1、 学科网（北京）股份有限公司2023 暑假衔接高二数学试题 一、单项选择题（共 8 题）1.sin35cos25+cos35sin25 的值等于()A 14 B 12 C 22 D 32 2.向量 =(1,2)，=(2,)，=(3,1)，且 +，则实数 =()A 3 B 3 C 7 D 7 3.设 是椭圆 225+216=1 上的点若 1，2 是椭圆的两个焦点，则 1+2=()A 4 B 5 C 8 D 10 4.设向量 1，2 满足：1=2，2=1，1，2 的夹角是 60，若 21+72 与 1+2 的夹角为钝角，则 的范围是()A 7,12 B 7,142 142,12 C 7,142 1
2、42,12 D(,7)12,+5.设数列 满足 log+1=1+log，且 1+2+100=100，则 101+102+200 的值为()A 100 B 1012 C 101100 D 100100 6.已知直线 =(0)与双曲线 22 22=1(0,0)交于，两点，以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若 的面积为 42，则双曲线的离心率为()A 2 B 3 C 2 D 5 7.已知 中，内角，所对的边分别为，且 cos+32 =，若 =1，3 2=1，则角 为 A4 B6 C3 D12 8.如图，已知直三棱柱 111，点，分别在侧棱 1 和 1 上，=1，则平面 把三棱柱分成两部分的体积比
3、为 学科网（北京）股份有限公司 A2:1 B3:1 C3:2 D4:3 9.若不等式 2 +0 的解集是(1,2)，则下列选项正确的是()A 0 B +0 C +0 D不等式 2+0 的解集是(2,1)10.关于正方体 1111 有如下四个说法，其中结论正确的是()A若点 在直线 1 上运动时，三棱锥 1 的体积不变 B若点 是平面 1111 上到点 和 1 距离相等的点，则 点的轨迹是过 1 点的直线 C若点 在线段 1（含端点）上运动时，直线 与 所成角的范围为 0,60 D若点 在线段 1（含端点）上运动时，直线 与 1 所成的角一定是锐角 11.在 Rt ABC 中，是斜边 上的高，如
4、图，则下列等式成立的是()A 2=B 2=C.2=D 2=2 12.设，是抛物线 2=上的两个不同的点，是坐标原点若直线 与 的斜率之积为 12，则()A +42 B以 为直径的圆的面积大于 4 C直线 过定点(2,0)D点 到直线 的距离不大于 2 三、填空题（共 4 题）学科网（北京）股份有限公司13.在 中，内角，所对的边分别为，且 sinsinsin+sin=，=3，则 的周长的最大值是 14.如图，在 中，点 是 的三等分点（=2），过点 的直线分别交 、或其延长线于不同的两点 、，且 =，=，若 1+2=83，则 +的值为 15.如图把椭圆 225+216=1 的长轴 分成 8 等
5、份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1，2，7 七个点，是椭圆的一个焦点，则 1+2+7=16.设四边形 为矩形，点 为平面 外一点，且 平面，若 =1，=2，点 是 的中点，点 在 内，+的最小值 四、解答题（共 6 题）17.已知椭圆:22+22=1（0）的一个顶点为(0,1)，且离心率为 32 (1)求椭圆 的方程；(2)直线:=+与椭圆 交于，两点，且 =，求 的值 18.设数列 满足 1=2，+1=+3 221(+)(1)求 2 和 3 的值(2)求数列 的通项公式(3)令 =，求数列 的前 项和 19.小李下班后驾车回家的路线有两条路线 1 经过三个红绿灯路口，每个路口遇
6、到红灯的概率都是 13；路线 2 经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 12，第二个路口遇到红灯的概率是 学科网（北京）股份有限公司23假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立(1)若小李下班后选择路线 1 驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加 1 min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由 20.设向量，满足 =1 及 3 2=7（1）求，夹角的大小；（2）求 3+2 的值 21.如图，在三棱柱 111 中，11 是边长为 4 的正方形平面
7、 平面 11，=3,=5 (1)求证：1 平面；(2)求二面角 1 1 1 的余弦值；(3)证明：在线段 1 上存在点，使得 1，并求 1 的值 22.一个函数()，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，都在()的定义域内，就有()，()，()也是某个三角形的三边长，则称()为“三角形函数”(1)判断 1()=，2()=，3()=2 中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；(2)如果()是定义在 上的周期函数，且值域为(0,+)，证明()不是“三角形函数”；(3)若函数()=sin,(0,)是“三角形函数”，求 的最大值（可以利用公式 sin+sin=2sin+2 cos2）学科网（北
8、京）股份有限公司答案 一、选择题（共 8 题）1.【答案】D 2.【答案】B【解析】+=(3,2+)，=(3,1)，因为 +，则 6+3=3，所以 =3 故选 B 3.【答案】D【解析】椭圆方程为 225+216=1，则椭圆焦点在 轴上，且 2=25，2=16，2=2 2=9，即 =5，=4，=3，是椭圆上一点，则 1+2=2=10 4.【答案】B 5.【答案】D【解析】因为数列 满足 log+1=1+log，所以 log+1 log=1，即 log+1=1，所以+1=，则数列 是等比数列，公比是，所以 1+2+100=1(1100)1=100，则 101+102+200=101(1100)1
9、=1100(1100)1=100100 故选 D 6.【答案】D【解析】因为以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，所以以 为直径的圆的方程为 2+2=2，由对称性知 的面积 =2=2 12 =42，即 =42，即 点的纵坐标为 =42，学科网（北京）股份有限公司则由 2+42 2=2，得 2=2 42 2=2 1642，在双曲线上，则 21642216422=1，即 22 1622 1642(22)=1，即 22 1622 1+222=1，即 22 1622 222=1，即 22 16222=1，即 22 1=16222=222，得 164=(2 2)2，即 42=2 2，得 52=2，得 =
10、5，则离心率 =5=5；方法 2：设双曲线的左焦点为，由图象的对称性得，圆 经过点，且 =，设 =，=，因为 ，所以 =12 =42，2+2=42，则 =82，因为 =2，所以 =2，则 2 2+2=42，所以 42 162=42，即 2=52，则 =5，即离心率 =5=5 7.【答案】B【解析】因为 cos+32 =，由正弦定理得 sincos+32 sin=sin=sin(+)，整理得 cos=32，所以 =6，又因为 =1，3 2=1，所以 3sin 2sin=sin=12，即 3sin 56 2sin=12，整理得 cos +6=12，所以 =6 8.【答案】A【解析】设 到 的距离为
11、，=，棱柱的高为，可得 四棱锥=16，三棱柱111=12，四棱锥三棱柱111=13，所以平面 把三棱柱分成两部分的体积比为 学科网（北京）股份有限公司1:2 二、不定项选择题（共 4 题）9.【答案】A；B；D【解析】对于 A，0，1，2 是方程 2 +=0 的两个根，所以 1+2=1=，1 2=，所以 =，=2，所以 0，所以 A 正确；令()=2 +，对于 B，由题意可知(1)=+0，所以 B 正确；对于 C，(1)=+=0，所以 C 错误；对于 D，因为对于方程 2+=0，设其两根为 1，2，所以 1+2=1，12=2，所以两根分别为 2 和 1 所以不等式 2+0 的解集是(2,1)，
12、所以 D 正确 10.【答案】A；B【解析】对于 A，因为 11，所以 1平面1，则 到平面 1 的距离相等，由 1 的面积为定值，所以点 在直线 1 上运动时，三棱锥 1 的体积不变，故 A正确；对于 B，若点 是平面 1111 上到点 和 1 距离相等的点，则 点的轨迹是平面 11 与平面 1111 的交线 11，故 B 正确；对于 C，直线 与 所成角即为，当 与 1 重合时，最大，最大值为 arctan2 60，故 C 错误；对于 D，当 与 1 重合时，与 1 所成的角为 90，故 D 错误所以其中结论正确的是 A，B 11.【答案】A；B；D 学科网（北京）股份有限公司【解析】由
13、=cos=，由射影定理可得 2=，即选项 A 正确，由 =cos=，由射影定理可得 2=，即选项 B 正确，由 =cos()0，即选项 C 错误，由图可知 Rt ACDRt ABC，所以 =，由选项 A，B 可得 2=2，即选项 D 正确 12.【答案】C；D【解析】不妨设 为第一象限内的点，当直线 轴 时，=，由 =12，得 =22，=22，所以直线，的方程分别为：=22 和 =22 与抛物线方程联立，得 2,2，2,2，所以直线 的方程为 =2，此时 +=26，以 为直径的圆的面积 =2，故 A、B 不正确 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 =+，与抛物线方程联立消去，得 2 +=
14、0，则 =1 4 0 设(1,1)，(2,2)，则 12=因为 =12，所以 11 22=12，则 221=21=1222，则 12=2，所以 =2，即 =2，所以直线 的方程为 =2，即 =(2)综上可知，直线 为恒过定点(2,0)的动直线，故 C 正确；易知当 时，原点 到直线 的距离最大，最大距离为 2，即原点 到直线 的距离不大于 2，故 D 正确 三、填空题（共 4 题）学科网（北京）股份有限公司13.【答案】9 【解析】对已知等式进行角化边可得：2+2 2=，因为 =3，所以 2+2 9=，即(+)2 9=3，因为 0，0，所以 +2 2，所以(+)2 9 3 +2 2，即 +6，
15、当且仅当 =3 时，(+)max=6，所以(+)max=9，即 的周长的最大值为 9 故答案为：9 14.【答案】94 15.【答案】35【解析】如图：设椭圆另一个焦点为，根据对称性，可得 1=7，2=6，3=5，且可求得 4=1+7=7 +7=2，同理 2+6=2，3+5=2，1+2+7=7=35 16.【答案】212 四、解答题（共 6 题）17.【答案】(1)设椭圆的半焦距为 由题意得 =1,=32,2=2+2.解得 =2 所以椭圆 的方程为 24+2=1 学科网（北京）股份有限公司(2)由 =+,24+2=1 得 52+8+4(2 1)=0 由 =(8)2 4 5 4(2 1)0，解得
16、 5 5 设(1,1)，(2,2)，则 1+2=85 设线段 的中点为，则 =1+22=45，=+=5“=”等价于“”所以 1545=1 解得 =53，符合题意 所以 =53 18.【答案】(1)=1 时，2=1+3 21=8；=2 时，3=2+3 23=32 所以 2=8，3=32 (2)由题知：+1 =3 21，所以 2 1=3 21，3 2=3 23，4 3=3 25，1=3 223，左右分别相加得：1=3 21+3 23+3 25+3 223=32(141)14=221 2,所以 =221 2+2=221 (3)=221，=1 21+2 23+3 25+(1)223+221,4=1 2
17、3+2 25+3 27+(1)221+22+1,得：3=21+23+25+27+221 22+1=2(14)14 22+1=22+1323 22+1,所以 =(31)22+1+29 学科网（北京）股份有限公司 19.【答案】(1)设路线 1 遇到红灯的个数的随机变量为，则 3,13，所以至少遇到一个红灯的事件为(1)，由对立事件概率公式，得(1)=1 (=0)=1 C30 130233=1 827=1927，所以若小李下班后选择路线 1 驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为 1927(2)设路线 1 累计增加时间的随机变量为 1，则 1 3,13，所以(1)=3 13=1，设路线 2 第 个路口
18、遇到红灯为事件(=1,2)，则(1)=12，(2)=23，设路线 2 累计增加时间的随机变量为 2，则 2 的所有可能取值为 0，1，2，则 (2=0)=12=12 13=16，(2=1)=12+12=12 23+12 13=12，(2=2)=(12)=12 23=13，所以(2)=0 16+1 12+2 13=76，因为(1)，不妨假设 ，由于 +0，所以 1()，2()是“三角形函数”，对于 3()，3，3，5 可作为一个三角形的三边长，但 32+32 0 为()的一个周期，由于其值域为(0,+)，所以，存在 0，使得()=1，()=2，学科网（北京）股份有限公司取正整数 ，可知 +，+，
19、这三个数可作为一个三角形的三边长，但(+)=1，(+)=1，()=2 不能作为任何一个三角形的三边长，故()不是“三角形函数”(3)的最大值为 56 一方面，若 56，下证()不是“三角形函数”取 2，56，56 (0,)，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但 sin2=1，sin56=12，sin56=12 不能作为任何一个三角形的三边长，故()不是“三角形函数”另一方面，以下证明 =56 时，()是“三角形函数”对任意三角形的三边长，若,0,56，则分类讨论如下：+2，此时 2 b c 2 56 56=3，同理，,3，所以，,3,56，故 sin,sin,sin 12,1，sin+sin 12+12=1 sin，同理可证其余两式，所以 sin，sin，sin 可作为某个三角形的三边长 +，所以，0 2+2 2，由 sin 在 0,2 上的单调性可得 0 sin2 2 时，0 2 a+b2 2，同样，由 sin 在 0,2 上的单调性可得 0 sin2 sin+2 1，总之，0 sin2 sin+2 1，又由 cos2 cos512 0，所以 sin+sin=2sin+2 cos2 2sin2 cos2=sin，同理可证其余两式，所以 sin，sin，sin 可作为某个三角形的三边长，故 =56 时，()是“三角形函数”，综上，的最大值为 56
