1、北京理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：圆锥曲线与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A、B，若,则( )A 10B 11C 9D16【答案】B2已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为( )A BCD【答案】B3若直线与曲线C:没有公共点，则的取值范围是( )ABCD【答案】A4设斜率为2的
2、直线过抛物线的焦点F，且和y轴交与点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( )A B C D 【答案】B5若是双曲线上一点，且满足，则双曲线离心率为( )ABCD【答案】B6抛物线y=x上到直线x-y=4距离最近的点的坐标是( )A() B.(1，1) C.( ) D.(2，4)【答案】B7椭圆上的点到左准线的距离为，则点到右焦点距离为( )ABCD【答案】A8已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A B C D【答案】C9已知抛物线y2=-x与直线y=k(x + 1)相交于A、B两点，则AOB的形状是( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角
3、三角形【答案】B10椭圆C的两个焦点分别为和，若该椭圆C与直线有公共点，则其离心率的最大值为( )A B C D 【答案】C11已知4，则曲线和有( )A 相同的准线B 相同的焦点C 相同的离心率D 相同的长轴【答案】B12直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为( )A18B24C36D48【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为 .【答案】214已知点，椭圆与直线交于点、，则的周长为
4、_【答案】815双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|m，则ABF2的周长为_【答案】4a2m16双曲线1的条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为_【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17设直线l与抛物线y2=2px（p0）交于A、B两点，已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时，OAB的面积为（O为坐标原点）(）求抛物线的方程；(）当直线l经过点P（a，0）（a0）且与x轴不垂直时，若在x轴上存在点C，使得ABC为等边三角形，求a的取值范围【答案】（）由条件可得，O点
5、到AB距离为，得： ， 抛物线的方程为(）设，AB的中点为，又设，直线l的方程为（）由，得，所以，从而为正三角形，由，得，所以由，得，即，又，从而，的取值范围18已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1(1)求椭圆的方程(2)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，(e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。【答案】 (）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为 (）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故 由点P在椭圆C上得 代入式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴
6、的线段. 19在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O 对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1）求动点P的轨迹方程；(2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。【答案】（I）因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为(II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积 又直线方程为， 点到直线的距离.于是的面积 当时，得又，所以=，解得。， 故存在点使得与的面积相等
7、，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ，解得 ， 故存在点使得与的面积相等， 此时点的坐标为.20已知抛物线的顶点是椭圆:的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (）求抛物线的方程;(）设椭圆C的右准线交轴于点Q，过点Q的直线交抛物线于D、E两点。求面积的最小值；(）设、分别为椭圆C的左、右顶点,为右准线上不同于点Q的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、。求证：点在以为直径的圆内【答案】 (1)由题意,可设抛物线方程为. 由,得. 抛物线的焦点为,. 抛物线的方程为. (2)椭圆的右准线方程为，设直线的方程为，,. 联立,整理得:
8、 当时， (3) A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）（2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。21已知抛物线的焦点为F，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点A关于轴的对称点为D (1）求抛物线的方程。(2）证明：点在直线上；(3）设，求的面积。【答案】（1） 设，的方程为(2）将代人并整理得，从而 直线的方程为 ，即令所以点在直线上(3）由知，因为 ，故 ，解得 所以的方程为又由知 故22如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。(）求C1，C2的方程；(）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E证明：MDME;【答案】（）由题意知故C1，C2的方程分别为(）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.由得.设是上述方程的两个实根，于是又点M的坐标为（0，1），所以故MAMB，即MDME.