1、2020-2021学年度汪清四中高三数学模拟试题一、单选题（每题5分，共60分）1已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合，则（ ）ABCD3已知为正三角形，则的值为（ ）ABCD4已知，则，的大小关系为（ ）ABCD5某地2019年1月到10月居民消费价格指数（CPI（%）与工业品出厂价格指数（PPI（%）的曲线图如下：则下面说法不正确的是（ ）A2019年1月到10月，CPI（%）的值比相应时期的PPI（%）的值要大B2019年1月到10月，10月份CPI（%）与PPI（%）之差最大C2019年1月到10月，CPI（%）的值逐月增长D2
2、019年1月到10月，PPI（%）有4个月份为负值6已知数列为等差数列，且，则（ ）ABCD7我国经典数学名著九章算术中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）A6钱B7钱C8钱D9钱8在中，则（ ）ABCD9执行图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）ABCD10过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交于，两点，交轴于点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且满足，则的离心率的取值范围为
3、（ ）ABCD11若函数，则不等式的解集为（ ）ABCD12已知函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（ ）ABCD二、 填空题（每题5分，共20分）13抛物线的焦点到其准线的距离为_.14已知正项等比数列中，则_.15已知直线与曲线，在曲线上随机取一点，则点到直线的距离不大于的概率为_.16已知三棱锥的所有棱长都是，四个顶点、都在球的球面上，记球的表面积是，过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为，则的值为_.三、解答题（每题12分，共60分）17在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗
4、疫起到了积极的作用，但一个优秀的小视频在有很好的素材与拍摄成品外，更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平，将所制作的某小视频发到自己的朋友圈里，并请朋友圈的朋友按自己的审美给予评价，通过收集100位朋友（男、女各前50位）的评价，得到下面的列联表：优秀不优秀男性朋友3515女性朋友2723（1）分别估计男、女性朋友对该小视频评价优秀的概率；（2）能否有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关？附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818已知的内角、所对的边为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若的外接圆半径为1，求的最大值.19如图所示的斜
5、三棱柱中，点在底面的投影为边的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.20如图所示椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于点，（点在第一象限），直线与直线交于点，求点的坐标.21已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.四（二选一，任选其一，每题10分）22在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的交点分别为，点(异于，两点)在曲线上运动，求面积的最大值.23已
6、知不等式对恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）记的最大值为，若，证明：.2020-2021学年度汪清四中高三数学模拟试题答案一、单选题1已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】由题,利用除法法则整理为的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可【详解】由题,所以在复平面内对应的点为,故选:A【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用2已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【分析】先利用一元二次不等式的解法和函数定义域的求法化简集合A，B，再利用并集运算求解.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】
7、本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法和函数定义域的求法，属于基础题.3已知为正三角形，则的值为（ ）ABCD【答案】B【分析】由三角形为正三角形可得，然后利用两角和的正切公式求解即可【详解】解：因为为正三角形，所以，所以.故选：B.【点睛】此题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题4已知，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【分析】由对数函数的性质求出每个数的范围，即可判断大小.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.5某地2019年1月到10月居民消费价格指数（CPI（%）与工业品出厂价格指数（PPI（%）的曲线图如下：则下面
8、说法不正确的是（ ）A2019年1月到10月，CPI（%）的值比相应时期的PPI（%）的值要大B2019年1月到10月，10月份CPI（%）与PPI（%）之差最大C2019年1月到10月，CPI（%）的值逐月增长D2019年1月到10月，PPI（%）有4个月份为负值【答案】C【分析】根据图象逐个分析每个选项，即可判断正误.【详解】对于A，由图可知CPI（%）对应的曲线在PPI（%）对应的曲线的上方，所以A正确；对于B，从图中可知2019年10月份CPI（%）对应的点在最高处，而相应PPI（%）对应的点在最低处，所以CPI（%）与PPI（%）之差最大，故B正确；对于C，CPI（%）的值先降低后增
9、长，故C错误；对于D，从PPI（%）的值，可知7，8，9，10四个月份为负值，所以D正确.故选：C.【点睛】本题考查根据统计图分析具体情况，属于基础题.6已知数列为等差数列，且，则（ ）ABCD【答案】C【分析】先由，列方程组求出首项和公差，从而可得通项公式，所以得，进而利用裂项相消法可得结果【详解】设数列的公差为，由题意得，解得，.故选：C.【点睛】此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题7我国经典数学名著九章算术中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子
10、比小竹子贵1钱，问买大小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）A6钱B7钱C8钱D9钱【答案】C【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，所以，即，即，因为，所以，根据选项，所以买大竹子根，每根元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.8在中，则（ ）ABCD【答案】A【分析】取为基底，将用基底表示，再将数量积转化为基底运算，即可得答案；【详解】因为，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查向量夹角计算，考查函数与方程思想、
11、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.9执行图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）ABCD【答案】C【分析】依次执行循环，直到满足条件结束，即可得出答案.【详解】按程序框图执行程序如下：，不成立，继续循环；，不成立，继续循环；，不成立，继续循环；，退出循环，输出.故选：C.【点睛】本题考查程序框图的运算，属于基础题.10过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交于，两点，交轴于点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且满足，则的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据条件建立关于的齐次不等式，即可求出离心率范围.【详解】设为坐标原点，直线AB倾斜角为，,，过点作的一条渐近线的垂线，
12、垂足为，由双曲线的性质，可知，两边平方得，即，即.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属于中档题.11若函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【分析】可判断为上的奇函数，且单调递增，则不等式可化为，即，讨论的范围去绝对值即可求解.【详解】因为函数的定义域为，且满足，所以为上的奇函数，则可化为， 因为恒成立，所以为上的增函数.所以原不等式等价于不等式.当时，可化为，所以；当时，可化为，所以.综上，原不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.12已知函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案
13、】D【分析】可求出的单调递增区间为，可知，即可由此建立不等式求出，再由在区间上有唯一的实数解可得，且，解出即可.【详解】因为，令，即，所以函数的单调递增区间为，又因为函数在上单调递增，所以，所以，且，又因为，所以，又在区间上有唯一的实数解，所以，且，可得.综上，.故选：D.【点睛】本题考查正弦型函数相关性质的应用，属于中档题.二、填空题13抛物线的焦点到其准线的距离为_.【答案】10【分析】由抛物线方程可直接得出，则可得答案.【详解】抛物线，则焦点到准线的距离为10.故答案为：10.【点睛】本题考查对抛物线方程和定义的理解，属于基础题.14已知正项等比数列中，则_.【答案】【分析】根据已知条件
14、可求出公比，进而可得的通项公式，再利用等比数列求和即可求解.【详解】由，得，又，则，又，.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列基本量和通项公式的计算，考查等比数列求和公式，属于基础题.15已知直线与曲线，在曲线上随机取一点，则点到直线的距离不大于的概率为_.【答案】【分析】画出示意图，根据图形分析可知点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型可求出.【详解】作出示意图曲线是圆心为原点，半径为2的一个半圆.圆心到直线的距离，而点到直线的距离为，故若点到直线的距离不大于，则点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属于中档题.16
15、已知三棱锥的所有棱长都是，四个顶点、都在球的球面上，记球的表面积是，过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为，则的值为_.【答案】【分析】求出三棱锥的外接球的半径，可求出的值，结合球的几何性质可知，当为截面圆的直径时，过棱的平面被球截得的截面面积最小，可求得的值，由此可求得的值.【详解】由题意知，三棱锥是正三棱锥，取的中点，连接，如图所示：设点在底面内的投影是，球的半径为，由于是边长为的等边三角形，则，所以，解得，所以球的表面积是.易知当棱是截面圆的直径时，过棱的平面被球截得的截面面积取最小值，所以.故答案为：.【点睛】本题考查正三棱锥的外接球表面积的计算，同时也考查了球的截面圆面积的计算，考查
16、计算能力，属于中等题.三、解答题17在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的小视频在有很好的素材与拍摄成品外，更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平，将所制作的某小视频发到自己的朋友圈里，并请朋友圈的朋友按自己的审美给予评价，通过收集100位朋友（男、女各前50位）的评价，得到下面的列联表：优秀不优秀男性朋友3515女性朋友2723（1）分别估计男、女性朋友对该小视频评价优秀的概率；（2）能否有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关？附：.0.0500
17、.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）0.7；0.54；（2）没有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关.【分析】（1）根据表中数据即可估计出概率；（2）根据个数计算出卡方值，和3.841比较即可判断.【详解】（1）由表中数据，男性朋友对该小视频评价优秀的比率为，因此男性朋友对该小视频评价优秀的概率的估计值为0.7.女性朋友对该小视频评价优秀的比率为，因此女性朋友对该小视频评价优秀的概率的估计值为0.54.（2）由列联表可知，所以没有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关.【点睛】本题考查由频率估计概率，考查独立性检验，属于基础题.18
18、已知的内角、所对的边为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若的外接圆半径为1，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可根据正弦定理得出，然后根据二倍角公式得出，最后根据同角三角函数关系得出，即可得出结果；（2）本题首先可根据的外接圆半径为1得出，然后根据余弦定理以及基本不等式得出，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，则，.（2）因为的外接圆半径为1，所以，则，即，当且仅当时取等号，故，的最大值为.【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查正弦定理边角互换以及余弦定理的应用，考查通过基本不等式求最值，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题
19、.19如图所示的斜三棱柱中，点在底面的投影为边的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）根据，得到，再由为在底面，得到，利用线面垂直的判定定理证得平面，进而再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由平面，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法求解.【详解】（1）因为，所以，所以，即.因为为在底面的投影，所以平面，所以.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由条件可知，所以，所以点到平面的距离为.因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，且.又由，可知，所以，所以在中，所以.由（1）的证明，可知平面，所
20、以，所以.设点到平面的距离为，由等体积法，可知，即，所以点到平面的距离为2.【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理和等体积法求点到面的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.20如图所示椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于点，（点在第一象限），直线与直线交于点，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据及可求的值，从而可得椭圆的方程.（2）联立直线方程和椭圆方程可求的坐标，再求得直线的方程后可得点的坐标.【详解】解：（1）由及，可知，所以，所以椭圆的方程为.（2）依题可设过点且
21、斜率为的直线，联立方程组，解得，则，所以，由（1）知，.所以直线，直线，由，解得，所以点的坐标为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的相交时交点坐标的求法、直线与直线的交点的求法，后两者均需联立曲线的方程，消元后求解即可，本题属于中档题.21已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率，即可写出切线的方程；（2）由原不等式可转化为，构造函数，利用导数分别求最大值与最小值即可求解.【详解】（1）由，得，所以切线的斜率，又因为当时，所以切线方程为，即.（2）欲证，即证，即证，设，则，当时，在上单调递增，当时
22、，在上单调递减，所以在处取得极大值，即为最大值，所以，所以.设，则，所以在上单调递增，所以，所以在时成立，所以，所以，所以，即成立.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数求函数的最值，不等式的证明，属于中档题.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的交点分别为，点(异于，两点)在曲线上运动，求面积的最大值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）.【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程；
23、利用极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得直线的直角坐标方程.（2）先求得，然后根据圆的几何性质求得到直线的距离的最大值，由此求得三角形面积的最大值.【详解】（1）曲线的参数方程为(为参数)，两式平方并相加得，即.直线的极坐标方程为，即，即，即.（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，直线和圆相交.所以.根据圆的几何性质可知到直线的距离的最大值为.所以三角形面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程、极坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.23已知不等式对恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）记的最大值为，若，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【分析】（1）设，从而可得，进而求出的取值范围；（2）由（1）可知，然后利用基本不等式可证明结论【详解】（1）解：设，所以，所以只需，解得，因为，所以，所以实数的取值范围为（2）证明：由（1）可知的最大值为2，即，所以，所以，所以，当且仅当时取等号【点睛】此题考查绝对值不等式，考查利用基本不等式证明不等式，考查计算能力，属于中档题
