1、广东省深圳市普通高中2020届高三数学下学期第二次线上统一测试试题 文（含解析）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由求出集合B，然后求出其补集，最后求交集.【详解】由得，即，所以，又因为则.故选：C.【点睛】本题考查了求对数型函数的定义域，集合的补集、交集运算，属于基础题.2.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（
2、）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由题意，根据复数的几何意义结合、即可得解.【详解】由题意，该复数在复平面内所对应的点为，该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.3.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解.【详解】点和在直线的两侧，即，解得.故选：A.【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式
3、，属于基础题.4.已知是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由分段函数的单调性可转化条件得，解不等式组即可得解.【详解】是上的减函数，解得.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题.5.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为( )A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.64【答案】C【解析】由题意可知频数在的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.故选C.6.如图，在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，
4、又，故选7.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式转化，原式=sin163sin223+cos163cos223再通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果【详解】原式=sin163sin223+cos163cos223=cos（163-223）=cos（-60）=.故选A.【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式要熟记公式是关键8.已知抛物线，过点作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得直线，联立方程组即可求得中点，进而可得直线，求出点后即可得解.【详解】由
5、题意可得直线，设，中点，联立方程组，消去得，易得，点，又 ，直线，令可得即点，线段.故选：A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.9.如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：截面异面直线与所成的角为其中所有正确结论编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由线线平行和垂直的性质可判断，由线面平行的判定定理和性质定理可判断，由平行线分线段成比例可判断，由异面直线所成角的定义可判断.【详解】截面是正方形，,又平面，平面，平面，平面，平面平面，同理可得由正方形知，则，即正确；由，平面，平面，得平面，则正确；由，,得,所以，同理可证，由正方形知，但不一定与相
6、等，则与不一定相等，即不正确；由知为异面直线与所成的角，由正方形知，则正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.10.已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调递减D. 函数在上有个零点【答案】C【解析】【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论.【详解】最小正周期是， 它的图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，为奇函数，
7、则，由得，则的图象不关于对称，故选项A错误；由得，则的图象不关于对称，故选项B错误；由，得，则的单调递减区间为取，得区间，由，知选项C正确；函数的零点为，则函数在上有和两个零点，故选项D错误.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换，单调性、奇偶性、对称中心、对称轴等性质，属于中档题.11.已知函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，当时，则的值为（ ）A. 1.5B. 8.5C. 0.5D. 0.5【答案】D【解析】【分析】由已知中函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，可得是以8为周期的周期函数，逐步转化，进而求得的值.【详解】函数是R上的奇函数，又函数是R上的偶函数，又，故
8、，即是以8为周期的周期函数，.故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用.12.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由题意可设，故四边形是平行四边形，且由双曲线的定义可得：，由余弦定理可得，即，借助平行四边形的性质可得，即，故双曲线的离心率，应选答案B点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进行等价转化与化归为平行四边形的几何性质问题，再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻
9、到建立方程的依据从而使得问题获解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知轴为曲线的切线，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设轴与曲线的切点为，由题意结合导数的几何意义可得，解方程即可得解.【详解】由题意，设轴与曲线的切点为，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14.已知为数列的前项和，若，则_.【答案】32【解析】【分析】由结合题意可得，再利用即可得解.【详解】当时，解得；当时，整理得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.故答案为：32.【点睛】本题考查了与关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于
10、基础题.15.在中，若，则的值为_ .【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，二倍角公式将所求的式子转化成关于的代数式，代入求解即可.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形内角和性质，诱导公式，以及二倍角的余弦公式的综合运用.16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设出圆锥的高为，底面半径为，在截面中，由球与圆锥相切可设出底面和母线SB的切点分别为C和D，接着由三角形的相似求得、三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于的函数，利用导函数求最值.【详解】设圆锥的高为，底面半径为，在截面图中，根据圆锥与球相切可知，、均为球与外切圆锥的切点，则又，即，圆
11、锥体积为，令可得，则时，；时，在单调递减，在单调递增，则.故答案为：.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.已知数列的首项，.（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前项和.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）利用数列递推式，整理后两边取倒数，再两边减去1，即可证得数列是等比数列；（2）利用第（1）题的结论，求出，进而得到，用分组求和法，错位相减法，求出.【
12、详解】解：（1），又，数列是以首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，.设，则，由得，.又.数列的前项和.【点睛】本题考查了倒数法求数列的通项公式，分组求和法，错位相减法求数列的前n项和，属于中档题.18.随着经济模式改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品.现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.
13、（1）将表示为的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）.【答案】（1）；（2）0.7；（3）平均数为（吨），估计中位数应为（吨）【解析】【分析】（1）分别计算和时T的值，用分段函数表示T的解析式；（2）计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积（即频率）求和得出平均数，根据中位数两边频率相等（即矩形面积和相等）求出中位数的大小.【详解】解：（1）当时，；当时，所以，；（2）根据频率分布直方图及（1）
14、知，当时，由，得，当时，由所以，利润不少于57万元当且仅当，于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润不少于57万元的概率的估计值为0.7；（3）估计一个销售季度内市场需求量的平均数为（吨）由频率分布直方图易知，由于时，对应的频率为，而时，对应的频率为，因此一个销售季度内市场需求量的中位数应属于区间，于是估计中位数应为（吨）.【点睛】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是中档题.19.如图所示，四棱锥中，平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连结和，可证明得到四边形
15、为平行四边形，进而证得平面；（2）先证明平面，进而得到平面平面，作交于，则平面，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离.【详解】证明：（1）取的中点，连结和，为的中点，且，且，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面；（2），为的中点，平面，平面，又，平面，平面，由（1）可知，平面，平面，平面平面，作交于，则平面，在直角三角形中，有，即点到平面距离为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，转化思想，等面积法，属于中档题.20.已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点.（1）求的最大值，并证明你的结论；（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率
16、的取值范围.【答案】（1）的最大值为，证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可知，在中，利用余弦定理可得：，再利用基本不等式得到，当且仅当时等号成立，再结合，以及余弦函数的图象，即可得到的最大值；（2）设直线BM的斜率为，则，再根据的范围即可得到的范围.【详解】解：（1）由椭圆的定义可知，在中，由余弦定理，可得，的最大值为，此时，即点为椭圆的上、下顶点时，取最大值，其最大值为；（2）设直线的斜率为，则，又，故直线的斜率的取值范围为.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，余弦定理和基本不等式的应用，过两点的直线的斜率公式，是中档题.21.已知函数（为自然对数的底数），其中.（1）在区间
17、上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（2）若函数的两个极值点为，证明：.【答案】（1）存在，最小值为；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）对函数求导，令，得两根，从而得出的单调区间.由用作差法比较与的大小，结合，可知，则在区间单调递减，则其取得最小值；（2）由的韦达定理，得，则可消去a，得，.通过两边取对数，得和，将其代入需证不等式.再得，采用换元法，反证法，将所求不等式转化为.再用换元法，令 构造函数，利用导函数求其最值，则可证明不等式.【详解】.解：（1）由条件可函数在上有意义，令，得，因为，所以，.所以当时，当上，所以在上是增函数，在是减函数.由可知，当时，当
18、时，当时，因为，所以，又函数在上是减函数，且，所以函数在区间上的有最小值，其最小值为.（2）由（1）可知，当时函数存在两个极值点，且是方程的两根，所以，且，所以，所以，又，由（1）可知，设，则，故要证成立，只要证成立，下面证明不等式成立，构造函数，则，所以在上单调递增，即成立，令，即得不等式，从而成立.【点睛】本题考查了利用导函数求函数的最值，证明不等式，其中换元法、反证法的应用是本题的关键，考查了转化的思想，属于综合性较强的难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线：（为参数，
19、），曲线：（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程及点的极坐标；（2）已知直线：与圆：交于，两点，记的面积为，的面积为，求的值.【答案】（1）；点的极坐标为（2）【解析】【分析】（1）消去参数得的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得的极坐标方程；由题意得的极坐标方程为，代入的极坐标方程后利用即可得解；（2）由题意可得，设，将代入后即可得，再利用三角形面积公式可得，化简即可得解.【详解】（1）消去参数可得的直角坐标方程为，将代入得的极坐标方程为，又的参数方程为（为参数，），可得的极坐标方程为，将代入得，则，又，所以，此时
20、，所以点的极坐标为.（2）由的极坐标方程为，可得的直角坐标方程为，所以圆心，设，将代入，得，所以，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.23.已知.（1）当时，解不等式；（2）若存在实数，使得关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，分、两种情况讨论即可得解；（2）由绝对值三角不等式结合题意得，利用基本不等式求出的最小值即可得解.【详解】（1）当时，即解不等式，当时，原不等式等价于，所以，所以不等式解集为空集，当时，原不等式等价于，解得，综上所述，不等式的解集为.（2）因为，显然等号可取.又，故原问题等价于关于的不等式在上有解，又因为，当且仅当时取等号，所以，即.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.
