1、广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题（一）理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解出集合，再求出，根据交集定义即可求得.【详解】由，解得或，或由，解得，故选：D【点睛
2、】本题主要考查的是集合的交集，补集的运算，以及分式、绝对值不等式，以及对数不等式的求解，是基础题.2. 已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由复数的几何意义可知对应的轨迹，从而得到的最大值.【详解】由复数的模的几何意义可知，复数在复平面内对应的点的轨迹为：以为圆心，以2为半径的圆的内部（包括圆周）而表示点到点的距离，所以当点为时，最大，故的最大值是.故选：B【点睛】本题主要考查的是复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题.3. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
3、解析】【分析】由对数运算，指数运算，即可容易判断.【详解】，故选：C【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。4. 已知直线，平面，则是的 （ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是的必要但不充分条件,选B.5. 已知，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得的坐标，利用向量的坐标即可求得结果.【详解】，向量在方向上的投影为故选：D【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.6. 已知，则（
4、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件以及，解得，再利用二倍角公式即可化简求得结果.【详解】，且，解得又，故选：D【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，是基础题.7. 已知函数，若在为增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的单调性可知在在上为增函数，且，从而列出不等式组，即可得实数的取值范围.【详解】在上为增函数，且函数在上为增函数，在上为增函数，且当时，在上为减函数，不符合题意，故.当时，解得故选：C【点睛】本题主要考查的是对数函数，二次函数的单调性以及复合函数
5、单调性的判断方法，要注意先考虑函数的定义域，是中档题.8. “岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（ ）A. 105种B. 210种C. 630种D. 1260种【答案】C【解析】【分析】利用分步计数原理，先将7人按照3人、2人、2人分成了三个小组，再安排到不同的病房，【详解】7人分成三个小组并安排到不同病房工作，有种方法.故选：C【点睛】本
6、题主要考查的是分步计数原理的应用，以及平均分组的问题，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.9. 点的坐标满足直线经过点，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应平面区域，利用实数的几何意义即可得到实数的最大值.【详解】根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示的三角形区域直线的方程可化为，当直线在轴上的截距最小时，实数取得最大值在图中作出直线并平移，使它与图中的阴影区域有公共点，且在轴上的截距最小由图可知，当直线过点时，截距最小由，求得，代入到中，解得，即故选：B【点睛】本题主要考查的是线性规划的应用，解题的关键是画出不等式组对应可行域，以
7、及实数的几何意义，是基础题.10. 如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用表示出三角形的三条边，由余弦定理即可求得结果.【详解】连接，设，则由已知可得，为双曲线上的点，为的中点，且，在直角中，故选：A【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.11. 在三棱柱中，平面，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意求出三棱柱的外接球半径，从而得出球的体积，再求出
8、三棱柱的体积，即可得出它们的比.【详解】如图，为三棱柱上、下底面的中心，为的中点，连接，则为三棱柱外接球的球心，为外接球半径在直角中，易求得，又，故选：C【点睛】本题主要考查的是空间几何体的结构和空间几何体的体积，解题的关键是根据外接球性质找到外接球的球心，是中档题.12. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：函数的图象关于原点对称；在区间上，的最大值为；是的一条对称轴；将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为其中正确的结论个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意求出函数的表达式，再根据选
9、项要求一一判断即可.【详解】，将代入，得又，不是奇函数的图象不关于原点对称，错；当时，由的单调性可知：，即的最大值为，对；由，得的对称轴方程为，不是的对称轴，错；，由，得，相邻两个交点的横坐标之差为，将代入，得到交点的纵坐标为，面积的最小值为，对故选：B【点睛】本题主要考查的是三角函数模型的性质和应用，以及三角函数图像平移问题，解题的关键是熟练掌握三角函数模型的性质，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 一组样本数据10，23，12，5，9，21，22平均数为16，中位数为21，则_【答案】0【解析】【分析】由平均数的求解，即可求得的关系式，根据中位数的大小，即可容易
10、求得，则问题得解.【详解】数据的平均数为16，且数据的中位数为21，故答案为：.【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属基础题.14. 2019国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七局四胜制（先获得四局胜利的选手获胜），已知每局比赛甲选手获胜的概率是，且前五局比赛甲领先，则甲获得冠军的概率是_【答案】【解析】【分析】根据题意甲要获得冠军，则甲要么以夺冠，要么以夺冠，分别求出，即可得甲获得冠军的概率.【详解】每局比赛甲选手获胜概率是，且前五局比赛甲领先，甲以夺冠的概率为，甲以夺冠的概率为甲最终夺冠的概率为故答案为：.【点睛】本题主要考查的是相互独立事件的概率乘
11、法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，是基础题.15. 已知分别为三个内角的对边，且若分别为边的中点，且为的重心，则面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，余弦定理求得，可得面积的最大值，再根据题意及平面几何知识可得，从而得到面积的最大值.【详解】由，根据正弦定理，可得，由余弦定理可知，分别为边的中点，且为的重心，由平面几何知识可知，面积的最大值为故答案为：.【点睛】本题主要考查的是解三角形中的正余弦定理，三角形面积公式，牢记三角形面积公式以及在实际中的应用，是中档题.16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为_【答案】【
12、解析】【分析】根据题意，设出直线的方程，联立抛物线方程，由焦点弦公式即可容易求得，结合点到直线的距离公式，即可容易求得结果.【详解】由已知，不妨设，若直线斜率不存在，与已知矛盾；则直线斜率存在，设，与抛物线联立，得，则，由抛物线的定义，焦点弦长，点到直线的距离为，故答案为：.【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程，以及求抛物线中三角形面积，属中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 已知为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前
13、项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，求得；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求得数列的前项和【详解】（1），数列是以为首项，以为公比的等比数列（2），得【点睛】本题主要考查是数列通项公式的求法以及数列求和的常用方法，错位相减法求和的方法的应用，考查学生的分析和计算能力，是中档题.18. 如图1，在中，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角 （1）求证：平面平面；（2）设分别为的中点，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过计算证明出二面角为直二面角，即可证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面的法向量和平面
14、的法向量，利用向量数量积可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在中，为的中点，又，二面角为直二面角，平面平面平面又平面，平面平面（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系可求得，分别为的中点，设平面的法向量为，由得令，则设平面的法向量为，由得令，则，二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定，利用向量法求二面角的余弦值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，考查学生的计算能力，是中档题.19. 我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化
15、始终不大，在5上下波动（如图） 为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：年龄区间有意愿数808187868483837066（1）设每个年龄区间的中间值为，有意愿数为，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数（结果保留两位小数）；（2）从，这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率（参考数据和公式：，）【答案】（1）-0.63（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合参
16、考数据和公式，代值计算即可求得结果；（2）列举出所有选取的结果，找出满足题意的选取结果，根据古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】解：（1）由题意可求得：，又，回归直线方程为 （2）由题意可知，在，年龄段中，超过半数的夫要有生育二孩意愿，在，年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩意愿设从，年龄段中选出的夫妻分别为，从，年龄段中选出的夫妻分别为， 则从中选出2对夫妻的所有可能结果为，共10种情况其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有，共6种 恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算，涉及古典概型的概率求解，计算量相对较大，需认真计算即可.20. 已知原点到
17、动直线的距离为2，点到，的距离分别与到直线的距离相等（1）证明为定值，并求点的轨迹方程；（2）是否存在过点的直线，与点的轨迹交于两点，为线段的中点，且？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析，（2）见解析，或【解析】【分析】（1）根据题意易证为定值，由，判定的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆，根据椭圆定义可得椭圆方程；（2）根据题意知直线的斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，由得出的取值范围，再由推得，有韦达定理即可得出直线的方程.【详解】（1）设点到直线的距离分别为由已知，又为的中点，由椭圆定义可知，点的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆，点的轨迹方程为（2）假设直
18、线存在，当的斜率不存在时，显然不成立设，由得，或，解得或，且，存在直线满足条件，直线的方程为或，即或【点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，直线与椭圆联立，利用韦达定理是解题的关键，是中档题.21. 已知函数（1）设，当时，求函数的单调减区间及极大值；（2）设函数有两个极值点，求实数的取值范围；求证：【答案】（1）单调减区间为，（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数，再求出其导函数，令，解出，根据单调性和极值求法即可求解.（2）函数有两个极值点，即方程有两个不等实根分离参数，转化成图像有两个交点，利用导数判定函数的单调性，即可得到实数的取值范围
19、；不妨设，由知，且有，可得，将可化再构造函数，利用导数证出，即可证明.【详解】（1），当时，令，解得，当时，为单调减函数；当时，为单调增函数；当时，为单调减函数，函数的单调减区间为，（2）函数有两个极值点，方程有两个不等实根由，显然时方程无根，设，则令，得当时，为单调递增函数；当时，单调递减函数且当时，；当时，实数的取值范围是证明：不妨设，由知，且有可化为又即证，即证，即设，即证当时成立设，在上为增函数，即成立成立【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数极值点问题，构造函数是解决本题的关键考查考生的分类讨论思想、等价转化能力、数学计算能力，是难题.（二）选考题：共10分请考生在第
20、22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点求和的值【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用公式和正弦的和角公式，将极坐标方程即可转化为直角坐标方程；消去参数，则参数方程即可转化为普通方程；（2）设出的极坐标点，联立与曲线的极坐标方程，即可求极坐标系下两点之间的距离.【详解】解：（1），又，曲线的直角坐标方程为 （为参数），消去，得直线的普通方程为 （2）设点，曲线的极坐标方程为，将代入，直线的极坐标方程为，解得，【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化，涉及极坐标系下求两点之间的距离，属综合中档题.选修45：不等式选讲23. 已知函数（1）若，解不等式；（2）若对任意，求证：【答案】（1）（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）分类讨论，即可求得不等式的解集；（2）使用两次绝对值三角不等式，即可容易证明.【详解】（1）解：，或或，解得或或不等式的解集为 （2）证明：，又，成立【点睛】本题考查利用分类讨论求绝对值不等式解集，以及利用绝对值三角不等式证明不等式，属综合基础题.- 26 -
