1、第2课时均值不等式的应用学 习 任 务核 心 素 养1熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题(重点) 2会用均值不等式求解实际应用题(难点)1通过均值不等式求最值，提升数学运算素养2借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题实例中两个问题的实质是什么？如何求解？知识点重要结论已知x，y都是正数(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.上述
2、命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值()(2)若a0，b0且ab4，则ab4.()(3)当x1时，函数yx2，所以函数y的最小值是2.()答案(1)(2)(3)提示(1)由ab2可知正确(2)由ab4可知正确(3)不是常数，故错误2.已知a，bR，则“ab0”是“2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Bab0时，0，0，2，当且仅当ab时取等号，故充分性不成立反之，2，20，0，ab0，“ab0”是“2”的必要不充分条件3.设x，yN*满足xy20，则x
3、y的最大值为_100x，yN*，20xy2，xy100. 类型1利用均值不等式求最值直接利用均值不等式求最值【例1】(1)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82(2)当x1时，的最小值为_(1)C(2)8(1)因为x0，y0，所以，即xy81，当且仅当xy9时，(xy)max81(2)令t(x1)2，因为x10，所以t228，当且仅当x1，即x4时，t的最小值为8.利用均值不等式求最值时要注意(1)x，y一定要都是正数(2)求积xy最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号是否能够成立1已知a0，b0，则2的最小值是()A2
4、B2C4D5C因为a0，b0，所以22244，当且仅当即ab1时，等号成立2已知a0，b0，ab4，mb，na，求mn的最小值解因为mb，na，所以mnba.由ab4，那么b，所以baa25，当且仅当，即a2时取等号所以mn的最小值是5.间接利用均值不等式求最值【例2】(1)已知x0，则3x的最大值为_(2)已知x2，求x的最小值(3)已知0x，求x(12x)的最大值思路点拨(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值(2)(3)先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值(1)12因为x0，所以x0.则3x212，当且仅当3x，即x2时，3x取得最大值为12.(2)解因为x2，所以x20，
5、所以xx22224，所以当且仅当x2(x2)，即x3时，x的最小值为4.(3)解因为0x，所以12x0，所以x(12x)2x(12x)，所以当且仅当2x12x，即x时，x(12x)的最大值为.(1)若把本例(1)改为：已知x，试求4x2的最大值(2)已知x0，求2x的最大值解(1)因为x，所以4x50,54x0.所以4x533231当且仅当54x时等号成立，又54x0，所以54x1，即x1时，4x2的最大值是1(2)因为x0，所以x4，所以2x2242，所以当且仅当x(x0)，即x2时，2x的最大值是2.通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键
6、，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提 类型2利用均值不等式求条件最值【例3】已知x0，y0，且满足1求x2y的最小值解x0，y0，1，x2y(x2y)1010218，当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，(x2y)min18.若把“1”改为“x2y1”，其他条件不变，求的最小值解x0，y0，且x2y1，(x2y)821010218.当且仅当时取等号，结合x2y1，得x，y，当x，y时，取到最小值18.常数代
7、换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)(2)把确定的定值(常数)变形为1(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(4)利用均值不等式求最值3已知a0，b0，a2b1，求的最小值解法一：1(a2b)1233232，当且仅当即时等号成立的最小值为32.法二：12332，当且仅当即时等号成立，的最小值为32. 类型3利用均值不等式解决实际问题【例4】(对接教材P74例3)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋网材料
8、，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即Smax，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyyy(6y)0y0.S.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大用均值不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，设好变量(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最
9、大值或最小值问题(3)在自变量范围内，求出最大值或最小值(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题4某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？解设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.每平方米的平均综合费用y56048x56048.当x取最小值时，y有最小值x0，x230.当且仅当x，即x15时，上式等号成立当x15时，y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用
10、最少.1若正实数a，b满足ab2，则ab的最大值为()A1B2C2D4A由均值不等式得，ab1，当且仅当ab1时取到等号2已知0x1，则x(33x)取最大值时x的值为()ABCDA0x0，则x(33x)3x(1x)3，当且仅当x1x，即x时取等号3(多选题)已知a0，b0，ab2，则对于()A取得最值时aB最大值是5C取得最值时bD最小值是AD因为ab2，所以22，当且仅当且ab2，即a，b时，等号成立4某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为_x用两种方法求出第三年的产量分别为A(1a)(1b)，A(1x)2，则有(1
11、x)2(1a)(1b)1x1，x.当且仅当ab时等号成立5已知a1，当a_时，代数式a有最小值1a1，a10，0，aa112121，当且仅当a1时，等号成立即a1或a1(舍)时，代数式a有最小值a1.回顾本节知识，自我完成以下问题：,利用均值不等式求最值有哪些技巧？提示利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.(1)拆裂项拆项,对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件.,2)并分组并项,目的是分组后各组可以单独应用均值不等式；或分组后先对一组应用均值
12、不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值.(3)配配式配系数,有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.均值不等式的常见变形与拓展1均值不等式的变形由公式a2b22ab和可得出以下变形不等式：(1)2(a，b同号)，当且仅当ab时等号成立，2(a，b异号)，当且仅当ab时等号成立特别地，a2(a0)，当且仅当a1时等号成立；a2(a0)，当且仅当a1时等号成立(2)(ab)4(ab0)，当且仅当ab时等号成立(3)(a，b(0，)，当且仅当ab时等号成立其
13、中为a，b的调和平均值，为a，b的平方平均值此不等式链又常以ab(a，bR)的形式出现灵活运用上述变形不等式解决问题的关键在于要有这种“变形”的思想和意识，而不是死记这些变形不等式事实上，均值不等式的变形不等式还不止上述这几种情况，上面的变形不等式只不过给我们提供了变形的思路、方法和技巧，例如，还可以变形为(ab)24ab，b2a(b0)等上述(3)的几何意义如图所示其中，对CF，DE的证明如下：在RtOCF中，OCb，OF，CF2OC2OF2，CF.CDEODC，DC2DEOD，即DE.2均值不等式的拓展(1)三元均值不等式当且仅当abc时，等号成立证明：设d为正数，由二元基本不等式，得，当且仅当abcd时，等号成立令d，即abc3d，代入上述不等式，得d，由此推出d3abc，因此，当且仅当abc时等号成立(2)n元均值不等式(a1，a2，an0)，当且仅当a1a2an时，等号成立已知a，b，c均为正实数，求证：(abc)9.证明a，b，c均为正实数，abc30，30，(abc)339.
