1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-101 中学 2020-2021 高二上学期期中 一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项.1.在复平面内，复数1i 的共轭复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.【详解】复数1i 的共轭复数为1i，其对应的点1,1位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2.直线310 xy 的倾斜角的度数是（）A.30B.45C.60D.90【答案】A【解析】【分
2、析】由直线斜率与倾斜角的关系运算即可得解.【详解】由题意，直线310 xy 的斜率33k，设直线310 xy 的倾斜角为,0,180，则3tan3k，所以30.故选：A.3.点0,1 到直线1ykx 距离的最大值是（）A.1B.2C.3D.2高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-【答案】D【解析】【分析】由点到直线距离公式求得距离，然后由函数的知识得最大值【详解】由题意所求点到直线距离为220 1 1211dkk，211k，当且仅当0k 时等号成立，所以2dd最大值为 2 故选：D 4.直线 1:(2)(1)10laxa y 与 2:(1)(23)20laxay互相垂直，则实
3、数 a 的值是（）A.1 B.1 C.1 或1 D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】由两直线垂直的充要条件计算【详解】由题意(2)(1)(1)(23)0aaaa，解得1a 或 1 故选：C 5.已知向量(1,2)ax，(0,1,2)b，(1,0,0)c，若,a b c 共面，则 x=（）A.1 B.1 C.1 或1 D.1 或 0【答案】A【解析】【分析】由空间向量共面的性质运算即可得解.【详解】因为向量(1,2)ax，(0,1,2)b，(1,0,0)c，且,a b c 共面，所以 ambnc，即(1,2)(0,2)(,0,0)(,2)xmmnn mm，高考资源网（）您身边的高考专家 版权
4、所有高考资源网-3-所以122nmxm，所以1x .故选：A.6.如图，1111ABCDABC D是正方体，11111114B ED FA B，则1BE 与1DF 所成角余弦值是（）A.1517B.12C.817D.32【答案】A【解析】【分析】通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.【详解】过点 A 在平面11ABB A 内作1/AFDF，再过点1E 在平面11ABB A 内作1/E EAF，如图，则1BE E或其补角即为1BE 与1DF 所成的角，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-因为1111ABCDABC D是正方体，不妨设111111141B ED
5、 FA B，则122BEAB，1124117BEEE，所以在1EBE中，2221111117 17415cos21721717BEE EBEBE EBE E E.故选：A.7.如图，在正方体1111ABCDABC D中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）A.3 个B.4 个 C.5 个D.6 个【答案】B【解析】【详解】如图,取底面 ABCD 的中心 O,连接 PA,PC,PO.AC平面 DD1B,又 PO平面 DD1B,ACPO.又 O 是 AC 的中点,高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-PA=PC.同理,取 B1C 与 BC1 的交点
6、H,易证 B1C平面 D1C1B,B1CPH.又 H 是 B1C 的中点,PB1=PCPA=PB1=PC.同理可证 PA1=PC1=PD.又 P 是 BD1 的三等分点,PBPD1PB1PD,故点 P 到正方体的顶点的不同距离有 4 个.8.设复数 z 满足1 i2z ，则 z 的最大值为（）A.2B.2C.2 2D.4【答案】C【解析】【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数 z 对应复平面上的点是以1,1 为圆心，2 为半径的圆，故 z 的最大值即为圆的直径2 2 故选C 【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.9.通过求两个向量的
7、夹角，可以求两条直线的夹角.已知12:2330:210lxylxy ，则 12,l l 夹角的余弦值是（）A.6565B.4 6565C.7 6565D.8 6565【答案】A【解析】【分析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-在直线上各取两个点，表示出向量，由cos,a ba ba b即可得解.【详解】在直线 1:2330lxy上取两点：0,1，3,02，设3,12a，在直线 2:210lxy 上取两点：0,1，1,02，设1,12b，因为1654cos,6513544a ba bab，所以 12,l l 夹角的余弦值是6565.故选：A.10.已知1122(,),(,)
8、A x yB x y是不同的两点，点(cos,sin)C，且11,33OA OCOB OC，则直线 AB 与圆221xy 的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能【答案】C【解析】【分析】根据题意，可知直线 BC 与OC 垂直，且点 O 到直线 AB 的距离为 13，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系.【详解】因为(cos,sin)C，所以点 C 在圆221xy 上，根据圆的对称性，可知 C 点取圆上的任意点都可以，不妨设(1,0)C，因为11,33OA OCOB OC，所以,OA OB 在OC 上的投影均为 13，如图所示：高考资源网（）您身边的高考专家 版权所
9、有高考资源网-7-所以有直线 AB 与OC 垂直，且O 到直线 AB 的距离为 113，所以直线 AB 与圆221xy 的位置关系是相交，故选：C.【点睛】思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意：（1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系；（2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.二填空题 11.若复数212izi，则 z _【答案】1.【解析】【详解】分析：由复数的除法运算得 zi ，进而1z .详解：由21 2224212121 214iiiiiziiii .1z .故答案为 1.点睛：本题主要考查了复数的除法
10、运算及复数模的概念，属于基础题.12.已知四边形 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则顶点D 的坐标为_【答案】(5,13,3)【解析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为 BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O，设 D(x，y，z)，则 7251,4,12222xyz x5，y13，z3，故 D(5,13，3)13.已知圆()()22:124Cxy-+-=与直线:(1),l yk x则圆心C 的坐标为_，若圆C 关于直线l 对称，则 k _.【答案】(1).1,2(
11、2).1【解析】【分析】由圆的标准方程直接定点圆心坐标，根据圆C 关于直线l 对称，由圆心在直线上求解.【详解】因为圆()()22:124Cxy-+-=，所以求圆心坐标为：1,2；因为圆C 关于直线l 对称，所以圆心在直线上，即2(1 1)k，解得 k 1故答案为：1,2；114.直线:2l ykx与圆 O:221xy 相交于,A B 两点，当 AOB的面积达到最大时，k _【答案】3【解析】【分析】由三角形面积公式可得当2AOB时，AOB 的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解.【详解】由圆22:1O xy 可得圆心坐标为0,0O,半径1r ，将直线的方程化为:20l kxy，高
12、考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-因为11sinsin22AOBSOA OBAOBAOB，所以当sin1AOB 即2AOB时，AOB 的面积达到最大，此时圆心0,0O到直线 AB 的距离22222211dkk=+，解得3k .故答案为：3.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角形面积公式转化面积最值为圆心到弦的距离，细心计算即可得解.15.在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是侧面11B C CB 内（不包含边界）的一个动点，且1,APD B点 H 在棱1D D 上运动，则二面角 HACP的余弦值的取值范围是_.【答案】3 1,33【解析】【分析】由线面垂直
13、的判定与性质可得平面 ACP 即为平面1ABC，连接1BO，HO，由二面角的概念可得1BOH即为二面角 HACP的平面角，求出二面角余弦值的最值即可得解.【详解】连接 AC，BD 交于点O，连接1AB，1CB，如图，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-在正方体1111ABCDABC D中，AC 平面1BDD，所以1ACBD，同理11ABBD，所以1BD 平面1ABC，所以点 P 在线段1BC 上（不含端点），所以平面 ACP 即为平面1ABC，连接1BO，HO，HA，HC，则1BOAC，HOAC，所以1BOH即为二面角 HACP的平面角，当 H 与点1D 重合时，1BOH
14、最小，连接111,D O D B，设正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，则112D B，1162D OB O，所以22211111111123B OODB DB ODB O OD；当 H 与点 D 重合时，1BOH最大，111232coscos362BOB ODB OBOB ；所以二面角 HACP的余弦值的取值范围是3 1,33.故答案为：3 1,33.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键首先是找到点 P 的轨迹，再由二面角的概念确定平面高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-角，求出临界值即可得解.三.解答题 16.已知复数1(zi i 是虚数单位）.（1）求2zz
15、；（2）如图，复数1z，2z 在复平面上的对应点分别是 A，B，求12zzz.【答案】（1）1 i ；（2）15 i22.【解析】【分析】（1）把1zi 代入2zz，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得1z，2z，代入12zzz，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：（1）1zi ，222(1)(1)1 211zziiiiii ；（2）12zi，22zi，122223(23)(1)1511(1)(1)22zziiiiiiziiii.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.17.已知圆C 的圆心在 y 轴上，且过0,0，0
16、,2 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与圆2221D xyr：有公共点，求 r 的取值范围.【答案】（1）2211xy；（2）2121r .高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-【解析】【分析】（1）设0,Cb，由圆经过点0,0，0,2 列方程，求得圆心和半径后即可得解；（2）由圆与圆的位置关系可得 121rCDr，解不等式即可得解.【详解】（1）由题意，设0,Cb，由圆C 过0,0，0,2 两点可得222bb，解得1b ，所以0,1C，圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为2211xy；（2）由题意，圆2221D xyr：的圆心为1,0D，半径为r，因为圆C 与圆
17、 D 有公共点，所以 121rCDr，即 1212rr，解得2121r .18.在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为直角梯形，/BC AD，90ADC.112BCCDAD，E 为线段 AD 的中点，PE 底面 ABCD，且6PE.点 F 是棱 PC 中点，平面 BEF 与棱 PD 相交于点G.（1）求证：/BE FG;（2）求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值；（3）设 H 为 PB 中点，DH 平面 BEFM，求 BM 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）67；（3）113.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-【解析】【分析】（1）首先证明四边形 BCD
18、E 为平行四边形，得到/BE CD，进而可得/BE平面 PDC，最后由线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出 PB 及平面 BEF 的一个法向量n 后，由sincos,PB n 即可得解；（3）连接 DH，BG，BD，转化条件为点 M 是PBD的重心，即可得解.【详解】（1）证明：因为 E 为 AD 中点，且12BCAD，所以 DEBC，又因为/AD BC，所以/DE BC，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以/BE CD，因为 BE 平面 PDC，CD 平面 PDC，所以/BE平面 PDC 因为 BE 平面 BEGF，平面 BEGF 平面 PDCFG，所以/BE FG；（
19、2）由（1）可得/BE CD，因为90ADC，所以90AEB，且 PE 平面 ABCD，所以以 E 为原点，EA 为 x 轴，EB 为 y 轴，EP 为 z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)E，(0,0,6)P，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C，1 16,2 22F，则0,1,6PB，0,1,0EB，116,222BF，设平面 BEF 的一个法向量,nx y z，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-则01160222n EByn BFxyz ，令6z，则6,0,6n，设直线 PB 与平面 BEF 所成角为，则|66sincos,7|742P
20、B nPB nPB n；（3）连接 DH，BG，BD，如图，因为 DH 平面 BEFM，所以 DHBGM，由（1）得/BE FG CD，所以G 为 PD 的中点，所以点 M 是PBD的重心，23BMBG，由（2）得(0,1,0)B，16,0,22G，所以13111422BG ，所以21133BMBG.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系的转化、空间向量的应用，细心计算即可得解.19.已知圆22:21M xy，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点.（1）若1,0Q，求切线QA，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若2413AB，求直
21、线 MQ 的方程.【答案】（1）1x ，3430 xy；（2）3；（3）10 69269yx 或10 69269yx.【解析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-15-分析】（1）由直线与圆相切的性质即可得解；（2）转化条件为 S 21MQ ，求得 MQ 的最小值即可得解；（3）设,0MQx x，由切线长定理及勾股定理可得22251211313xx，即可得解.【详解】（1）圆22:21M xy 的圆心为0,2，半径为 1，当过Q 的直线斜率不存在时，直线方程为1x ，与圆相切，符合题意；当过Q 的直线斜率存在时，设切线方程为1yk x，即kxyk0，圆心0,2 到切线的距离22
22、11kdk，解得34k ，切线方程为3430 xy；综上，切线QA，QB 的方程分别为1x ，3430 xy；（2）由题意，四边形QAMB 面积2MAQSS212112MQ 21MQ，当 MQx轴时，MQ 取得最小值2，四边形QAMB 面积的最小值为2213；（3）由题意，圆心 M 到弦 AB 的距离为212511313，设,0MQx x，则221QAx，又 ABMQ，22251211313xx，解得135x，69,05Q或69,05Q，直线 MQ 的方程为10 69269yx 或10 69269yx【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用直线与圆相切的性质转化条件.高考资源网（）您身边的高考
23、专家 版权所有高考资源网-16-20.已知集合12,|,1,2,1nniRx xxxR inn，定义nR 上两点12,nA a aa，12,nB b bb的距离 1,niiid A Bab.（1）当2n 时，以下命题正确的有_（不需证明）：若 1,2A，4,6B，则,7d A B；在 ABC 中，若90C，则222,d A Cd C Bd A B；在 ABC 中，若,d A Bd A C，则BC;（2）当2n 时，证明2R 中任意三点 ABC，满足关系,d A Bd A Cd C B；（3）当3n 时，设 0,0,0A，4,4,4B，,P x y z，其中 xyzZ，,d A Pd P Bd
24、A B.求满足 P 点的个数n，并证明从这n 个点中任取 11 个点，其中必存在 4 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于 83.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）125n，证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；由新定义写出等式,d A Bd A C的表达式，观察有无 ABAC；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得 P 点是以 AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共 125 个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z 上，这五个面
25、一个面取 3 个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过 83，然后任取 11 点中如果没有 4 点共面，但至少有一个平面内有 3 个点根据这 3 点所在平面分类讨论可得【详解】（1）当2n 时，若 1,2A，4,6B，则,4 1627d A B ，正确；在 ABC 中，若90C，则222ACBCAB，设112233(,),(,),(,)A x yB x yC x y，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-17-所以222222131323231212()()()()()()xxyyxxyyxxyy 而2221212121221212()()()
26、2),(xxyyxxyyd AxBxyy，22,d A Cd C B22221313232313132323()()()()2()()2()()xxyyxxyyxxyyxxyy，但1313232312122()()2()()2()()xxyyxxyyxxyy不一定成立，错误；在 ABC 中，若,d A Bd A C，在中的点坐标，有12121313xxyyxxyy，但1212131322xxyyxxyy不一定成立，因此 ABAC不一定成立，从而BC 不一定成立，错误 空格处填（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x yB x yC x y，根据绝对值的性质有 132312xxxx
27、xx，132312yyyyyy，所以(,)(,)(,)d A Cd B Cd A B,（3）(,)12d A B，44,44,44xxyyzz，所以(,)(,)12d A Pd B P，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A Pd B P 又由已知,d A Pd P Bd A B，04,04,04xyz，又,x y zZ，,0,1,2,3,4x y z，5 5 5125，点 P 是以 AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共 125 个，125n 这 125 个点0,1,2,3,4zzzzz这五面内 这三个平面内，一个面上取不共线的 3 点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥
28、则这个三棱锥的体积最大为1184 4 1323V ，现在任取 11 个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无 4 点共面，但 11 个点分在 5 个平面上至少有一个平面内有 3 个点（显然不共线），高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-18-若这三点在1,2,3zzz这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过 83，否则还有 8个点在平面0z 和4z 上，不合题意，若这三个点在平面0z 或5z 上，不妨设在平面0z，若在平面1z 在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过 83，否则剩下的 8 个点在2,3,4zzz三个平面上，只能是 3，3，2 分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过 83，综上，任取 11 个点，其中必存在 4 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于 83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题本题还考查了抽屉原理，11 个放在 5 个平面上，至少有一个平面内至少有 3 点，由此分类讨论可证明结论成立
