1、第一讲测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.与极坐标-2,6不表示同一点的极坐标是()A.2,76B.2,-76C.-2,-116D.-2,136答案:B2.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的13,得到的曲线方程为()A.Fx2,3y=0B.F2x,y3=0C.F3x,y2=0D.Fx3,2y=0解析:设(x,y)经过伸缩变换变为(x,y),x=2x,y=13y,则x=12x,y=3y,代入F(x,y)=0得F12x,3y=0.答案:A3.将点(2,3
2、)变成点(3,2)的伸缩变换是()A.x=23xy=32yB.x=32xy=23yC.x=yy=xD.x=x+1y=y-1解析:设此变换为x=x(0),y=y(0),则=xx=32,=yy=23,所以所求的伸缩变换为x=32x,y=23y.答案:B4.在极坐标系中,点2,3到圆=2cos 的圆心的距离为()A.2B.4+29C.1+29D.3解析:圆=2cos 在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点2,3的直角坐标为(1,3).所以圆心(1,0)与点(1,3)之间的距离为d=(1-1)2+(3-0)2=3.答案:D5.在极坐标系中,圆=-2sin 的圆心的极坐标是()A.1,2B.1
3、,-2C.(1,0)D.(1,)解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心的直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为1,-2.答案:B6.在极坐标系中有如下三个结论:点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;tan=1(0)与=4(0)表示同一条曲线;=3与=-3表示同一条曲线.其中正确的是()A.B.C.D.解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故是错误的;tan=1不仅表示=4这条射线,还表示=54这条射线,故亦不对;=3与=-3差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故正确.
4、答案:D7.若曲线的极坐标方程为=4sin,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析:由直角坐标和极坐标的互化公式x=cos,y=sin,即2=x2+y2,tan=yx(x0)可得x2+y2=4y,整理得x2+(y-2)2=4.答案:B8.在极坐标系中,圆=2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.=0(R)和cos=2B.=2(R)和cos=2C.=2(R)和cos=1D.=0(R)和cos=1解析:由题意可知,圆=2cos可化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线
5、方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为=2(R)和cos=2,故选B.答案:B9.直角坐标为(3-3,3+3)的点的极坐标可能是()A.26,-512B.26,512C.-26,712D.26,712解析:因为=(3-3)2+(3+3)2=26(0),点(3-3,3+3)在第一象限,tan=3+33-3=1+331-33=tan512,所以点(3-3,3+3)的极坐标为26,512.答案:B10.已知点M的球坐标为1,3,6,则它的直角坐标为()A.1,3,6B.34,34,12C.34,34,12D.34,34,32解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),点M的球坐标
6、为1,3,6,x=sin3cos6=34,y=sin3sin6=34,z=cos3=12.点M的直角坐标为34,34,12.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.直线2cos=1与圆=2cos相交的弦长为.解析:直线2cos=1即为2x=1,圆=2cos即为(x-1)2+y2=1.将x=12代入(x-1)2+y2=1,得y=32.所以所求的弦长为3.答案:312.(2014陕西高考,文15C)在极坐标系中,点2,6到直线sin-6=1的距离是.解析:点2,6的直角坐标为2cos6,2sin6,即(3,1),又sin-6=1可化为32sin-12
7、cos=1,所以该直线的直角坐标方程为x-3y+2=0.由点到直线的距离公式,可得所求距离为d=|3-31+2|12+(-3)2=1.答案:113.在极坐标系中,曲线C1:(2cos+sin)=1与曲线C2:=a(a0)的一个交点在极轴上,则a=.解析:把曲线C1:(2cos+sin)=1化成直角坐标方程,得2x+y=1;把曲线C2:=a(a0)化成直角坐标方程,得x2+y2=a2.C1与C2的一个交点在极轴上,2x+y=1与x轴的交点22,0在C2上,即222+0=a2.又a0,a=22.答案:2214.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos=3,=4cos0,02,则曲线C1与C2交点
8、的极坐标为.解析:cos=3,=4cos,4cos2=3.2(1+cos 2)=3.cos 2=12.02,=6.代入得=23.C1与C2交点的极坐标为23,6.答案:23,615.在极坐标系中,由三条直线=0,=3,cos+sin=1围成图形的面积是.解析:因为三条直线=0,=3,cos+sin=1在直角坐标系下对应的直线方程分别为y=0,y=3x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B3-12,3-32,所以SAOB=123-321=3-34.答案:3-34三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)在同一平
9、面直角坐标系中,经过伸缩变换x=2x,y=2y后,曲线C变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.解:将x=2x,y=2y代入(x-5)2+(y+6)2=1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1,即x-522+(y+3)2=14,故曲线C是以52,-3为圆心,12为半径的圆.17.(15分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos-3=1,M,N分别为曲线C与x轴、y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解:(1)由cos-3=1,得12cos+32sin=1.从而C的直角坐标方程为12x+32y=1,即x+3y-2=0.当=0时,=2,所以点M的极坐标为(2,0);当=2时,=233,所以点N的极坐标为233,2.(2)因为点M的直角坐标为(2,0),点N的直角坐标为0,233,所以点P的直角坐标为1,33,则点P的极坐标为233,6.所以直线OP的极坐标方程为=6,(-,+).4
