1、高考资源网（） 您身边的高考专家解答题专项突破(一)导数的综合应用问题函数与导数是高中数学的重要内容之一，常与其他知识相结合，形成难度不同的各类综合题型，常涉及的问题有：研究函数的性质(如函数的单调性、极值、最值)、研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)、求参数的取值范围、不等式的证明或恒成立问题、运用导数解决实际问题等题型多变，属中、高档难度热点题型1导数的几何意义的应用(2019孝感高中期中)已知函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数b的取值范围解题思路(1)求f(x)求斜率kf(1)用点斜式写
2、出切线方程(2)设切点坐标为(x0，xx0)写出切线方程把点(1，b)代入切线方程得关于x0的方程依据此方程有三个不同的实数解，求b的取值范围规范解答(1)f(x)3x21，f(1)2.故切线方程为y02(x1)，即2xy20.(2)设切点为(x0，xx0)，则切线方程为y(xx0)f(x0)(xx0)又切线过点(1，b)，所以(3x1)(1x0)xx0b，即2x3xb10.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解记g(x)2x33x2b1，则g(x)有三个不同的零点，而g(x)6x(x1)，令g(x)0得x0或x1，则结合图象可知g(0)g(1)0)，记f(x)为f(x)的导函数(1)若
3、f(x)的极大值为0，求实数a的值；(2)若函数g(x)f(x)6x，求g(x)在0,1上取到最大值时x的值解题思路(1)求f(x)解f(x)0用所得解分割定义域逐个区间分析f(x)的符号，得f(x)的单调性求极大值根据极大值为0列方程求a.(2)难点突破分类讨论易求g(x)6(x2ax1)，x0,1由g(x)0是否有解想到分()0，即00，即a2.当g(x)0时，分析g(x)的图象()对称轴x与x1，x0的位置关系()g(x)0的两个根与0和1的大小关系规范解答(1)因为f(x)2x33ax23a2(a0)，所以f(x)6x26ax6x(xa)令f(x)0，得x0或a.当x(，0)时，f(x
4、)0，f(x)单调递增；当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增故f(x)极大值f(0)3a20，解得a.(2)g(x)f(x)6x2x33ax26x3a2(a0)，则g(x)6x26ax66(x2ax1)，x0,1当02时，g(x)的对称轴x1，且36(a24)0，g(1)6(2a)0，所以g(x)在(0,1)上存在唯一零点x0.当x(0，x0)时，g(x)0，g(x)单调递增，当x(x0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减，则g(x)取得最大值时x的值为.综上，当02时，g(x)取得最大值时x的值为.热点题型3利用导数研究函数的零点、方程的根(2019银川一中模拟)已知函数f(x)
5、，g(x)xln xax2(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)有两个极值点，试判断函数g(x)的零点个数解题思路(1)求f(x)的定义域求f(x)，解f(x)0用所得实数解分割定义域分析f(x)的符号，判断f(x)的单调性(2)g(x)有两个极值点g(x)0有两个不同的零点记为x1和x2分析g(x1)，g(x2)的正负和x0时g(x)的变化趋势，x时g(x)的变化趋势规范解答(1)由题意可知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由f(x)0得x1.当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)单调递减(2)由题意得，g(
6、x)ln x1ax0有两个不同的零点，即a有两个不同的根，设为x10，所以a(0,1)时有0x111时g(x2)h(x2)h(1)0.又x0时g(x)0，x时g(x)，所以函数有三个零点已知函数f(x)2xln x2x，g(x)a(x1)(a为常数，且aR)(1)求函数f(x)的极值；(2)若当x(1，)时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，试确定自然数n的值，使得a(n，n1)(参考数值e4.48，ln 20.69，ln 31.10，ln 71.95)解题思路(1)求f(x)的定义域和f(x)解f(x)0用所得实数解分割定义域分析各区间内f(x)的符号，确定极值(2)构建函数F(
7、x)f(x)g(x)依据yF(x)只有一个零点，推出关于a的方程关键点解F(x)0时，想到分类讨论用F(x)的最小值为0建立方程构建关于a的函数，用零点存在性定理，分析零点所在区间规范解答(1)函数f(x)2xln x2x的定义域为(0，)，f(x)2(ln x2)，由f(x)0得xe2.x(0，e2)，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)极小值f(e2)2e2，f(x)无极大值(2)记F(x)f(x)g(x)2xln x(2a)xa，则F(x)2ln x4a，当a4时，因为x1，所以F(x)0，函数F(x)单调递增，F(x)F(1)2，函数yF(x)无零点，即函数f(x)与g(x)的图象无
8、交点；当a4时，F(x)0xe2且e2e01，当1xe2时，F(x)e2时，F(x)0.所以，F(x)minF，由函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，得F0，化简得a2e20，记h(a)a2e2，h(a)1e20，h(7)72e724.480，所以a(6,7)，即n6.热点题型4利用导数证明不等式问题已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)0，此时g(x)单调递增；在(1，)上，g(x)0，此时g(x)单调递减又g(1)0，所以g(x)0在定义域上恒成立，即f(x)0在定义域上恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，)，无单调递增区间(2)
9、由f(x)kex在(1，)上恒成立，得kex在(1，)上恒成立，即ln xk(x1)ex0.h(x)kxex，所以h(1)1ke.当k时，h(1)1ke0.又h(x)kxex在(1，)上单调递减，所以h(x)0在(1，)上恒成立，则h(x)在(1，)上单调递减又h(1)0，所以h(x)0在(1，)上恒成立当0k0.又h(x)kxex在(1，)上单调递减，且hke0在(1，x0)上恒成立，所以h(x)0在(1，)上不可能恒成立综上所述，实数k的取值范围是.(2019绵阳模拟)已知函数f(x)x2axln xax2(aR)有两个不同的极值点x1，x2，且x1x2.(1)求实数a的取值范围；(2)求
10、证：x1x2a2.解题思路(1)求f(x)的定义域和f(x)由f(x)有两个不同的极值点得f(x)0有两个不相等的实数根两次求导分析f(x)的单调性，构建关于a的不等式求其范围(2)由(1)知x1，x2是f(x)0的两个根，建立方程x1x20)当a0时，g(x)0，则g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)在(0，)上不可能有两个零点当a0时，由g(x)0，解得xa；由g(x)0，解得0xa.所以g(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增要使函数g(x)有两个零点，则g(a)aaln ae.综上可知，实数a的取值范围是(e，)(2)证明：由(1)知x1，x2是g(x)xaln x0的两个根，则两式相减得a(ln x2ln x1)x2x1，即a，要证x1x2a2，即证x1x2，即证22.令t，由x11，只需证(ln t)2t2.设(t)(ln t)2t2，则(t)ln t1.令h(t)2ln tt，则h(t)120，所以h(t)在(1，)上单调递减，所以h(t)h(1)0，所以(t)0，即(t)在(1，)上为减函数，所以(t)(1)0，即(ln t)2t2在(1，)上恒成立所以原不等式成立- 8 - 版权所有高考资源网
