1、第3讲平面向量的数量积及应用考纲解读1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义(重点)2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容预测2021年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.1两个向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是0，0或ab，ab2平面向量的数量积设两
2、个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab.3平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到：(1)若a(x，y)，则|a|2
3、x2y2或|a| ；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB| ；(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20；(4)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos .1概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(2)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0)，则C(m2，n)，因此BC边的中点E.则(m2，n)，.又由BCDA2，得所以m1，n23.则(m2)12.故选D.计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量
4、积的定义求解，即ab|a|b|cos(是a与b的夹角).(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解如举例说明2的解法一.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解如举例说明2解法二.1.已知RtABC，点D为斜边BC的中点，|6，|6，则等于()A.14 B9 C9 D14答案D解析如图，以点A为原点，分别以边AC，AB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0,6)，C(6,0)，D(3,3)，(3,3)(1，)，E(1，)，(1,5)，11514.故选D.2.(2019上饶模拟)
5、设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC2，则等于()A. B. C. D.答案C解析如图，|2，60，D，E是边BC的两个三等分点，|2|24224.题型二平面向量数量积的性质角度1平面向量的模1.已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC的中点，则|等于()A.2 B4 C6 D8答案A解析因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，则|2.故选A.2.已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为，且abc0，则|c|_.答案解析因为abc0，所以cab，所以c2a2b22ab2232223co
6、s4967.所以|c|.角度2平面向量的夹角3.已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.答案解析解法一：本题考查利用向量的数量积求夹角的余弦值，依题知|a|b|1，且ab0.c2ab，aca(2ab)2a2ab2，|c| 3，cosa，c.解法二：依题意，设a(0,1)，b(1,0)，c(，2)，ac2.又|a|1，|c|3，cosa，c.4.已知向量a(，6)，b(1,2)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_.答案(12,3)(3，)解析向量a与b的夹角为钝角，ab(，6)(1,2)1212.当a与b共线时，设akb(k0)，可得解得即当3时，向量a与b共线且反向，
7、此时ab0，但a与b的夹角不是钝角综上，的取值范围是(12,3)(3，).角度3平面向量的垂直5.(2019华南师大附中一模)已知向量|3，|2，(mn)(2nm1)，若与的夹角为60，且，则实数的值为()A. B. C. D.答案A解析由题意得，(mn)(2nm)，32cos603.又因为，所以(mn)(2nm)()(mn)2(2m3n)(2nm)29(mn)3(2m3n)4(2nm)0，整理得7m8n0，故.1.求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(
8、ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解如举例说明1.2.求向量夹角的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系.(2)若已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cosa，b .如举例说明3的解法二.3.解答向量垂直问题的两个策略(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)根据两个向量垂直的充要条件ab0，列出相应的关系式如举例说明5.1.已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()
9、A. B. C. D.答案B解析本题考查平面向量的数量积运算设向量a与b的夹角为，则由(ab)b，得(ab)babb2|a|b|cos|b|22|b|2cos|b|20，所以cos，所以，故选B.2.(2018北京高考)设向量a(1,0)，b(1，m)，若a(mab)，则m_.答案1解析由已知，得mab(m1，m)，又a(mab)，所以a(mab)1(m1)0(m)0，解得m1.3如图，已知两点A，B在单位圆上，yOB60，xOA30，则|23|_.答案解析解法一：由题意可得AOB120，|1，所以|23| .解法二：易知A，B，所以，所以23，所以|23| .题型三向量数量积的综合应用角度1
10、向量在平面几何中的应用1.已知，是非零向量，且满足(2)，(2)，则ABC的形状为()A.等腰三角形 B直角三角形C.等边三角形 D等腰直角三角形答案C解析(2)(2)0，即20，(2)(2)0，即20，2，即|，则cosA，A60，ABC为等边三角形.角度2向量在解析几何中的应用2.已知0，|1，|2，0，则|的最大值为_.答案解析由0可知，.故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)设D(x，y)，则(x1，y)，(x,2y).由0，可得(x1)(x)y(2y)0，整理得2(y1)2.所以点D在
11、以E为圆心，半径r的圆上.因为|表示B，D两点间的距离，而| .所以|的最大值为|r.角度3向量与三角函数的综合应用3.已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2).(1)若ab，求的值；(2)若|a|b|,0，求的值.解(1)因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos；当cos0时，sin0，与sin2cos21矛盾，所以cos0，故tan，所以.(2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25，即14sincos4sin25，从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin，又由0知，2，所以2或2，因此或.1.向量在平面几何中的应用用平面向量解决
12、平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用.2.向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.3.向量与三角函数的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利用三角函数
13、的知识进行求解.1.已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A.圆 B椭圆C.双曲线 D抛物线答案D解析由已知得(2x，y)(3x，y)(2x)(3x)(y)(y)x2x6y2x2，所以y2x6，故点P的轨迹是抛物线.2.若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A.正三角形 B直角三角形C.等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析()(2)0，即()()0，()0，()()0，即|2|20，|，三角形ABC为等腰三角形.3.在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积.解(1)因为m(cosB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，所以ccosB(b2a)cosC0，在ABC中，由正弦定理得，sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，sinA2sinAcosC，又sinA0，所以cosC，而C(0，)，所以C.(2)由知，所以2，两边平方得4|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB，所以a2b2ab12.由得ab8，所以SABCabsinACB2.
