1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集U=R，集合A=x|x3，B=x|x2，则（UB）A=（）Ax|x2Bx|1x3Cx|2x3Dx|2x32设i是虚数单位，则复数等于（）A1+iB1iC1+iD1i3已知非零平面向量，“|+|=|”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A42B19C8D35在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B=（）AB
2、CD6已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）ABCD7某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入支出）A收入最高值与收入最低值的比是3：1B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元8若圆x2+（y1）2=r2与曲线（x1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A0rB0rC0rD0r二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9已知函数则f（f（1）=10已知双曲线过抛物线y2=8x的焦点，则此双曲线的渐近线方程为11已知递增的等差数列a
3、n（nN*）的首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，则数列an的通项公式an=；a4+a8+a12+a4n+4=12已知不等式组表示的平面区域为D若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是13已知圆C：（x3）2+（y5）2=5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P若A恰为PB的中点，则直线l的方程为14甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜如果
4、从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数（0）的最小正周期为（）求的值；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16已知数列an的前n项和，nN*（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Tn17某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查调查结果如表：阅读名著的本数12345男生人数31213女生人数13312（）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（）试判断
5、该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）（注：方差，其中为x1x2，xn的平均数）18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，BAC=90，AB=AC=2，M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点（）求证：平面APM平面BB1C1C；（）若P为线段BB1的中点，求证：A1N平面APM；（）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由19已知椭圆C：的焦点分别为F1，F2（）求以线段F1，F2为直径的圆的方程；（）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N在x轴上是否存在点Q，使得
6、PQM+PQN=180？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由20已知函数（kR）（）若k=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）设k0，若函数f（x）在区间上存在极值点，求k的取值范围2016年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集U=R，集合A=x|x3，B=x|x2，则（UB）A=（）Ax|x2Bx|1x3Cx|2x3Dx|2x3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】直接利用集合的基本运算求解即可【解答】解：全
7、集U=R，集合A=x|x3，B=x|x2，则（UB）A=x|x3x|x2=x|2x3，故选：D2设i是虚数单位，则复数等于（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的除法运算进行化简计算【解答】解： =1+i故选：A3已知非零平面向量，“|+|=|”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】非零平面向量，利用数量积运算性质可得：“|+|=|”=0“”，即可判断出结论【解答】解：非零平面向量，“|+|=|”=0“”，非零平面向量，“|+|=|”是“”的充要条件故选：
8、C4执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A42B19C8D3【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i4，退出循环，输出S的值为19【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i4，S=3，i=2满足条件i4，S=8，i=3满足条件i4，S=19，i=4不满足条件i4，退出循环，输出S的值为19故选：B5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】根据条件和正弦定理得出tanB，得出B【解答】解：在ABC中，又，sinB=cosB，tan
9、B=B=故选：C6已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图得到该四棱锥的直观图，结合四棱锥的侧面积公式进行求解即可【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1，则PA=PB=，PD=PC=，PH=，则四棱锥的侧面S=SPAB+SPAD+SPCD+SPBC=21+22+=3+，故选：B7某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入支出）A收入最高值与收入最低值的比是3：1B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率
10、与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化【分析】根据折现统计图即可判断各选项【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为8020=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D8若圆x2+（y1）2=r2与曲线（x1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A0rB0rC0rD0r【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】求得圆的圆心
11、和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，y=的导数为y=，可得切线的斜率为，由两点的斜率公式可得（）=1，即为n1=m（m1）2，由可得n4n3n1=0，化为（n2n1）（n2+1）=0，即有n2n1=0，解得n=或，则有或可得此时圆的半径r=结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题
12、5分，共30分.把答案填在答题卡上.9已知函数则f（f（1）=2【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可【解答】解：由分段函数的表达式得f（1）=（1）2=1，则f（1）=log2（1+3）=log24=2，f（f（1）=f（1）=2，故答案为：210已知双曲线过抛物线y2=8x的焦点，则此双曲线的渐近线方程为【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，代入双曲线的方程，求出m，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0），代入双曲线方程，可得，解得m=4，双曲线方程为：渐近线方程为：故答案为：11已知递增
13、的等差数列an（nN*）的首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，则数列an的通项公式an=n；a4+a8+a12+a4n+4=2n2+6n+4【考点】数列的求和【分析】通过记递增的等差数列an的公差为d（d0），利用a1，a2，a4成等比数列可知公差d=1，进而可知数列an是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论【解答】解：记递增的等差数列an的公差为d（d0），由a1=1可知，a2=1+d，a4=1+3d，又a1，a2，a4成等比数列，=a1a4，即（1+d）2=1+3d，整理得：d2=d，解得：d=1或d=0（舍），数列an是首项、公差均为1的等差数列，an=n，数列a4n+4是首
14、项为4、公差为4的等差数列，a4+a8+a12+a4n+4=4（n+1）+4=2n2+6n+4，故答案为：n，2n2+6n+412已知不等式组表示的平面区域为D若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是【考点】简单线性规划的应用【分析】画出满足约束条件不等式组的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可【解答】解：满足约束条件不等式组的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（1，0）所以当y=a（x+1）过点B，由，解得A（3，3），得到3=a（3+1），解得a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有
15、公共点所以 0a故答案为：13已知圆C：（x3）2+（y5）2=5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P若A恰为PB的中点，则直线l的方程为2xy1=0或2x+y11=0【考点】直线与圆相交的性质【分析】由题意可设直线L的方程为y5=k（x3），P（0，53k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆的方程，然后由方程的根与系数关系可得，x1+x2，x1x2，由A为PB的中点可得x2=2x1，联立可求x1，x2，进而可求k，即可求解直线方程【解答】解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y5=k（x3）令x=0可得y=53k，即P（0，53k），
16、设A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x26（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=A为PB的中点x2=2x1把代入可得x2=4，x1=2，x1x2=8k=2直线l的方程为y5=2（x3），即2xy1=0或2x+y11=0故答案为：2xy1=0或2x+y11=014甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获
17、胜如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是1，2，3，4【考点】进行简单的合情推理【分析】由条件每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数，可知除去先开始的个数，使得后来两人之和为8的倍数即可【解答】解：至少拿1个，至多拿7个，两人每轮总和完全可控制的只有8个，把零头取掉后，剩下的就是8的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走8个，即先取4个，以后每次如果乙报a，甲报8a即可，保证每一轮两人报的和为8即可，最终只能甲抢到100故先开始甲应取4个故答案为：1，2，3，4三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数
18、（0）的最小正周期为（）求的值；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法【分析】（）由三角函数公式化简可得f（x）=，由周期公式解方程可得=1；（）由（）可知，由和三角函数区间的最值可得【解答】解：（）由三角函数公式化简可得：f（x）=f（x）的最小正周期为，解方程可得=1；（）由（）可知，当，即时，f（x）取得最大值是；当，即时，f（x）取得最小值是f（x）在区间的最大值为，最小值为16已知数列an的前n项和，nN*（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）由数列的求和公式，通过当n2时，
19、an=snsn1，验证n=1时，数列的通项公式是否满足所求结果，即可求解数列an的通项公式（）由（）可求出bn，当n为偶数时，当n为奇数时，分别求出数列的和即可【解答】（本小题满分13分）解：（）由，当n2时，当n=1时，a1=S1=1，而413=1，所以数列an的通项公式an=4n3，nN*（）由（）可得，当n为偶数时，当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1bn+1=2（n+1）（4n+1）=2n+1综上， 17某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查调查结果如表：阅读名著的本数12345男生人数31213女生人数13312（）试根据上述数据，
20、求这个班级女生阅读名著的平均本数；（）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（）试判断该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）（注：方差，其中为x1x2，xn的平均数）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）根据数表中的数据，求出女生阅读名著的平均本数即可；（）利用列举法计算基本事件数，即可求出对应的概率值；（ III）利用公式分别求出男生、女生阅读名著本数的平均数与方差即可【解答】解：（）女生阅读名著的平均本数为本；（）设事件A=从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人，男生阅读5本名著的3人分
21、别记为a1，a2，a3，女生阅读5本名著的2人分别记为b1，b2；从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：a1，a2，a1，a3，a2，a3，b1，b2，a1，b1，a1，b2，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2；其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：a1，b1，a1，b2，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2；则；（ III）男生阅读名著本数的平均数是=（13+21+32+41+53）=3，方差是=3（2）2+（1）2+202+12+322=2.6；女生阅读名著本数的平均数是=3，方差=（2）2+3（1）2+302+12+222=1.6；所以18
22、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，BAC=90，AB=AC=2，M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点（）求证：平面APM平面BB1C1C；（）若P为线段BB1的中点，求证：A1N平面APM；（）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）由已知推导出AMBC，BB1底面ABC，BB1AM，从而AM平面BB1C1C，由此能证明平面APM平面BB1C1C（）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C，则四边形A1AMD为平行四边形，从而A1DAM，进而A
23、1D平面APM；进一步推导出DNB1C，MPB1C，则DNMP，从而DN平面APM，进而平面A1DN平面APM，由此能证明A1N平面APM（）假设BC1与平面APM垂直，则BC1PM设PB=x，推导出，从而得到直线BC1与平面APM不能垂直【解答】（本小题满分14分）证明：（）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AMBC又因为BB1AA1，且AA1底面ABC，所以BB1底面ABC因为AM底面ABC，所以BB1AM，又BB1BC=B，所以AM平面BB1C1C又因为AM平面APM，所以平面APM平面BB1C1C （）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C由于D，M分别为C1B1，CB
24、的中点，所以DMA1A，且DM=A1A则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1DAM又A1D平面APM，AM平面APM，所以A1D平面APM由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DNB1C又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MPB1C则DNMP又DN平面APM，MP平面APM，所以DN平面APM由于A1DDN=D，所以平面A1DN平面APM由于A1N平面A1DN，所以A1N平面APM10分解：（）假设BC1与平面APM垂直，由PM平面APM，则BC1PM设PB=x，当BC1PM时，BPM=B1C1B，所以RtB1C1B，所以由已知，所以，得由于，因此直线BC1与平面APM不能垂直 19
25、已知椭圆C：的焦点分别为F1，F2（）求以线段F1，F2为直径的圆的方程；（）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N在x轴上是否存在点Q，使得PQM+PQN=180？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程【分析】（ I）c2=2然后求解以线段F1F2为直径的圆的方程（ II）若存在点Q（m，0），直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2等价于k1+k2=0设直线l的方程为y=k（x4）与椭圆方程联立，利用0求出设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，通过，求出m=1说明存在点Q（1，0），使得PQM+PQN
26、=180【解答】（本小题满分13分）解：（ I）因为a2=4，b2=2，所以c2=2所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2（ II）若存在点Q（m，0），使得PQM+PQN=180，则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2等价于k1+k2=0依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x4）由，得（2k2+1）x216k2x+32k24=0因为直线l与椭圆C有两个交点，所以0即（16k2）24（2k2+1）（32k24）0，解得设M（x1，y1），N（x2，y2），则，y1=k（x14），y2=k（x24）令，（x1m）y2+（x2m）y1=0，（x1m）k（x24）
27、+（x2m）k（x14）=0，当k0时，2x1x2（m+4）（x1+x2）+8m=0，所以，化简得，所以m=1当k=0时，也成立所以存在点Q（1，0），使得PQM+PQN=18020已知函数（kR）（）若k=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）设k0，若函数f（x）在区间上存在极值点，求k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）k=1，求出函数f（x）的定义域，函数的导数，求出曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线的斜率，然后求解切线的方程（）求出函数f（x）的定义域为x|xk，导函数，（1）当k0时，
28、求出令f（x）0，令f（x）0，求出函数的单调区间即可（2）当k=0时，当k=2时，当2k0时，分别求出函数的单调区间（3）当k2时，此时令f（x）0，令f（x）0，求解函数的单调区间即可（）（1）当2k0时，说明函数不存在极值点；（2）当k2时，利用函数f（x）在区间上存在极值点，推出，得到4k3即可说明结果【解答】解：（）若k=1，函数f（x）的定义域为x|x1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线的斜率为f（0）=3而f（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线的方程为y=3x+1（）函数f（x）的定义域为x|xk，（1）当k0时，由xk，且此时，可得令f（x）0，解得
29、或，函数f（x）为减函数；令f（x）0，解得，但xk，所以当，时，函数f（x）也为增函数所以函数f（x）的单调减区间为，单调增区间为，（2）当k=0时，函数f（x）的单调减区间为（，0），（0，+）当k=2时，函数f（x）的单调减区间为（，2），（2，+）当2k0时，由2k+k20，所以函数f（x）的单调减区间为（，k），（k，+）即当2k0时，函数f（x）的单调减区间为（，k），（k，+）（3）当k2时，此时令f（x）0，解得或，但xk，所以当xk，时，函数f（x）为减函数；令f（x）0，解得，函数f（x）为增函数所以函数f（x）的单调减区间为（，k），函数f（x）的单调增区间为 （）（1）当2k0时，由（）问可知，函数f（x）在（，2）上为减函数，所以不存在极值点；（2）当k2时，由（）可知，f（x）在上为增函数，在上为减函数若函数f（x）在区间上存在极值点，则，解得4k3或1k2，所以4k3综上所述，当4k3时，函数f（x）在区间上存在极值点2016年8月1日高考资源网版权所有，侵权必究！
