e上先减后增，最大值为g（1）或g（e），设g（1）g（e），
34、可得a，若a2时，最大值为g（1），1a时，最大值为g（e），所以g（x）在区间1，e上的最大值为g（1）0或g（e）a+e（1a）；当a2时，g（1）0，g（e）0，g（x）在区间1，e上递减，故最大值为g（1）0，综上：当a1时，最大值为g（e）a+e（1a），当a2时，最大值为g（1）0，当1a时，最大值为g（e）a+e（1a），当a2时，最大值为g（1）0；（）若g（x）xlnxx2f（x）0恒成立，即a（x1）xlnx，x1时，00恒成立，0x1时，x10，问题转化为a在（0，1）恒成立，令g（x），x（0，1），则g（x），令h（x）lnx+x1，x（0，1），则h（x）0，h（x
35、）在（0，1）递减，h（x）h（1）0，故g（x）0，g（x）在（0，1）递增，而1，故a1；x1时，x10，问题转化为a在（0，1）恒成立，令p（x），x（1，+），则p（x），令q（x）lnx+x1，x（1，+），则q（x）0，q（x）在（1，+）递增，p（x）p（1）0，故q（x）0，q（x）在（1，+）递增，而1，故a1，综上：a121给定正整数n（n3），集合Un1，2，n若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：UnABC，且ABBCAC；集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其它数）；集合A，B，C中各元素之和分别记为SA
36、，SB，SC，有SASBSC；则称集合Un为可分集合（）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；（）证明：若n是3的倍数，则Un不是可分集合；（）若Un为可分集合且n为奇数，求n的最小值【分析】（I）取A5，7，B4，8，C1，2，3，6，即可满足条件（II）假设存在n是3的倍数且Un是可分集合设n3k，则依照题意3，6，3kC，可得SC3+6+3k，而这n个数的和为，即可得出矛盾（）n35由于所有元素和为，又SB中元素是偶数，所以3SB6m（m为正整数），可得以n（n+1）12m，由（）知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数当n为奇数时，n+1为偶数，而n（1+
37、n）12m，一定有n+1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n+112k，所以n12k1，kN*可得：k（12k1）m定义集合D1，5，7，11，即集合D由集合Un中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合E2，4，8，10，即集合E由集合Un中所有不是3的倍数的偶数组成，可得k3即可得出解：（I）依照题意，可以取A5，7，B4，8，C1，2，3，6（II）假设存在n是3的倍数且Un是可分集合设n3k，则依照题意3，6，3kC，故SC3+6+3k，而这n个数的和为，故SC，矛盾，所以n是3的倍数时，Un一定不是可分集合（）n35因为所有元素和为，又SB中元素是偶数，所以3SB6m（m为正整数），所以n
38、（n+1）12m，因为n，n+1为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数由（）知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数当n为奇数时，n+1为偶数，而n（1+n）12m，所以一定有n+1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n+112k，所以n12k1，kN*定义集合D1，5，7，11，即集合D由集合Un中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合E2，4，8，10，即集合E由集合Un中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合A，B，C的性质知道，集合AD，BE，此时集合D，E中的元素之和都是24k2，而，此时Un中所有3的倍数的和为，24k2（24k22k）2k，（24k22k）（24k26k）4k显然必须从集合D，E中各取出一些元素，这些元素的和都是2k，所以从集合D1，5，7，11，中必须取偶数个元素放到集合C中，所以2k6，所以k3，此时n35而令集合A7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，集合B8，10，14，16，20，22，26，28，32，34，集合C3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4，检验可知，此时U35是可分集合，所以n的最小值为35
