1、第3讲 平面向量的数量积及应用 第四章 平面向量考纲解读 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系(重点)2掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容预测 2021 年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中1 基础知识过关 PART ONE 1.两个向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量 a 和 b，
2、作OA a，OB b，则 01_就是a与b的夹角设 是 a 与 b 的夹角，则 的取值范围是 02 _0 或 03 _，04 _ abAOB0，ab22.平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量 01 _叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab投影02 _叫做向量 a 在 b 方向上的投影，03 _叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 04 _的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos3.平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角，则(1)
3、eaae|a|cos.(2)ab 01 _.(3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|.特别地，aa 02 _或|a|03 _.(4)cos ab|a|b|.(5)|ab|04 _.ab0|a|2aa|a|b|4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab 01 _；(2)(a)b 02 _ 03 _(为实数)；(3)(ab)c 04 _.ba(ab)a(b)acbc5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 01 _，由此得到：(1)若 a(x，y)，则|a|2 02 _或|a|03 _；(2)设 A(x1，y
4、1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|AB|04_；(3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 05_；(4)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是 a 与 b 的夹角，则 cosx1x2y1y2x21y21 x22y22.x1x2y1y2x2y2x2y2x2x12y2y12x1x2y1y201.概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(2)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(3)由 ab0 可得 a0 或 b0.()(4)(ab
5、)ca(bc)()(5)若 abbc(b0)，则 ac.()答案(1)(2)(3)(4)(5)答案2.小题热身(1)(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A.4 B3 C2 D0解析 因为 a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.所以选 B.答案解析(2)已知平面向量 a，b 的夹角为6，|a|4，|b|3，则|ab|_.解析|ab|2(ab)2a2b22ab16324 3cos67，|ab|7.解析7(3)设向量 a，b 满足：|a|1，|b|2，a(ab)，则 a 与 b 的夹角是_解析 设 a 与 b 的夹角为，因为 a(ab)，所以 a(a
6、b)0，故|a|2|a|b|cos0，解得 cos12，故 a 与 b 的夹角为 60.解析60(4)向量 a(3,4)在向量 b(1，1)方向上的投影为_解析|a|cosab|b|31412 22.解析 222 经典题型冲关 PART TWO 1.已知ABC 的三边长均为 1，且ABc，BCa，CAb，则 abbcac()A.3 B3 C.32D32题型一 平面向量数量积的运算解析 根据题意 abbcac11cos12012.故 abbcac32.答案解析2.(2019安徽省江南十校联考)已知边长为 1 的菱形 ABCD，BAD60，点 E 满足BE2EC，则AEBD 的值是()A.13B1
7、2C14D16答案解析 解法一：如图 1，由BE2EC知BE23BC23AD，所以AEABBEAB23AD，BD AD AB.依题意知ABAD|AB|AD|cosBAD12，故AEBD AB23AD(AD AB)ABAD 23AD 2AB 223ABAD 23AD 2AB 213ABAD 231131216.故选 D.解析解法二：如图 2，以点 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 x 轴，过点 A且与 AD 垂直的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 D(1,0)，B12，32，C32，32.又BE2EC，则 E76，32，所以AE76，32，BD 12，32，所以AEBD 7123416.
8、故选 D.解析计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即 ab|a|b|cos(是 a 与 b 的夹角)(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解如举例说明 2 的解法一(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解如举例说明 2 解法二1.已知 RtABC，点 D 为斜边 BC 的中点，|AB|6 3，|AC|6，AE12ED，则AEEB等于()A.14 B9 C9 D14答案解析 如图，以点 A 为原点，分别以边 AC，AB 所在直线为 x 轴、y轴，建立平
9、面直角坐标系，则 A(0,0)，B(0,6 3)，C(6,0)，D(3,3 3)AE12ED，AE13AD 13(3,3 3)(1，3)，E(1，3)，EB(1,5 3)，AEEB11514.故选 D.解析2.(2019上饶模拟)设 D，E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 BC2，则AD AE等于()A.49B.89C.269D.263答案解析 如图，|AB|AC|2，AB，AC60，D，E 是边 BC 的两个三等分点，AD AEAB13BC AC13CB 23AB13AC 13AB23AC 29|AB|259ABAC29|AC|2294592212294269.解析角度
10、 1 平面向量的模1.(2019全国卷)已知向量 a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A.2B2 C5 2D50解析 ab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|1212 2.故选A.答案解析题型二 平面向量数量积的性质 2.已知|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为23，且 abc0，则|c|_.解析 因为 abc0，所以 cab，所以 c2a2b22ab2232223cos234967.所以|c|7.解析7角度 2 平面向量的夹角3.(2019全国卷)已知向量 a(2,2)，b(8,6)，则 cosa，b_.解析 a(2,2)，b(8,6)，ab2(8)264，|a|22222 2
11、，|b|826210.cosa，b ab|a|b|42 210 210.解析 2104.已知向量 a(，6)，b(1,2)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_.解析 向量 a 与 b 的夹角为钝角，ab(，6)(1,2)1212.当 a 与 b 共线时，设 akb(k0)，可得k，62k，解得3，k3，即当 3 时，向量 a 与 b 共线且反向，此时 ab0，但 a 与 b的夹角不是钝角综上，的取值范围是(12,3)(3，).解析(12,3)(3，)角度 3 平面向量的垂直5.(2019华南师大附中一模)已知向量|OA|3，|OB|2，BC(mn)OA(2nm1)OB，若OA 与
12、OB 的夹角为 60，且OC AB，则实数mn的值为()A.87B.43C.65D.16答案解析 由题意得，OC OB BC(mn)OA(2nm)OB，ABOB OA，OA OB 32cos603.又因为OC AB，所以OC AB(mn)OA(2nm)OB(OB OA)(mn)OA 2(2m3n)OA OB(2nm)OB 29(mn)3(2m3n)4(2nm)0，整理得 7m8n0，故mn87.解析1.求向量模的常用方法(1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式|a|x2y2.(2)若向量 a，b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2a2aa，或|
13、ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解如举例说明 2.2.求向量夹角的方法(1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角，需求出 ab 及|a|，|b|或得出它们之间的关系(2)若已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cosa，bx1x2y1y2x21y21 x22y22.如举例说明 3.3.解答向量垂直问题的两个策略(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可(2)根据两个向量垂直的充要条件 ab0，列出相应的关系式如举例说明 5.1.已
14、知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析 本题考查平面向量的数量积运算设向量 a 与 b 的夹角为，则由(ab)b，得(ab)babb2|a|b|cos|b|22|b|2cos|b|20，所以 cos12，所以 3，故选 B.答案解析2.(2018北京高考)设向量 a(1,0)，b(1，m)，若 a(mab)，则m_.解析 由已知，得 mab(m1，m)，又 a(mab)，所以 a(mab)1(m1)0(m)0，解得 m1.解析13.如图，已知两点 A，B 在单位圆上，yOB60，xOA30，则|2OA3OB|_.7解析 解法一：由
15、题意可得AOB120，|OA|OB|1，所以|2OA 3OB|OA 3OB 24OA 212OA OB 9OB 24|OA|212|OA|OB|cos1209|OB|2 7.解法二：易知 A32，12，B 32，12，所以OA 32，12，OB 32，12，所以 2OA 3OB 32，52，所以|2OA 3OB|322522 7.解析角度 1 向量在平面几何中的应用1.已知AB，AC是非零向量，且满足(AB2AC)AB，(AC2AB)AC，则ABC 的形状为()A.等腰三角形B直角三角形C.等边三角形D等腰直角三角形答案题型三 向量数量积的综合应用 解析(AB2AC)AB(AB2AC)AB0，
16、即ABAB2ACAB0，(AC2AB)AC(AC2AB)AC0，即ACAC2ABAC0，ABABACAC2ABAC，即|AB|AC|，则 cosA ABAC|AB|AC|12，A60，ABC 为等边三角形.解析角度 2 向量在解析几何中的应用2.已知ABBC0，|AB|1，|BC|2，AD DC 0，则|BD|的最大值为_解析 由ABBC0 可知，ABBC.故以 B 为坐标原点，分别以 BA，BC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得 B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)设 D(x，y)，则AD(x1，y)，DC(x,2y)解析5由AD DC 0，可得(x
17、1)(x)y(2y)0，整理得x122(y1)254.所以点 D 在以 E12，1 为圆心，半径 r 52 的圆上因为|BD|表示 B，D 两点间的距离，而|EB|12212 52.所以|BD|的最大值为|EB|r 52 52 5.解析角度 3 向量与三角函数的综合应用3.已知向量 a(sin，cos2sin)，b(1,2)(1)若 ab，求 sincos13cos2的值；(2)若|a|b|,0，求 的值解(1)因为 ab，所以 2sincos2sin，于是 4sincos；当 cos0 时，sin0，与 sin2cos21 矛盾，所以 cos0，故 tan14，所以 sincos13cos2
18、sincossin24cos2tantan24 465.解(2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25，即 14sincos4sin25，从而2sin22(1cos2)4，即 sin2cos21，于是 sin24 22，又由 0 知，4240，所以 23，选 A.解析4(2020青岛摸底)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|1，|b|2，若(ab)(2ab)，则 _；若(ab)(2ab)，则 _.解析 因为(ab)(2ab)，所以存在唯一实数 n，使得 abn(2ab)，所以 12n，n，解得 12.因为(ab)(2ab)，且向量 a，b 的夹角为 60，|a|1，|b|2，所以(
19、ab)(2ab)2a2(12)abb221240，解得 12.解析12125在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，P，Q 分别是 BC，BD的中点，如图，则向量AP与AQ 夹角的余弦值为_3 2114解析 以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，D(1，3)，所以 P52，32，Q32，32，所以AP52，32，AQ 32，32，所以 cosAP，AQ APAQ|AP|AQ|154 347 33 2114.解析6如图所示，半圆的直径 AB6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A，B的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PAPB)PC 的最小值为_92解析 因为PAPB2PO，所以(PAPB)PC 2PO PC 2|PO|PC|.又 因 为|PO|PC|32|PO|PC|，所 以|PO|PC|94当且仅当|PO|PC|32时等号成立.所以(PAPB)PC 2PO PC 2|PO|PC|92当且仅当|PO|PC|32时等号成立.解析本课结束
