1、江苏省南京市临江高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一单项选择题1.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（ ）X3459PA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.【详解】，解得.故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.2.已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：，在复平面上对应的点位于第三象限，故选C.考点：复数的运算和几何意义.3.设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得
2、导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.4.函数y=x2x的单调递减区间为A. （1,1B. （0,1C. 1，+）D. （0，+）【答案】B【解析】对函数求导，得（x0）,令解得，因此函数单调减区间为，故选B考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域5.函数在上的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数在上的极值，结合区间端点的函数值进行比较即可求出最大值.【详解】，当时，有，因此当时，函数单调递增；当时，有，因此当时，函数
3、单调递减，因此是函数在上的极大值点，极大值为，而，因为，所以在上的最大值为.故选：B【点睛】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，考查了数学运算能力.6.在的展开式中的系数是( )A. B. C. D. 207【答案】C【解析】【分析】根据的产生过程，由二项展开式的通项公式，即可容易求得结果.【详解】的通项公式为，故可得其的系数为，的系数为，故容易得在的展开式中的系数为.故选：C.【点睛】本题考查由二项式定理求指定项的系数，属基础题.7.在学校的一次数学讲题比赛中，高一、高二、高三分别有2名、2名、3名同学获奖，将这七名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有( )A
4、. 12种B. 36种C. 72种D. 144种【答案】D【解析】【分析】将相邻元素捆绑，对3个元素进行排序，再进行内部排序，则问题得解.【详解】将相邻元素捆绑，对3个元素进行排序，再进行内部排序，则共有种.故选：D【点睛】本题考查简单排列问题的求解，属基础题.8.已知函数是函数的导函数，对任意实数都有，设则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对任意实数都有，即在上为单调减函数又不等式等价于不等式的解集为故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等.二多项选择题
5、9.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A. 若复数，则B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则C. 若复数，满足，则D. 复数的虚部是3【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念可判断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.10.已知函数的定义域为，部分对应值如下表：0451221的导函数的图象如图所示，关于的命题正确的是（ ）A
6、. 函数是周期函数B. 函数在上是减函数C. 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4D. 当时，函数有 4个零点【答案】BC【解析】【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案.【详解】由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：A为假命题，函数不能断定为是周期函数；B为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减；C为真命题，动直线与图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个；D为假命题，当离1非常接近时，对于第二个图，有2个零点，也可以
7、是3个零点，故选：BC.【点睛】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系,二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，考查了通过函数图象研究零点的个数，属于中档题.11.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）A. 分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；B 分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C. 分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】【分析】选项，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙
8、2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲乙丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.【详解】对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把
9、6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故错误.故选：.【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.12.对任意实数，有.则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】分析】根据题意，将整理为的表达式，得到的二项展开式，从而可以根据二项展开式的通项公式和赋值法，即可判断正
10、误.【详解】对任意实数x，有，故A正确；故令，可得，故B不正确；令，可得，故C正确；令，可得，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题考查了二项式定理，考查了赋值法求和，考查了转化思想，属于较难题.三填空题13.已知其中为虚数单位，则_【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于的方程组，解出可得【详解】，即，由复数相等的条件，得，解得，.故答案为：【点睛】本题考查复数的除法和复数相等的充要条件，属基础题14.将四个不同的小球放入三个分别标有123号的盒子中，不允许有空盒子的放法有_种(结果用数字表示).【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得三个盒子
11、中有1个中放2个球， 分2步进行分析：、先将四个不同的小球分成3组，、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，分2步进行分析：、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则没有空盒的放法有种；故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题15.已知函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求导得，转化条件为在区间内恒成立，令，求导
12、后求得即可得解.【详解】，函数在区间内是减函数，在区间内恒成立，即在区间内恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；又，.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.16.已知在的展开式中，第6项为常数项，则_.【答案】【解析】【分析】在二项式的展开式的通项公式中，令，可得的次数为0，求得的值【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，可得，求得故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.四解答题17.已知复数.（1）当实数为何值时，复数为纯虚数；（2）当时，计算.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由复数为纯虚数得出其实
13、部为零，虚部不为零，进而可解得实数的值；（2）当时，由复数的四则运算法则可计算得出的值.【详解】（1）复数为纯虚数，则，解得；（2）当时，.【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了复数的计算，考查计算能力，属于基础题.18.已知函数，曲线在点处的切线为.（1）求的值；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2）极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用，可得（2）由（1）可得函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而得到函数的极值；【详解】解：（1）因为，所以因为曲线在点处的切线为.所以，解得（2）由（1）可得，所以，令解得，即函数在上单调递增，令解得，即函数在上
14、单调递减，故函数在处取得极小值，所以，无极大值.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可；（2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可；【详解】解：（
15、1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有种，其余4个数全排列有种，按照分步乘法计数原理可得有个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有种情况，即可以有120个五位数；则可以有个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有种情况，则有个比40000大的正整数；【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的
16、应用，属于基础题20.已知二项式的展开式中前三项的系数成等差数列(1)求的值；(2)设求的值； 求的值.【答案】(1) n8;(2) ,.【解析】【详解】（1）由题设，得， 即，解得n8，n1（舍去） (2) ,令， 在等式的两边取,得.【点睛】解决此类问题，要注意二项展开式的系数和二次项系数不是一回事，要区别对待，解决二项展开式的系数问题，通常用“赋值法”.21.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出.（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记为选出的4名同学中女生的人数，求的
17、分布列.【答案】（1）56种；（2）的分布列为：0123【解析】【分析】（1）根据组合的定义分别求出从两兴趣小组中各选2名同学参加演出的选派方法数、选出的4名同学中有3名女生的选派方法数，最后利用减法进行求解即可.（2）的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）从两兴趣小组中各选2名同学参加演出的选派方法数为：种，选出的4名同学中有3名女生的选派方法数为：种，因此选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为种；（2）的可能取值为，所以的分布列为：0123点睛】本题考查了组合问题，考查了离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.22.已知函数(I)讨论的单调性；(II)若时，恒
18、成立，求实数的取值范围【答案】()详见解析；().【解析】【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可【详解】解：()函数f(x)的定义域为，当时，f(x)在上为增函数.当a0时，由得；由得,所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.综上所述，当时，函数f(x)在上为增函数当a0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.()当a=0时，因为，所以恒成立，所以a=0符合题意.当a0时，由()知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.下面先证明：.设，因为，所以p(a)在上为增函数.所以，因此有.所以f(x)在上为增函数.所以.设，则，.由得；由得.所以在上为减函数，在上为增函数.所以.所以q(a)在上为增函数，所以.所以.所以恒成立.故a0符合题意.综上可知，a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
