1、专题四不等式第二讲线性规划、基本不等式与不等式的证明线性规划问题的解题步骤为：1设出变量x，y，列出变量x，y的线性约束条件，确定目标函数2作出可行域和目标函数值为0的直线l.3利用直线l确定最优解对应的点，从而求出最优解1基本不等式： .(1)基本不等式成立的条件：a，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值两个正数的和为常数时，它们的积有最大值2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a与b同号)(3)a2(a0)，a2(a0)(4)ab(a，bR)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC
2、0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)不等式x2y20，则a3的最小值为2.()(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()1设x，y满足 则zxy(B)A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值解析：画出不等式表示的平面区域，如图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z2，无最大值故选B.2(2015天津卷)设变量x，y满足约束条件 则目标函数zx6y的最大值为(C)A3 B4 C18 D40解析：由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示作直线x6y0并
3、向右上平移，由图可知，过点A(0，3)时zx6y取得最大值，最大值为18.3若x0，则x的最小值为2解析：x0x2，当且仅当xx时取等号4(2015天津卷)已知a0，b0，ab8，则当a的值为4时，log2alog2(2b)取得最大值解析：由于a0，b0，ab8，所以b.所以log2alog2(2b)log2alog2log2a(4log2a)(log2a2)24，当且仅当log2a2，即a4时，log2alog2(2b)取得最大值4.一、选择题1若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则有(A)Af(x)g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)g(x)D不能确定f(x)与g(x)的大小关系解析
4、：f(x)g(x)x22x2(x1)210.f(x)g(x)2(2015福建卷)若直线1(a0，b0)过点(1，1)，则ab的最小值等于(C)A2 B3 C4 D5解析：将(1，1)代入直线1，得1，a0，b0，故ab(ab)()2224，等号当且仅当ab时取到，故选C.3若ab0，cd0，则一定有(B)A. B.C. D.解析：cd0，cd0，0.又ab0，0，.故选B.4不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(A)A(，14，)B(，25，)C1，2 D(，12，)解析：因为4|x3|x1|4，对|x3|x1|a23a对任意x恒成立，所以a23a4，解得a4或
5、a1.5(2015北京卷)若x，y满足则zx2y的最大值为(D)A0 B1 C. D2解析：作出不等式组所表示的平面区域，如下图作直线x2y0，向右上平移，当直线过点A(0，1)时，zx2y取最大值，即zmax0212.6. (2014福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(C)A80元 B120元 C160元 D240元解析：设长方体底面边长分别为x，y，则y，所以容器总造价为z2(xy)1020xy2080，由基本不等式得，z2080160，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价
6、最低故选C.二、填空题7若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为2解析：x22y2222.当且仅当x22y2时等号成立8(2015新课标卷)若x，y满足约束条件则的最大值为3解析：画出可行域如图阴影所示， 表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率， 点(x，y)在点A处时最大由得 A(1，3) 的最大值为3.三、解答题9若对一切x2均有不等式x22x8(m2)xm15成立，求实数m的取值范围解析：由x22x8(m2)xm15，得x24x7m(x1)，对一切x2均有不等式m成立m应小于或等于f(x)(x2)的最小值又f(x)(x1)2222，当且仅当x1，即x3时等号成立f(x)mi
7、nf(3)2.故m的取值范围为(，210某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的，是面积为200平方米的十字形地带计划在正方MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元(1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值解析：(1)设AMy，则x24xy200.y.S4 200x22104xy804y24 000x2410538 000(x0)(2)S4 000x2410538 000238 000118 000，当且仅当x时等号成立，即x米时，S有最小值118 000元
