1、北京理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测:圆锥曲线与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2的直线交椭圆于点A、B,若,则( )A 10B 11C 9D16【答案】B2已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为,且与轴垂直,则椭圆的离心率为( )A BCD【答案】B3若直线与曲线C:没有公共点,则的取值范围是( )ABCD【答案】A4设斜率为2的
2、直线过抛物线的焦点F,且和y轴交与点A,若(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A B C D 【答案】B5若是双曲线上一点,且满足,则双曲线离心率为( )ABCD【答案】B6抛物线y=x上到直线x-y=4距离最近的点的坐标是( )A() B.(1,1) C.( ) D.(2,4)【答案】B7椭圆上的点到左准线的距离为,则点到右焦点距离为( )ABCD【答案】A8已知直线过点,当直线与圆有两个交点时,其斜率k的取值范围是( )A B C D【答案】C9已知抛物线y2=-x与直线y=k(x + 1)相交于A、B两点,则AOB的形状是( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角
3、三角形【答案】B10椭圆C的两个焦点分别为和,若该椭圆C与直线有公共点,则其离心率的最大值为( )A B C D 【答案】C11已知4,则曲线和有( )A 相同的准线B 相同的焦点C 相同的离心率D 相同的长轴【答案】B12直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为( )A18B24C36D48【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13若直线和圆O:没有公共点,则过点的直线与椭圆的交点个数为 .【答案】214已知点,椭圆与直线交于点、,则的周长为
4、_【答案】815双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲线的左支于A,B两点,且|AB|m,则ABF2的周长为_【答案】4a2m16双曲线1的条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则的最小值为_【答案】三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17设直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点,已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时,OAB的面积为(O为坐标原点)()求抛物线的方程;()当直线l经过点P(a,0)(a0)且与x轴不垂直时,若在x轴上存在点C,使得ABC为等边三角形,求a的取值范围【答案】()由条件可得,O点
5、到AB距离为,得: , 抛物线的方程为()设,AB的中点为,又设,直线l的方程为()由,得,所以,从而为正三角形,由,得,所以由,得,即,又,从而,的取值范围18已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1(1)求椭圆的方程(2)若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。【答案】 ()设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为 ()设M(x,y),P(x,),其中由已知得而,故 由点P在椭圆C上得 代入式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴
6、的线段. 19在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O 对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。【答案】(I)因为点B与A关于原点对称,所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为(II)解法一:设点的坐标为,点,得坐标分别为,. 则直线的方程为,直线的方程为令得,.于是得面积 又直线方程为, 点到直线的距离.于是的面积 当时,得又,所以=,解得。, 故存在点使得与的面积相等
7、,此时点的坐标为.解法二:若存在点使得与的面积相等,设点的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ,解得 , 故存在点使得与的面积相等, 此时点的坐标为.20已知抛物线的顶点是椭圆:的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. ()求抛物线的方程;()设椭圆C的右准线交轴于点Q,过点Q的直线交抛物线于D、E两点。求面积的最小值;()设、分别为椭圆C的左、右顶点,为右准线上不同于点Q的任意一点,若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、。求证:点在以为直径的圆内【答案】 (1)由题意,可设抛物线方程为. 由,得. 抛物线的焦点为,. 抛物线的方程为. (2)椭圆的右准线方程为,设直线的方程为,,. 联立,整理得:
8、 当时, (3) A(2,0),B(2,0).设M(x0,y0)(2x00,0,则MBP为锐角,从而MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内。21已知抛物线的焦点为F,点为直线与抛物线准线的交点,直线与抛物线相交于、两点,点A关于轴的对称点为D (1)求抛物线的方程。(2)证明:点在直线上;(3)设,求的面积。【答案】(1) 设,的方程为(2)将代人并整理得,从而 直线的方程为 ,即令所以点在直线上(3)由知,因为 ,故 ,解得 所以的方程为又由知 故22如图,椭圆的离心率为,x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。()求C1,C2的方程;()设C2与y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E证明:MDME;【答案】()由题意知故C1,C2的方程分别为()由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为.由得.设是上述方程的两个实根,于是又点M的坐标为(0,1),所以故MAMB,即MDME.