1、高考资源网() 您身边的高考专家向量的内积与二面角的计算 在高等代数与解析几何课程第一章向量代数的教学中,讲到几何空间的内积时,有一个例题(见1,p53)要求证明如下的公式: (1)其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点,OA、OB分别在平面P和平面Q内。, 。为二面角P-MN-Q(见图1)。图1 公式(1)可以利用向量的内积来加以证明:以Q为坐标平面,直线MN为y轴,如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD,则,得,。分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量,则。由计算知,的坐标分别为,于是,。公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。
2、例1立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1,E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。 求面EFG和面GHI的夹角的大小(用反三角函数表示)。解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点,没有交线,所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-(见图3)。利用公式(1),只要知道了,和的大小,我们就能求出。图2由已知条件,和均为等边三角形,所以,而。因此,图3,即。解得, 。当然,在建立了直角坐标系之后,通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量,利用法向量同样也可算出夹角来。例2计算正十二面体的
3、两个相邻面的夹角的大小。解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面,MN是它们的交线(如图4),则公式(1)中的,分别为:, , ,因此它们均为正五边形的内角。所以。图4所以,由公式(1)知,或。因此,或。 如果不使用公式(1),要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。利用例2的结果,我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。设单位棱长正十二面体的中心为O,则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥,每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为,从而可知:。再设的底面积为S、高为h,设为单位边长正五边形(即的底)的中心,A、B为该五边形的两个相邻的顶点,H为AB的中点,则, , 。仍设为正十二面体两相邻面的夹角,则。所以。但是,从而 ,或w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 6 - 版权所有高考资源网