1、 第1页共5页 中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年 9 月测试文科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的123456789101112DDBAABBADDDC二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1332 14 3 152 164 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）（1）解：根据表中数据可知，调查的 500 位居民中有 70 位有疾病 A 病历，因此该地区居民中，有疾病 A 病历的比例值为 7014%500=；所以估计该地
2、区居民中，有疾病 A 病例人的比例为14%4 分（2）22500(40 27030 160)9.967200 300 70 430K=8 分由于9.9676.635，所以有99%的把握认为患有疾病 A 与有生活习惯 B 相关 12 分18（12 分）（1）解：因为134,a a a 成等比数列，所以2341aaa=，2 分因为11a=，22nnaa+=+所以3123aa=+=，23419aaa=，2427aa=4 分（2）因为11a=，22nnaa+=+，所以()2112121naann=+=，2121nan+=+，7 分 第2页共5页 所以()()21121212121nbnnnn=+，10
3、 分所以12nnSbbb=+1111113352121nn=+1212121nnn=+12 分19（12 分）（1）证明：取 PA 中点G，因为 EF、分别为 BCPD、中点，ABCD 是平行四边形，所以GFBE，且GFBE=所以 BEFG 是平行四边形所以 EFBG，2 分因为 EF 平面 PAB，BG平面 PAB所以 EF平面 PAB 4 分（2）因为 EFBG，ADEF，所以 ADBG，因为 ADPA，所以 AD 平面 PAB6 分取 PB 中点 H，因为 PAAB=，所以 AHPB，因为 AD 平面 PAB，所以 ADPB进而 PB 平面 ADH，所以 DHPB，8 分所以DHA是二面
4、角 DPBA的平面角 10 分设2PABADAa=，因为60PAB=所以3AHa=，所以2 3tan3DADHAAH=12 分HGFEDCBAP 第3页共5页 20（12 分）（1）解：由已知AFB是等边三角形，因为2AB=，AFa=，2 分所以2a=，得椭圆的标准方程为2214xy+=4 分（2）设()11,C x y，()22,D x y，因为CAAD，CBBD，所以()()1 212110 x xyy+=，()()1 212110 x xyy+=，6 分两式相减得21yy=，8 分带回原式得212110 x xy+=，因为221114xy+=，所以124xx=，10 分CADBCABDA
5、BSSS=+12115142xxx=+=+（当12x=时取等）所以四边形CADB 面积 S 的最大值为 52 12 分21（12 分）（1）解：()elnxfxxxx=+，()2ee11xxxfxxx=+，2 分()1e 1f=，()10f=，所以曲线()yf x=在()()1,1f处的切线方程为e 1y=4 分（2）()2ee1e1111xxxxfxaaxxxx=+=，6 分若0a，则当(0,1x时，()0fx，当)1,x+时，()0fxxyOFDCBA 第4页共5页 所以()f x 在(0,1 上递增，在)1,+上递减，当01k 时，令11x=，因为当1x 时，()()1f xf，所以不存
6、在2x，使得()()12f xf x当1k 时，()f x 在),k+上递减，令1xk=，则不存在2x，使得()()12f xf x所以，0a 不满足题意8 分下面证明0a 都满足题意设()e1xg xax=，则()()2e1xaxgxx=，因为当1x 时，()0gx，所以()g x 在)1,+上是增函数若1ea，则当()1,x+时，()()1e 10g xga=，所以当()1,x+时，()e1110 xfxa xx=进而函数()f x 在)1,+上递增，取1k=，满足题意 10 分若10ea，则()1e 10ga=，而当 x +时，()g x +，所以存在()01,x+，使得()00g x=
7、，当()0,xx+时，()e1110 xfxa xx=进而函数()f x 在)0,x+上递增，取0kx=，满足题意 综上，实数a 的取值范围为()0,+12 分22（10 分）（1）解：因为222xy=+，cosx=，2 分所以曲线 的直角坐标方程为22210 xyx+=4 分（2）设(),P x y，()11,Q x y 第5页共5页 因为OPMQ=，所以()111xxyy=6 分因为点Q为曲线 上，所以()221112xy+=所以曲线C 的方程为2222xy+=8 分直线l 的普通方程3xy+=因为直线l 与曲线C 相切，所以322=，得32=10 分23（10 分）（1）解：()21f xxx=+当0 x 时，()312f xx=+，解得13x，当102x时，()12f xx=+，解得 x，2 分当12x 时,()312f xx=，解得1x ，所以不等式()2f x 的解集为(1,1,3+4 分（2）因为212aa+所以()2222231,11,2131,2xaaxaaf xxaaxaaxaax+=+6 分所以函数()f x 在1,2a+上递减，在1,2a+上递增，所以函数()f x 在 R 上的最小值为21122aafa+=+8 分所以2122aa+，解得32a 或1a 10 分
