1、2021普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(一)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合AxZ|x24，By|yln(|x|1)，则AB()A0，2) B.0，2 C0，1，2 D0，12若纯虚数z满足(1i)z1ai(i是虚数单位，aR)，则在复平面内对应的点为()A(0，1) B.(1，0) C(0，1) D(0，2)3设a0.30.2，b0.20.3，clog0.21.03，则a，b，c的大小关系为()Aabc B.cabCcba Dbac4如图所示的函数图
2、象对应的函数解析式可能为() Ayxln(x1)By2xcos(2x1)Cy(2x1)2Dy2x1sin5.在我国著名的典籍易经中，八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳(阳爻)，用“”代表阴(阴爻)，用这两种符号按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式，称为八卦分别是乾()、坎()、艮()、震()、巽()、离()、坤()、兑()从八卦中任取两卦，则所取两卦中含有的阳爻和阴爻总数相同的概率为()A. B. C D6“a8”是“不等式2xa0对任意x2，)恒成立”的()A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7已知抛物线C：ya2x2的焦点和双曲线x2
3、1的一个焦点重合，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0，5)距离的最小值为()A2 B.2 C5 D28已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，给出下列判断：若f(x1)f(x2)0，且|x1x2|min，则2；存在(0，2)，使得f(x)的图象右移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；若f(x)在0，2上恰有7个零点，则的取值范围为；若f(x)在上单调递增，则的取值范围为.其中正确的是()A B. C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知的展开式中各项系数之和为A
4、，第二项的二项式系数为B，则()AA256BAB260C展开式中存在常数项D展开式中含x2项的系数为5410疫苗的研制需要经过临床试验阶段，抗体产生的初次应答和再次应答两个阶段都需经过一定的潜伏期，潜伏期长短与抗原的性质有关疫苗经57天，类毒素在23周后，血液中才出现抗体，初次应答所产生的抗体量一般不多，持续时间也较短，从抗体出现的种类来看，IgM(免疫球蛋白M)出现最早，但消失也快，在血液中只维持数周至数月IgG(免疫球蛋白G)出现稍迟于IgM，当IgM接近消失时，IgG达到高峰，它在血液中维持时间可达数年之久当第二次接受相同抗原时，机体可出现再次反应，开始时抗体有所下降，这是因为原有抗体被
5、再次进入的抗原结合所致下图是某种疫苗试验得到的有关测试数据绘制出的图形，则下列关于该图形的说法正确的是()A初次抗原刺激阶段，在10天内试验个体对抗原刺激不够灵敏，产生IgG的浓度比较低B初次抗原刺激阶段，IgG峰值出现早于IgM峰值C再次抗原刺激阶段，总抗体量大概8天左右达到峰值，且潜伏期比初次抗原刺激阶段要短D在试验的两个阶段IgG的峰值出现比IgM出现早，但IgG消失也快11已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F(，0)，离心率为，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A双曲线C的标准方程为1B双曲线1与双曲线C的渐近线相同C若0，则PFO的面积为D|PF
6、|12在边长为2的等边ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，DEBC 且(01)，将ADE沿DE向上折起到ADE位置，在折起的过程中，下列结论成立的是()A在边AE上不存在点F，使得在折起的过程中，BF平面ACDB存在，使得在折起过程中的某个位置，满足平面ABC平面BCDEC当且二面角ADEB为直二面角时，ABD在折起的过程中，四棱锥ABCDE的体积的最大值记为f()，则f()的最大值为题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若非零向量a，b满足a，b，|a|，|a2b|，则|b|_14已知P是圆x2y21上一动点，弦AB是圆C：(x3)2
7、(y4)29的一条动直径，则的取值范围是_15.如图，在四棱锥PABCD中，AP1，矩形ABCD的周长为8，当三棱锥APCD的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为_16已知数列an满足a1，an1，数列bn满足bn1.若数列的前n项和为Sn，则使得|Sn1|成立的n的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)在ccos Aacos C2bcos B，a2c2b2ac，2cos23cos B0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足_(1)求角B的大小；(2)若b，求ABC面
8、积的最大值18(本小题满分12分)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且(an，2Sn)在函数yx2x2的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，设数列bn的前n项和为Tn，求证：Tnb0)的离心率为，直线m：xy10经过椭圆C的上顶点，直线n：x10交椭圆C于A，B两点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线l：x40于Q，R两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：(O为坐标原点)为定值21(本小题满分12分)2020年4月21日至23日，国家主席习近平到陕西考察总书记实地了解平利县老县镇中心小学复学复课情况，并叮嘱加强学校重点场所消毒，为复学复课提供
9、安全的环境在做好防疫的前提下，开展体育运动，增强学生体质已知某中学生体育活动情况调查咨询机构开展中学生身体素质调查，调查了高一和高三男生(共2 000人，其中高三男生1 000人)引体向上体育项目测试情况，并对数据作了统计分析，并将样本数据(单位：个)分为3，5)，5，7)，7，9)，9，11)，11，13)，13，15)，15，17)，17，19)，19，21九组，将抽取的高一的样本数据绘制成频率分布直方图如下图所示，将高三男生的测试数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布(1)现规定，引体向上的个数不低于13的为“体育达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有
10、99.9%的把握认为是否为“体育达人”与年龄有关？“体育达人”非“体育达人”总计高三男生高一男生总计(2)利用样本平均数和中位数估计高一男生引体向上(单位：个)的平均数和中位数；由频率分布直方图可以认为，高一男生引体向上数Z(单位：个)近似地服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)，的值约为3.64.现从该高一男生中随机抽取5人，记其中引体向上数Z位于(4.88，15.8)的人数为X，求X的数学期望参考公式：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828
11、若ZN(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.22(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2xln x.(1)当a2时，求函数的最小值；(2)若函数f(x)有两个不同的零点，求正实数a的取值范围2021普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(一)数学试题参考答案与详解详析1解析：选D.因为AxZ|x241，0，1，By|yln(|x|1)0，)，所以AB0，1故选D.2解析：选C.由题意得zi，又复数z为纯虚数，所以a1，所以zi，i，所以在复平面内z对应的点为(0，1)故选C.3解析：选A.因为clog0.21.030，a0.30.20.30.30.2
12、0.3b0，所以abc.故选A.4解析：选B.结合图象得到当x0，y(0，1)，故排除选项A，C；对于选项D，y2x1sin2x1cos 2x，当x1时，ycos 20，排除选项D.故选B.5解析：选C.从8卦中任取两卦，共有28种取法，其中阳爻和阴爻数目相同的共有10种，所以概率为，故选C.6解析：选A.“不等式2xa0对任意x2，)恒成立”等价于“a2x”，等价于“a”因为2x2(x1)22210(当且仅当x3时，“”成立)，所以a10，所以“a8”是“不等式2xa0对任意x2，)恒成立”的充分不必要条件故选A.7解析：选B.因为双曲线x21的一个焦点为(0，2)，由题意，得2，则a2，所
13、以x28y.设P(x，y)，则|PA|，所以当y1时，|PA|min2.故选B.8解析：选B.因为f(x)sin 2xsin，所以周期T.对于，由条件知，周期为2，所以，故错误；对于，函数图象右移个单位长度后得到的函数为ysin，若其图象关于y轴对称，则k(kZ)，解得13k(kZ)，故对任意整数k，(0，2)，所以错误；对于，由条件得2，解得0，所以0HI，所以，所以B错误；对于C，如图3，当二面角ADEB为直二面角时，易知AH平面BEDC，连接HB，由，可求AHHI，HB，所以AB，所以C正确；对于D，如图4(仍取BC，DE的中点分别I，H，连接IA，AH，AB，AC)，作A在底面CBED
14、上的射影O，则O在IH上因为，BCDE，所以且，所以AH，DE2.又VACBED(DECB)IHAO(22)(1)AO(22)(1)3，令f()3，(0，1)，则f()321，当时，f()0；当时，f()0.所以f()在上单调递增，在上单调递减，故f()maxf.故D正确故选ACD.13解析：将|a2b|两边平方，得a24ab4b27，即34|b|cos 4|b|27，即2|b|23|b|20，即(|b|2)(2|b|1)0，解得|b|.答案：14解析：()()()()2229，则P是圆x2y21上一动点，圆心C的坐标为(3，4)，所以|4，6，所以的取值范围是7，27答案：7，2715解析：
15、不妨设ADa，DCb，要使得三棱锥APCD体积最大，则三角形ADC面积最大且AP底面ADC.由题可知ab4且ADDC，故SADCab(ab)22，当且仅当ab2时取得最大值综上所述，要满足题意，则需AP平面ADC，且ADDC2，此时该三棱锥的外接球半径R，所以其外接球的表面积为S49.答案：916解析：易知an0，由an1可得1，于是122，因为3，且bn1，所以数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn22n12n，所以Sn1.由|Sn1|得，得2n1 000.因为295121 0001 024210，所以n10，所以使得|Sn1|成立的n的最小值为10.答案：1017解：方案一：若选
16、条件：(1)因为ccos Aacos C2bcos B，由正弦定理，得sin Ccos Asin Acos C2sin Bcos B，即sin(AC)2sin Bcos B.在ABC中，ABC，得sin(AC)sin(B)sin B，即sin B2sin Bcos B又B(0，)，所以cos B，所以B.(2)因为b，由余弦定理得b23a2c22accos Ba2c2ac2acacac(当且仅当ac时等号成立)，结合三角形的面积公式得SABCacsin B3，所以该三角形面积的最大值为.方案二：若选条件：(1)结合余弦定理得cos B，又B(0，)，所以B.(2)由b，结合余弦定理得b23a2
17、c22accos Ba2c2ac2acacac(当且仅当ac时等号成立)，结合三角形的面积公式得SABCacsin B3，所以该三角形面积的最大值为.方案三：若选条件：(1)因为2cos23cos B0，所以1cos B3cos B0，所以cos B.又B(0，)，所以B.(2)由b，结合余弦定理得b23a2c22accos Ba2c2ac2acacac(当且仅当ac时等号成立)，结合三角形的面积公式得SABCacsin B3，所以该三角形面积的最大值为.18解：(1)结合条件将点(an，2Sn)代入函数解析式得aan2Sn2，当n1时，aa12a12，解得a11(舍)，a12；当n2时，aa
18、n12Sn12.结合，化简得(anan1)(anan11)0，因为an0，所以anan11，所以数列an是首项为2，公差为1的等差数列，所以数列an的通项公式为an2(n1)1n1.(2)证明：结合(1)，得Snna11，所以bn2，所以Tn222222.19解：(1)证明：连接BE(图略)，在BCE中，因为点M，N分别为CE，BC的中点，所以MNBE.又MN平面BDEF，BE平面BDEF，所以MN平面BDEF.(2)证明：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADAB1，ABC60，所以BADCDA120，ADB30，所以CDB90，所以BDDC，BD.又因为四边形BDEF为正方形，所以BDDE，
19、又DECDD，DE，CD平面CDE，所以BD平面CDE.(3)结合(2)知，以点D为坐标原点，分别以直线DB，DC为x轴、y轴，以与过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)因为GA平面ABCD，连接GD，GB，又ADAB，易得GBGD，所以GEGF.因为EFBD，所以GF2BF2AG2AB2，所以AG，所以点G的坐标为，所以(，1，0)，(，0，0)设平面BGC的一个法向量为n(x，y，z)，所以即解得令x，则y3，z，所以平面BGC的一个法向量为n.设BD与平面BCG所成角为，所以sin |cosn，|，所以B
20、D与平面BCG所成角正弦值为.20解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，点(0，b)在直线m：xy10上，得b1.又因为，b2c2a2，a0，所以a2，c，所以所求椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：设P(x0，y0)，A(1，t)，B(1，t)，则有x4y40.直线AP的方程为yt(x1)令x4，整理得yQ.同理可得点R纵坐标yR，所以点Q，R的纵坐标之积yQyR.又因为y1x，t2，所以yQyR3，所以(4，yQ)(4，yR)16yQyR13，即(O为坐标原点)为定值21解：(1)填写列联表如下：“体育达人”非“体育达人”总计高三男生5204801 000高一男生4006001 000
21、总计9201 0802 000所以K2的观测值k28.98610.828，所以有99.9%的把握认为是否为“体育达人”与年龄有关(2)样本平均数为x40.0460.0680.10100.10120.30140.20160.10180.08200.0212.16.由前4组的频率之和为0.040.060.100.100.30，前5组的频率之和为0.300.300.60，知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t，则(t11)0.150.500.30，所以t.故可以估计高一男生引体向上的平均数为12.16，中位数为.(2，)(4.88，15.8)，而P(2Z)P(2Z2)P(Z)0.818 6，所以X
22、B(5，0.818 6)，所以X的数学期望为E(X)50.818 64.093.22解：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，)，且当a2时，f(x)x2xln x，则f(x)2x1，所以当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以函数f(x)在x1时取得极小值即最小值，且最小值为f(1)11ln 10.(2)因为f(x)，x(0，)，令h(x)ax2x1，因为a0，所以14a0，所以方程h(x)0有两个不等实数根，设为x1，x2(x1x2)又因为h(0)10，所以x10x2，所以在(0，x2)上h(x)0，即在(0，x2)上f(x)0，
23、所以f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，所以函数f(x)最小值为f(x2)axx2ln x2，因为axx210，所以axx21，所以f(x2)x2ln x2，令m(x)xln x，所以m(x)0，从而函数m(x)在(0，)上单调递减，且m(1)0，所以对x(1，)，m(x)0，当a2时，因为axx21，所以x2(0，1)，所以f(x2)0，所以a2，此时函数无零点，不合题意当a2时，函数f(x)有一个零点x1；当0a1，则f(x2)0，则需证明存在x0x2时，使得f(x0)0即可，因为ln xx1(构造(x)ln xx1易证明)，所以f(x)xln xx(x1)2x12xax，则x时，ax0，即存在x0使得f(x0)0，故当0a2时函数f(x)有两个零点综上，实数a的取值范围为(0，2)
