1、山东省烟台市第三中学（等级赋分）2019-2020学年度第一学期高二期中学业水平诊断（数学）一、选择题1.若不等式的解集是，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式对应方程的韦达定理得到，计算得到答案.【详解】不等式的解集是则根据对应方程的韦达定理得到：即故选【点睛】本题考查了不等式的系数关系，转化为对应方程的根与系数的关系是解题的关键.2.已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用特值法，取符合条件的，代入进行比较即可【详解】取特殊值：，则，故，故选：A【点睛】本题考查不等式比较大小，属于基础题3.已知数列的前n项和，那么下
2、述结论正确的是 （ ）A. 为任意实数时，是等比数列B. = 1时，是等比数列C. =0时，是等比数列D. 不可能是等比数列【答案】B【解析】【分析】先根据等比数列求，再验证= 1时，是等比数列.【详解】因为，所以当时，当时，若是等比数列，则若= 1，则是等比数列.因此选B.【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若为非零常数)，则是等比数列；(2)等比中项法：在数列中，且，则数列是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成均是不为0的常数)，则是等比数列；(4)前项和公式法：若数列的前项和为非零常数)，则是等比数列.4.已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、【分析】配凑、利用基本不等式可得到答案.【详解】当时，当且仅当，即时等号成立的最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）A. 134B. 135C. 136D. 137【答案】
4、B【解析】【分析】由题意得出，求出，即可得出数列的项数.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故.由得，故此数列的项数为，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.6.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，判断其单调递减，计算，代入不等式计算得到答案.【详解】构造函数，则，在单调递减.等价于，故 故选【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，构造函数是解题的关键.7.数列的前项和为（ ）.A. B. C. D. 【答
5、案】A【解析】【分析】裂项得到，计算前项和，化简得到答案.【详解】前项和为：故选【点睛】本题考查了数列的前项和，变换是解题的关键.8.在各项均为正数的等比数列 中，则（ ）A. 有最小值12B. 有最大值12C. 有最大值9D. 有最小值9【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项结合均值不等式即可得解.【详解】解：各项均为正数的等比数列当且仅当即时“=”成立.故选A【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查均值不等式，属于基础题.9.若函数在区间内是增函数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，再分类讨论和两种情况，再对满足条件的取并集即可【详解】当时，
6、恒成立，即在R上单调递增，满足条件当时， 解得，又在区间内是增函数，即 综上所述故选: B【点睛】此题考查定区间单调求参数取值范围题型，用到的方法为分类讨论，属于一般性题目10.函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图象判断导函数的正负情况，可以得到函数的单调性，然后得到答案.【详解】从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在内只有一个极小值点，极小值点为故选：D【点睛】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系属基础题11.下列说法正确的是（ ）.A. 若，则最大值为4B. 若
7、，则函数的最大值为-1C. 若，则的最小值为1D. 函数的最小值为9【答案】BD【解析】分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除和利用均值不等式计算得到答案.【详解】对于，取得到，错误；对于，时等号成立，正确；对于，取 满足等式，此时，错误；对于，当时等号成立，正确.故选【点睛】本题考查了均值不等式求最值，通过特殊值法排除选项可以快速得到答案.12.已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（ ）.A. B. 最小C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】化简得到，时，没有最小值，再计算，得到答案.【详解】即，正确；当时，没有最小值，错误；，正确；，正确.故选【点睛】本题考查了数列的通项
8、公式，前项和，意在考查学生对数列公式方法的灵活运用.13.已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）.A. B. C. D. 当时，【答案】AD【解析】【分析】根据的单调性得到正确；不是单调递增得到错误；根据不是单调递减得到错误；根据条件得到单调递增，得到，代换得到答案.【详解】设，函数单调递增，则即，正确；设不是恒大于零，错误；不是恒小于零，错误；故，函数单调递增故即 即，正确.故选【点睛】本题考查了函数的单调性判断不等式，意在考查学生对于函数单调性的综合应用.二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14.已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这
9、一事实表示一个不等式_【答案】【解析】【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案.【详解】糖水变甜，表示糖浓度变大，即故答案为【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】取得到，时，根据计算得到答案.【详解】，取得到 当时， 故故答案【点睛】本题考查了数列的通项公式，熟练应用公式是解题的关键.16.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】在区间(0,4)上有三个零点，|lnx|ax=0在区间(0,4)上有三个不同的解，令；令,则当0x1时,单调递增，单调递减，的值域为(0,+)
10、；当1x4时,a=在1,e上是增函数，0，在e,4)上是减函数，；故当a(,)时，有三个不同的解点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.17.将边长分别为的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为，则_，前个阴影部分图形的面积的平均值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据图形得到，再计算前项和，计算得到答案
11、.【详解】根据图形知：前项和为： 故前个阴影部分图形的面积的平均值为.故答案为；【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项平均值，意在考查学生的应用能力.三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.18.设函数.（1）若函数在处取得极值，求的值；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求导得到，根据代入计算得到答案.（2）题目等价于对于恒成立，即解不等式得到答案.【详解】（1），令得，所以，所以，由于函数在处取得极值，所以，即，所以；（2）对任意都成立，即对任意都成立，即对任意都成立，于是对任意都成立，所以，解得
12、，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的极值，恒成立问题，将题目等价于是解题的关键.19.已知正项等比数列是单调递增数列，且与的等差中项为，与的等比中项为16.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据题意得到方程组，计算得到答案.（2）先计算，在利用分组求和法计算前项和得到答案.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可知：.因为与的等差中项为，与的等比中项为16，所以，解得，（舍去）所以.（2），所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式，分组求和法求前项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀
13、速行驶到乙地，速度不超过.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（单位：）的平方成正比，且比例系数为，固定部分为元.（1）把全程运输成本（元）表示为速度的函数，并求出当，时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，元，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据题意知，代入，利用均值不等式得到答案.（2），求导得到在上是减函数，代入数据计算得到答案.【详解】（1）由题意可知，汽车从甲地到乙地所用时间为小时， 全程成本为.当，时，当且仅当时
14、取等号，所以，汽车应以的速度行驶，能使得全程运输成本最小；（2）当，时，.，由得，所以在上是减函数，所以，汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小.【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.21.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，满足成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求导得到，计算，根据切线方程公式得到答案.（2）变换得到，求导得到函数的单调性，计算函数的最大值得到答案.【详解】（1），所以，所以在点处的切线方程为：，即；（2）由题意，即，令，得.因为时，时，所以在上减，在上增，又时，所以的最大值在区间端点处取
15、到.而，所以，所以在上最大值为，故的取值范围是.【点睛】本题考查了切线方程，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22.已知函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列.（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）令，可得在上的零点为，整理可得，根据等差数列的定义，即可判断；（2）由（1）可得，代入即可得，利用错位相减求和法即可求得.【详解】（1）为等差数列.令，所以，所以在上的零点为，所以，因为所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）可得，所以，所以，两式相减得化简得【点睛】本题考查正切函
16、数图像与性质，等差数列的定义，错位相减求和法等知识，考查计算化简，分析求值的能力，属中档题.23.已知函数（1）判断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，对（），用判别式进行分类讨论，以确定的零点与符号，从而确定的单调区间；（2）题意说明在上有解，且在解的两侧符号相反.【详解】（1）因为，所以，令，即时，恒成立，此时，所以函数在上为减函数；，即或时，有不相等的两根，设为（），则，当或时，此时，所以函数在和上为减函数；当时，此时，所以函数在上为增函数 （2）对函数求导得. 因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根. 设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知 ， 由得，即这些极值的和的取值范围为【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值掌握用导数研究函数的方法是解题基础.，特别要注意不是为极值点的充分条件（即使在可导情况下），还必须满足在的两侧符号相反.
