1、1.1 集 合1.1.1 集合的含义与表示第 1 课时 集合的含义目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自 主 预 习1.元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.2.元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母 a，b，c，表示集合中的元素.(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母 A，B，C
2、，表示集合.3.元素与集合的关系(1)“属于”：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA.(2)“不属于”：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA.4.常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 NZQR温馨提示：注意正整数集比自然数集中少一个元素“0”.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在 120 分以上的同学组成一个集合.()(2)一个集合可以表示成a，a，b，c，.()(3)若集合 A 是由元素 1，2，3，4，5，6 所组
3、成的集合，则1 和 0 都不是集合A 中的元素.()提示(1)“120 分以上”是明确的标准，所以“120 分以上的同学”能组成集合.正确.(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中 A 只有元素 1，2，3，4，5，6，没有1 和 0.正确.答案(1)(2)(3)2.下列各组对象：高中数学中所有难题；所有偶数；平面上到定点 O 距离等于 5 的点的全体；全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析、中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.答案 B3.下列关系正确的是()0N
4、；2Q；12R；2Z.A.B.C.D.解析 正确，0 是自然数，0N；不正确，2是无理数，2Q；不正确，12是实数，12R；不正确，2 是整数，2Z.答案 D4.若 1A，且集合 A 与集合 B 相等，则 1_B(填“”“”).解析 集合 A 与集合 B 相等，则 A、B 两集合的元素完全相同，又 1A，故 1B.答案 类型一 集合的含义【例 1】下列各组对象不能组成集合的是()A.著名的中国数学家B.北京四中 2015 级新生C.全体奇数D.2016 年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为 B，C，D 中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而
5、 A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合.答案 A规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练 1】判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修 1 课本中所有的难题；(2)本班 16 岁以下的同学；(3)方程 x240 在实数范围内的解；(4)2的近似值的全体.解(1)中难题的标准不确
6、定，不能组成集合.(2)本班 16 岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.(3)方程 x240 在实数范围内的解有两个，即2，故能组成一个集合.(4)“2的近似值”不明确精确到哪一位，因此很难判定一个数(比如 2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合.类型二 元素与集合的关系【例 2】(1)(2016泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是()R；3Q；0N*；|4|N*.A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2016连云港高一检测)集中 A 中的元素 x 满足 63xN，xN，则集合 A 中的元素为_.解析(1)由 R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，正确，不正确.(2
7、)由 63xN，则 6 是 3x 的正整数倍，所以 3x1，2，3，6.又 xN，x0，1，2.答案(1)C(2)0，1，2规律方法(1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“”与“”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：直接法(当集合中元素直接给出时)，推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.【训练 2】设不等式 2x30 的解集为 M，下列表示正确的是()A.0M，2MB.0M，2MC.0M，2MD.0M，2M解
8、析 因为 20330.所以 2 是不等式 2x30 的解集中元素，2M.答案 B类型三 集合中元素的特性及应用(互动探究)【例 3】已知集合 A 中含有两个元素 a1，a21，且 0A，则实数 a 的值为_.思路探究探究点一 a1，a21 是 A 中的两个元素，揭示二者满足什么关系？提示 根据集合元素的互异性，a1a21.探究点二 0A，与 A 中的两元素 a1，a21 间有什么关系？提示 根据元素与集合间的从属关系，应有 a10 或 a210.解 因为 0A，所以 0a1 或 0a21.当 0a1 时，a1，此时 a210，A 中元素重复，不符合题意.当 a210 时，a1，a1(舍)，所以
9、 a1.此时，A2，0，符合题意.答案 1规律方法(1)由于 A 中含有两个元素，0A，本题以 0 是否等于 a1 为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.【迁移探究 1】(变换条件)本例若将集合 A 中元素“a1”“a21”改为“a3 和 2a1”，“0A”改为“3A”，则实数 a 的取值是什么？解 3A，3a3 或32a1，若3a3，则 a0.此时集合 A 含有两个元素3，1，符合题意.若32a1，则 a1，此时集合 A 含有两个元素4，3，符合题意，综上所述，满
10、足题意的实数 a 的值为 0 或1.【迁移探究 2】(变换条件)本例中，若去掉条件“0A”，其他条件不变，试求实数 a 的取值.解 由集合元素的互异性，a1a21，所以 a2a20，即(a2)(a1)0，因此 a2 且 a1.课堂小结1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素 a 要么满足 aA，要么满足 aA，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号和的两点说明(1)符号和刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合
11、中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是()A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国 NBA 的篮球明星解析 A、C、D 中对象不具有确定性，不能构成集合.答案 B2.若以方程 x22x30 和 x2x20 的解为元素组成集合 M，则 M 中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析 因为方程 x22x30 的解是 x11，x23，方程 x2x20 的解是x31，x42.所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为1，2，3，共有 3 个元素.答案 C3.已
12、知集合 A 中只含有一个元素 1，若|b|A，则 b_.解析 由题意可知|b|1，b1.答案 14.已知集合 M 有两个元素 3 和 a1，且 4M，求实数 a 的值.解 M 中有两个元素，3 和 a1，且 4M，4a1，解得 a3.即实数 a 的值为 3.基 础 过 关1.下列各对象可以组成集合的是()A.中国著名的科学家B.感动中国 2016 十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析 看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有 B 选项判断标准明确，可以构成集合.答案 B2.由 x2，2|x|组成一个集合 A
13、中含有两个元素，则实数 x 的取值可以是()A.0 B.2 C.8 D.2解析 根据集合中元素的互异性，验证可知 x 的取值可以是 8.答案 C3.下列正确的命题的个数有()1N；2N*；12Q；2 2R；42Z.A.1 B.2 C.3 D.4解析 1 是自然数，1N，故正确；2不是正整数，2N*，故不正确；12是有理数，12Q，故正确；2 2是实数，2 2R，所以不正确；422 是整数，42Z，故不正确.答案 B4.方程 x23x40 的解集与集合 A 相等，若集合 A 中的元素是 a，b，则 ab_.解析 方程 x23x30 的两根分别是1 和 4，由题意可知，ab3.答案 35.(201
14、6成都高一检测)已知集合 P 中元素 x 满足：xN，且 2xa，又集合 P 中恰有三个元素，则整数 a_.解析 因为 xN，且 2x3与集合t|t3表示同一个集合.()(3)集合 A(1，2)，(0，3)中共有 4 个元素.()提示(1)不能，因为花括号“”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于 3 的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合 A 是由坐标平面上的点构成的集合，A 中只有 2 个元素.答案(1)(2)(3)2.已知 Ax|33x0，则有()A.3AB.1AC.0AD.1A解析 Ax|33x0 x|x0，y0，故第一象限的
15、点组成的集合可表示为(x，y)|x0，y0.答案 x0，y0类型一 用列举法表示集合【例 1】用列举法表示下列集合：(1)36 与 60 的公约数组成的集合；(2)方程(x4)2(x2)0 的根组成的集合；(3)一次函数 yx1 与 y23x43的图象的交点组成的集合.解(1)36 与 60 的公约数有 1，2，3，4，6，12，所求集合为1，2，3，4，6，12；(2)方程(x4)2(x2)0 的根是 4，2，所求集合为4，2；(3)方程组xy1，2x3y4的解是x75，y25，所求集合为75，25.规律方法 1.本例(2)在求解中易出现4，4，2的错误表示；本例(3)在求解时易出现75，2
16、5 的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集(x，y)，而非数集x，y.【训练 1】用列举法表示下列集合：(1)小于 10 的正偶数组成的集合；(2)方程 x(x21)0 的所有实数根组成的集合；(3)直线 yx 与 y2x1 的交点组成的集合.解(1)小于 10 的正偶数有 2，4，6，8，所求集合为2，4，6，8.(2)方程 x(x21)0 的根为 0，1，所求集合为0，1，1.(3)方程组yx，y2x1的解是x1，y1，所求集合为(1，1).类型二 用描述法表示集合【例 2】用描述法表示下列集合：(1)使 y1x2x6有意义的实数 x 的集合；(2)
17、函数 yax2bxc(a0)的图象上所有点的集合；(3)方程 x2(m2)xm10(mZ)的解集.解(1)要使 y1x2x6有意义，则 x2x60，即 x2 且 x3，故可写成xR|x2 且 x3.(2)易知集合可写成(x，y)|yax2bxc，a0，xR.(3)易知集合可写成x|x2(m2)xm10，mZ，xR.规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面.2.描述法表示集合，注意三点：所有描述的内容都要写在花括号内.例如，xZ|x2k，kZ；不能出现未被说明的字母；在通常情况下，集合
18、中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认 xR.【训练 2】用描述法表示下列集合：(1)满足不等式 3x22x1 的实数 x 组成的集合；(2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；(3)所有正奇数组成的集合.解(1)x|3x22x1x|x1.(2)(x，y)|xy0，且 x，yR.(3)x|x2k1，kN*.类型三 集合表示方法的应用(互动探究)【例 3】已知 f(x)x2axb(a，bR)，AxR|f(x)x0，BxR|f(x)ax0，若 A1，3，试用列举法表示集合 B.思路探究探究点一 如何利用条件首先确定函数 f(x)的解析式？提示 根据 A1，3，进而由根与系数的关系确定
19、 f(x)x0 中的 a，b.探究点二 怎样用列举法表示出集合 B?提示 解出方程 f(x)ax0 的实根，确定集合 B.解 f(x)x0，即 x2(a1)xb0，又集合 A1，3，由根与系数的关系得1（3）a1，1（3）b.所以a3，b3，所以 f(x)x23x3.f(x)ax0，亦即 x26x30，解得 x32 3.因此 Bx|x26x3032 3，32 3.规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问
20、题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练 3】已知集合 AxR|ax23x20，若集合 A 中有两个元素，求实数 a 取值范围的集合.解 若 A 中有两个元素，则一元二次方程 ax23x20有两个不等的实根，所以（3）28a0，a0，解得 a98，且 a0.因此实数 a 取值范围的集合为aa98，且a0.课堂小结1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清
21、元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合x|3x3，xN用列举法表示应是()A.1，2，3 B.0，1，2，3C.2，1，0，1，2 D.3，2，1，0，1，2，3解析 由3x3，xN，x0，1，2，3，则 B0，1，2，3.答案 B2.集合(x，y)|y2x3表示()A.方程 y2x3B.点(x，y)C.函数 y2x3 图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析 集合(x，y)|y2x3的代表元素是(x
22、，y)，x，y 满足的关系式为 y2x3，因此集合表示的是满足关系式 y2x1 的点组成的集合.答案 C3.设 A4，a，B2，ab，若集合 A 与集合 B 相等，则 ab_.解析 由于4，a2，ab，所以 a2 且 ab4，从而 a2，且 b2，所以 ab4.答案 44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合 Px|x2n，0n2，且 nN；(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为 P0，2，4.(2)可用列举法表示为6，9，12；也可用描述法表示为x|x3n，4x15，且 nN.基 础 过 关1.方程组xy2，x2y1的解集是()A.x1，y
23、1 B.1C.(1，1)D.(1，1)解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除 A，B，而 D 不是集合的形式，排除 D.答案 C2.下列各组集合中，表示同一集合的是()A.M(3，2)，N(2，3)B.M3，2，N2，3C.M(x，y)|xy1，Ny|xy1D.M(3，2)，N3，2解析 A 中集合 M，N 表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B 中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C 中集合 M 表示直线 xy1 上的点，而集合 N 表示直线 xy1 上点的纵坐标，所以是不同集合；D 中的集合 M 表示点集，N 表示数集，所以是不同集合.答案
24、B3.由大于3 且小于 11 的偶数组成的集合是()A.x|3x11，xQB.x|3x11，xRC.x|3x11，x2k，kND.x|3x11，x2k，kZ解析 x|x2k，kZ表示所有偶数组成的集合.由3x11 及 x2k，kZ，可限定集合中元素.答案 D4.点(2，11)与集合(x，y)|yx9之间的关系为_.解析 1129，(2，11)(x，y)|yx9.答案(2，11)(x，y)|yx95.下列集合中，不同于另外三个集合的是_.x|x1；y|(y1)20；x1；1解析 由集合的含义知x|x1y|(y1)201，而集合x1表示由方程x1 组成的集合，所以答案为.答案 6.用描述法表示下列
25、集合：(1)由方程 x(x22x3)0 的所有实数根组成的集合；(2)大于 2 且小于 6 的有理数；(3)由直线 yx4 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.解(1)用描述法表示为x|x(x22x3)0.(2)由于大于 2 且小于 6 的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为xQ|2x6.(3)用描述法表示该集合为(x，y)|yx4，xN，yN.7.用列举法表示集合 A(x，y)|yx2，1x1，且 xZ.解 由1x1 且 xZ，得 x1，0，1，当 x1 时，y1，当 x0 时，y0，当 x1 时，y1，A(1，1)，(0，0)，(1，1).8.设集合 Ax|x2k，kZ，Bx
26、|x2k1，kZ，若 aA，bB，试判断 ab 与集合 A，B 的关系.解 因为 aA，则 a2k1(k1Z)；bB，则 b2k21(k2Z)，所以 ab2(k1k2)1.又 k1k2 为整数，2(k1k2)为偶数，故 2(k1k2)1 必为奇数，所以 abB 且 abA.能 力 提 升9.集合 A(x，y)|xy1，xN，yN中元素的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析 xN，yN，且 xy1，当 x0 时，y0 或 1；当 x1 时，y0.故 A(0，0)，(0，1)，(1，0).答案 C10.(2016德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是
27、()A.2x0 且2y0B.(x，y)|2x0 且2y0C.(x，y)|2x0 且2y0D.(x，y)|2x0 或2y0解析 由阴影知，2x0 且2y0，集合(x，y)|2x0，且2y0表示阴影部分点的集合.答案 B11.已知集合 A(x，y)|y2x1，B(x，y)|yx3，aA，且 aB，则 a为_.解析 集合 A，B 都表示直线上点的集合，aA 表示 a 是直线 y2x1 上的点，aB 表示 a 是直线 yx3 上的点，所以 a 是直线 y2x1 与 yx3 的交点，即 a 为(2，5).答案(2，5)12.下列命题中正确的是_(只填序号).0 与0表示同一集合；由 1，2，3 组成的集
28、合可表示为1，2，3或3，2，1；方程(x1)2(x2)0 的所有解的集合可表示为1，1，2；集合x|2x0，b0 时，|a|a|b|b 2；当 a0，b0，b0 或 a0 时，|a|a|b|b 0.故所有的值组成的集合为2，0，2.探 究 创 新14.(2014福建高考改编)若集合a，b，c，d1，2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4 有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a，b，c，d).解 若只有对，即 a1，则 b1 不正确，所以 b1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)；若只有对，则有序数组为(3
29、，1，2，4)；若只有对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2).1.1.2 集合间的基本关系目标定位 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.自 主 预 习1.子集和真子集的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集AB 或 BA真子集如果集合 AB，但存在元素 xB，且 xA，称集合 A 是集合 B 的真子集AB 和 BA 温馨提示：(1)若 AB，则
30、 A 中的元素是 B 中的元素的一部分或是 B 的全部.(2)注意“”与“”有什么区别：“”表示元素与集合之间的关系，而“”表示集合与集合之间的关系.2.集合相等若 AB 且 BA，则集合 AB.3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.(2)空集用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的子集.温馨提示：0 不是一个集合，而是一个元素，而0，都为集合，其中0是包含一个元素 0 的集合，为不含任何元素的集合，为含有一个元素的集合.4.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA.(2)对于集合 A，B，C，如果 AB，且 BC，那么 AC.即 时 自 测1.思考判断(正确的打
31、“”，错误的打“”)(1)空集是任何集合的真子集.()(2)集合0，1的子集是0，1，0，1.()(3)已知 AB，A1，2，3，Bx，y，3，则 x1，y2.()(4)对于集合 A，B，C，由 AB，BC，可得 AC.()提示(1)错，空集是任何非空集合的真子集.(2)错，也是集合0，1的子集.(3)错，x1，y2 或 x2，y1.(4)对，由集合的包含关系可得.答案(1)(2)(3)(4)2.集合1，2的真子集有()A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个解析 集合1，2的真子集有，1，2共 3 个.答案 B3.设集合 Mx|x1，则下列选项正确的是()A.0MB.0MC.MD.0M解析
32、选项 B、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项 D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.答案 A4.已知集合 A2，9，集合 B1m，9，且 AB，则实数 m_.解析 因为 AB，所以 1m2，所以 m1.答案 1类型一 有限集合的子集问题【例 1】已知集合 A(x，y)|xy2，x，yN，试写出 A 的所有子集.解 A(x，y)|xy2，x，yN，A(0，2)，(1，1)，(2，0).A 的子集有：，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(2，0).规律方法 1.本题在求解中，常因没把握住集合
33、A 的含义而把集合 A 表达为0，1，2，究其原因是没有看清集合 A 的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含 1 个元素，含 2 个元素依次类推，按规律书写.(2)一般地，若集合 A 中有 n 个元素，则其子集有 2n 个，真子集有 2n1 个，非空真子集有 2n2 个.【训练 1】已知集合 A1，2，Bx|xA，求集合 B.解 由题意可知，集合 B 的元素是集合 A 的所有真子集，故 B，1，2.类型二 集合间关系的判断【例 2】(1)下列关系中，正确的个数是()00；0；0，1(0，1)；(a，b)(b，a)A.1 B.2 C.3 D.4(2)设 a，b
34、R，集合1，ab，a0，ba，b，则 ba 等于()A.1 B.1 C.2 D.2解析(1)对于，集合0中含有 1 个元素 0，所以 00正确；对于，由于空集是任何非空集合的真子集，所以0正确；对于，0，1是数集，(0，1)是点集，所以错误；对于，(a，b)与(b，a)是不同的点集，所以错误.(2)因为 a0，所以 ab0，所以ba1，所以 b1，a1.故 ba2.故选C.答案(1)B(2)C规律方法(1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：判断一个集合 A中的任意元素是否属于另一集合 B，若是，则 AB，否则 A 不是 B 的子集；判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合
35、 A，若是，则 BA，否则 B不是 A 的子集；若既有 AB，又有 BA，则 AB.(2)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.【训练 2】集合 Ax|x2x60，Bx|2x70，试判断集合 A 和 B 的关系.解 A3，2，Bxx72.372，272，3B，2B，AB，又 0B，但 0A，AB.类型三 由集合间关系求参数问题(互动探究)【例 3】已知集合 Ax|2x5，Bx|m6x2m1，若 BA，求实数 m 的取值范围.思路探究探究点一 BA，集合 B 是否满足 B？提示 不能，因为集合 B 中的元素不确定，有 B和 B两种情况
36、.探究点二 若 B，BA，m 应满足什么条件？提示 根据子集定义，m 应满足2m6，m62m1，2m15，解(1)B时，有 m62m1，则 m5，此时 BA 成立.(2)当 B时，BA，此时满足2m6，m62m1，2m15m4，m5，m3.不等式组解集为.由(1)(2)知，实数 m 的取值范围是m|mm6，m62，2m15，解得m5，m4，m3，故 3m4.所以 m 的取值范围是m|3m4.【迁移探究 2】(变换条件)本例中若将“Ax|2x5”改为“Ax|x5”，其余条件不变，求实数 m 的取值范围.解(1)当 B时，m62m1，则 m5，此时满足条件 BA.(2)当 B时，BA，则m62m1
37、，2m15.解之得5m11.综合(1)，(2)知，实数 m 取值的范围mm11.课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 xA，能推出 xB，这是判断 AB 的常用方法.(2)不能简单地把“AB”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”，因为若 A时，则 A 中不含任何元素；若 AB，则 A 中含有 B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，AB 首先要满足 AB，其次至少有一个 xB，但 xA.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集中元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含 n 个
38、元素的集合有 2n 个子集，有 2n1个真子集，有 2n2 个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.1.已知 M1，0，1，Nx|x2x0，则能表示 M，N 之间关系的 Venn 图是()解析 因为 M1，0，1，N0，1，所以 NM.答案 C2.下列四个集合中，是空集的是()A.x|x33 B.(x，y)|y2x2，x，yRC.x|x20 D.x|x2x10，xR解析 x2x10，没有实根，集合x|x2x10，xR.答案 D3.集合 Ax|1x4，xN的真子集的个数为_.解析 可知 A1，2，3，其真子集为：，1，2，3，1，2，1，3，2，3共 7 个.答案 74.设集合 Ax
39、|x2xa0，若A，求实数 a 的取值范围.解 x|x2xa0.x|x2xa0.即 x2xa0 有实根.(1)24a0，得 a14.所以实数 a 的取值范围是a|a14.基 础 过 关1.下列集合中，不是集合0，1的真子集的是()A.B.0 C.1 D.0，1解析 任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集.答案 D2.集合 Px|x210，T2，1，0，1，2，则 P 与 T 的关系为()A.PTB.PTC.PTD.PT解析 由 x210，得 x1，所以 P1，1.因此 PT.答案 D3.已知集合 A0，1，2，且集合 A 中至少含有一个偶数，则这样的集合 A 的个数为()A.6 B.
40、5 C.4 D.3解析 集合0，1，2的子集为：，0，1，2，0，1，0，2，1，2，0，1，2，其中含有偶数的集合有 6 个.答案 A4.设 aR，若集合3，51a，5，则 a_.解析 3，51a，5，1a3，a2.答案 25.(2016湖南长郡中学模块检测)已知集合 Ax|x2a，当 A 为非空集合时 a的取值范围是_.解析 A 为非空集合时，方程 x2a 有实数根，所以 a0.答案 0，)6.若集合1，2M1，2，3，4，试写出满足条件的所有集合 M.解 由1，2m，知 1，2M，又 M1，2，3，4，因此集合 M 中可以有 2个或 3 个元素，故满足条件的 M 可以为1，2，1，2，3
41、，1，2，4.7.已知集合 Ax|2x4，Bx|ax3a.若 AB，求 a 的取值范围.解 AB，B，画出数轴如图所示：故a3a，a4.解得43a2.所以实数 a 的取值范围是a|43a2.8.已知集合 A2，Bx|ax10，aR，BA，求 a 的值.解 BA，A，B或 B.当 B时，方程 ax10 无解，此时 a0.当 B时，此时 a0，B1a，1aA，即有1a2，得 a12.综上所述，a0 或 a12.能 力 提 升9.下列说法中正确的是()若 AB，则 AB；若 AB，则 AB；若 AB，则 AB；若 AB，则 AB.A.B.C.D.解析 不正确，如1，21，2，但1，21，2不成立；不
42、正确，如11，2，但二者不相等.正确.答案 C10.已知集合 MxZ|1xm，若集合 M 有 4 个子集，则实数 m()A.1 B.2 C.3 D.4解析 由于 M 有 4 个子集，所以 M 中一定有 2 个元素.又 MxZ|1xm，所以 m2，此时 M1，2恰好有 4 个子集.答案 B11.设集合 Mx|2x25x30，Nx|mx1，若 NM，则实数 m 的取值集合为_.解析 集合 M3，12.若 NM，则 N3或12 或.于是当 N3时，m13；当 N12 时，m2；当 N时，m0.所以 m 的取值集合为2，0，13.答案 2，0，1312.已知集合 A2，4，6，8，9，B1，2，3，5
43、，8，又知非空集合 C 满足：其各元素都加 2 后，就变为 A 的一个子集，其各元素都减 2 后，就变为 B 的一个子集，则集合 C_.解析 本题可逆向操作，A 中元素都减 2，得0，2，4，6，7，B 中的元素都加2，得3，4，5，7，10，因为 C 中的元素同时在这两个集合中，所以 C4或7或4，7.答案 4或7或4，713.设集合 Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且 BA，求实数 m 的取值范围.解 BA，分为两种情况：当 B时，满足 BA，此时 m12m1，解得 m2.当 B时，有32m1，m14，2m1m1，解得1m2.综上可得 m 的取值范围是m|m1.探 究 创 新14.已知集
44、合 Ax|(a1)x22x10，且集合 A 有且仅有两个子集，求实数 a的值以及对应的两个子集.解 根据题意可知集合 A 中只含有一个元素.(1)当 a1 时，Ax|2x1012，此时集合 A 的两个子集为12，；(2)当 a1 时，则 44(a1)0，解得 a2，此时集合 A 的两个子集为1，.故实数 a 的值为 1 或 2.当 a1 时，集合 A 的两个子集为12，；当 a2 时，集合 A 的两个子集为1，.1.1.3 集合的基本运算第 1 课时 并集、交集目标定位 1.理解两个集合并集和交集的含义，掌握有关术语和符号.2.会求两个简单集合的并集和交集.3.能用 Venn 图表达集合的并集
45、与交集，体会数形结合思想.自 主 预 习1.集合的并集温馨提示：“xA，或 xB”包括了三种情况：xA，但 xB；xB，但xA；xA，且 xB.2.集合的交集温馨提示：当集合 A、B 没有公共元素时，A 与 B 有交集，此时 AB.3.集合的并集、交集的常用运算性质AAA；AA；ABBA；(AB)CA(BC)；(AB)A；ABABA；ABAAB；ABABAB.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)集合 AB 的元素个数等于集合 A 与集合 B 的元素个数和.()(2)当集合 A 与 B 没有公共元素时，则集合 A 与 B 没有交集.()(3)已知 A1，2，3，(AB)
46、A，则 B 中最多有 3 个元素，最少有 1 个元素.()提示(1)错，AB 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素个数和.(2)错，当集合 A 与 B 没有公共元素时，集合 A 与 B 的交集为，即 AB.(3)错，B 中最多有 3 个元素，也可能 B.答案(1)(2)(3)2.设集合 A2，3，集合 B0，1，则 AB 等于()A.B.1，2，3C.0，1，2 D.0，1，2，3解析 A2，3，B0，1，AB0，1，2，3.答案 D3.已知集合 M1，2，3，4，N3，3，下列结论成立的是()A.NMB.MNMC.MNND.MN 是单元素集合解析 由已知得 MN3.答案 D4.设
47、集合 M1，2，m2，N1，3，且 MN3，则 m_.解析 3MN，3M，m23，m5.答案 5类型一 集合并集的运算【例 1】(1)已知集合 A0，2，4，B0，1，2，3，5，则 AB_；(2)若集合 Ax|1x2，Bx|00，Bm|1m0m|m2，将集合 A、B 表示在数轴上，如图所示，由图知 ABm|m1.答案(1)C(2)m|m1类型二 集合交集的简单运算【例 2】(1)已知集合 AxR|3x20，Bx|x3，求 AB.(2)若 Ax|2x3，Bx|xa，且 a0，得 x23.所以 Axx23，又 Bx|x3.因此，结合数轴可知，ABx|x3.(2)如图所示，当 a2 时，ABAx|
48、2x3；当2a3 时，ABx|ax3.规律方法(1)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.(2)求两个集合交集的一般方法：明确集合中的元素，元素个数有限时，利用定义或 Venn 图求解，元素个数无限时，借助数轴求解，当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合.【训练 2】已知 M1，2，a23a1，N1，a，3，MN3，求实数 a 的值.解 MN3，3M；a23a13，即 a23a40，解得 a1 或 4.但当 a1 时与集合中元素的互异性矛盾；当 a4
49、时 M1，2，3，N1，3，4，符合题意.a4.类型三 并集、交集的性质及应用(互动探究)【例 3】已知集合 Ax|x23x20，Bx|ax20，且 ABA，求实数 a 组成的集合 C.思路探究探究点一 你能由 ABA，判定集合 A、B 间的包含关系吗？提示 能，由并集的意义，ABABA.探究点二 集合 B 中一定有一个元素吗？提示 不一定，由 BA 分两种情况，B或 B 中只有一个元素.解 由 x23x20，得 x1 或 x2，所以 A1，2.又 ABA，所以 BA.(1)若 B，即方程 ax20 无解，此时 a0.(2)若 B，则 B1或 B2.当 B1时，有 a20，即 a2；当 B2时
50、，有 2a20，即 a1.综上可知，适合题意的实数 a 所组成的集合 C0，1，2.规律方法 1.在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到 ABA，ABB 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如 ABAAB，ABBAB 等，解答时应灵活处理.2.当集合 BA 时，如果集合 A 是一个确定的集合，而集合 B 不确定，运算时要考虑 B的情况，切不可漏掉.【训练 3】已知集合 Ax|2x3，Bx|2m1xm7，若 ABB，求实数 m 的取值范围.解 因为 ABB，所以 BA.(1)当 B时，即 2m1m7，所以 m6.此时满足 ABB.(2)当 B时，由2m1
51、m7.2m12，m73，无解.故 m 的取值范围是m|m6.课堂小结1.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“xA，或 xB”这一条件，包括下列三种情况：xA，但 xB；xB，但 xA；xA，且 xB.因此，AB 是由所有至少属于 A、B 两者之一的元素组成的集合.(2)AB 中的元素是“所有”属于集合 A 且属于集合 B 的元素，而不是部分，特别地，当集合 A 和集合 B 没有公共元素时，不能说 A 与 B 没有交集，而是 AB.2.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集
52、合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.1.(2014广东高考)已知集合 M1，0，1，N0，1，2，则 MN()A.0，1 B.1，0，2C.1，0，1，2 D.1，0，1解析 M1，0，1，N0，1，2，MN1，0，1，2.答案 C2.(2016绍兴一中月考)若集合 Px|2x4，Qx|x3，则 PQ 等于()A.x|3x4 B.x|3x4C.x|2x3 D.x|2x3解析 Px|2x4，Qx|x3，PQx|3x4.答案 A3.若集合 Ax|x2，Bx|xa，满足 AB2，
53、则实数 a_.解析 ABx|ax22，a2.答案 24.已知集合 Ax|3x4，集合 Bx|k1x2k3，且 ABB，试求 k的取值范围.解 由 ABB，知 AB.又 Ax|3x4，Bx|k1x2k3可知 B，此时，k12k3，即 k2，结合数轴可知k13，2k34，解得12k2.故 ABB 时，k 的取值范围为k12k2.基 础 过 关1.(2014新课标全国卷)已知集合 A2，0，2，Bx|x2x20，则 AB()A.B.2 C.0 D.2解析 由于 Bx|x2x201，2，A2，0，2，所以 AB2.答案 B2.(2015全国卷)已知集合 Ax|1x2，Bx|0 x3，则 AB()A.x
54、|1x3 B.x|1x0C.x|0 x2 D.x|2x3解析 由 Ax|1x2，Bx|0 x3，所以 ABx|1x3.答案 A3.已知集合 Ax|1x2，Bx|1xa.若 ABA，则 a 的取值范围是()A.a2C.a2 D.1a2解析 ABA，AB.在数轴上画出两集合，要使集合 B 完全覆盖集合 A，集合 B 的端点 a 应在 2 处或其右侧，因此 a2.答案 C4.满足条件 M11，0，1的集合 M 的个数是_.解析 由于 M11，0，1，所以 M1，0，1，且 0M，1M，因此 M0，1，或 M1，0，1.答案 25.已知集合 Px|x21，Ma，若 PMP，则 a 的取值范围为_.解析
55、 由 Px|x21得 Px|1x1.由 PMP 得 MP.又 Ma，所以1a1.答案 a|1a16.(2016江西赣州市十三县市上学期期中)已知集合 AxZ|3x11，B1，2，3，C3，4，5，6.(1)求 A 的非空真子集的个数；(2)求 BC，A(BC).解(1)A2，1，0，1，2，共 5 个元素，所以 A 的非空真子集的个数为25230.(2)因为 B1，2，3，C3，4，5，6，所以 BC1，2，3，4，5，6，A(BC)2，1，0，1，2，3.7.已知 A3，a2，a1，Ba3，2a1，a21，若 AB3，求集合 AB.解 AB3，3B，易知 a213，则 a33 或 2a13.
56、若 a33，则 a0，此时 A0，1，3，B3，1，1，则 AB1，3，这与已知矛盾.若 2a13，则 a1，此时 A0，1，3，B3，4，2，AB3，符合题意.因此 AB3，4，2，0，1.8.已知 Ax|2axa3，Bx|x5，若 AB，求 a 的取值范围.解 由于 AB，Ax|2axa3.(1)若 A，有 2aa3，a3.(2)若 A，如图所示，则有2a1，a35，2aa3，解得12a2.a|12a2或a3综上所述，a 的取值范围是12，2.能 力 提 升9.若集合 A1，3，x，B1，x2，AB1，3，x，则满足条件的实数 x有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析 因为 A
57、BA，所以 BA，所以 x23 或 x2x，解得 x 3或 x1 或x0.当 x1 时，集合 A，B 不满足元素的互异性，故 x 3或 x0.答案 C10.设集合 A(x，y)|yax1，B(x，y)|yxb，且 AB(2，5)，则()A.a3，b2 B.a2，b3C.a3，b2 D.a2，b3解析 由题意知点(2，5)在一次函数 yax1 和 yxb 上，所以 52a1 且52b，得 a2，b3.答案 B11.设集合 Ax|1x2，Bx|x1.答案(1，)12.已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，且 B，若 ABA，则实数 m 的取值范围是_.解析 因为 ABA，所以 BA，又 B，
58、所以m12，2m17，m12m1，即 2m4.答案 2m413.已知集合 Ax|x23x20，Cx|x2x2m0.若 ACC，求实数 m的取值范围.解 由已知得，A1，2.因为 ACC，所以 CA.当 C时，方程 x2x2m0 无实数根，因此其判别式 18m18；当 C时，方程 x2x2m0 有相同的实数根，即 x1 或 x2，因此其判别式 18m0，解得 m18，代入方程 x2x2m0，解得 x12，ACC矛盾，显然 m18不符合要求；当 C1，2时，方程 x2x2m0 有两个不相等的实数根 1，2，而 121，不符合一元二次方程中根与系数的关系.综上所述，m 的取值范围为m|m18.探 究
59、 创 新14.(2015浙江湖州期中)已知集合 Ax|x24x50，集合 Bx|2axa2.(1)若 a1，求 AB 和 AB；(2)若 ABB，求实数 a 的取值范围.解(1)Ax|x1 或 x5，Bx|2x1，所以 ABx|2x1，ABx|x1 或 x5.(2)因为 ABB，所以 BA.若 B，则 2aa2，得 a2；若 B，则a2，a21或a2，2a5，所以 a3.综上知，实数 a 的取值范围是a|a2 或 a3.第 2 课时 补集及集合运算的综合应用目标定位 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，能用 Venn 图表示，并会求给定子集的补集.3.能进行
60、集合的综合运算，并能解答有关的简单问题.自 主 预 习1.全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作 U.温馨提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素.2.补集文字语言对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作UA 符号语言UAx|xU 且 xA 图形语言温馨提示：补集是集合之间的一种运算，求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.3.常用的运算性质(1)(UA)AU，(2)(UA)A.即
61、时 自 测 1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)全集就是实数集 R()(2)AC 与BC 相等.()(3)设全集 U2，3，4，5，6，UA3，5，则 A2，4，6.()提示(1)错，全集的定义指出“全集包含研究问题所涉及的所有元素”，但我们研究的问题并不一定是实数集.(2)错，若 AB，则AC 与BC 相等，否则不相等.(3)对，A 是UA 的补集，所以 A2，4，6.答案(1)(2)(3)2.设全集 U0，1，2，3，4，A1，2，则UA 等于()A.3，4 B.1，2C.0，1，2 D.0，3，4解析 U0，1，2，3，4，A1，2，UA0，3，4.答案 D3.设全集 UR，
62、集合 Ax|x10，则UA 是()A.x|x1 D.x|x1解析 全集 UR，集合 Ax|x1，UAx|x1.答案 B4.设 UR，Ax|axb，UAx|x5 或 x5 或 x0，Bx|x1，则 A(UB)()A.x|0 x1 B.x|0 x1C.x|x1解析(1)UxN|x2，AxN|x3UAxN|2x0 x|x1x|0 x1.答案(1)B(2)B类型二 补集的简单应用【例 2】已知全集 UR，集合 Ax|x1，Bx|2axa3，且 BRA，求 a 的取值范围.解 由题意得RAx|x1.(1)若 B，则 a32a，即 a3，满足 BRA.(2)若 B，则由 BRA，得 2a1 且 2aa3，
63、即12a3.综上可得 a 的取值范围为a|a12.规律方法(1)解答此类问题的关键在于合理使用补集运算的性质，必要时对含有参数的集合进行分类讨论，转化为与之等价的不等式(组)求解.(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，注意检验.【训练 2】设全集 U2，3，a22a3，A|2a1|，2.若UA5，求实数 a 的值.解 由题意知，a22a35，解得 a4 或 a2.当 a2 时，|2a1|41|3，此时 A2，3，符合题意；当 a4 时，|2a1|81|9，此时 A9，2，不符合题意.故实数 a 的值为 2.类型三 交集、并集、补集的综合运算【例 3】设 Ax|2x2ax20，Bx|
64、x23x2a0，AB2.(1)求 a 的值及 A、B；(2)设全集 UAB，求(UA)(UB)；(3)写出(UA)(UB)的所有子集.解(1)AB2，2A，且 2B.82a20，即 a5.Ax|2x25x2012，2，Bx|x23x1005，2.(2)由(1)可知 U5，12，2，UA5，UB12，(UA)(UB)5，12.(3)由(2)可知(UA)(UB)的所有子集为，5，12，5，12.规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.2.利用数轴或 Venn 图表示相关集合，再根据图形求解集合的补集或相关集合的
65、交集、并集等.若集合是用列举法表示的，可采用 Venn 图求解；若集合用描述法表示时，可采用数轴，通过数轴分析来求解.【训练 3】已知全集 Ux|x4，集合 Ax|2x3，Bx|3x2，求 AB，(UA)B，A(UB).解 如图所示.Ax|2x3，Bx|3x2，Ux|x4，UAx|x2 或 3x4，UBx|x3 或 2x4，ABx|2x2，(UA)Bx|x2 或 3x4，A(UB)x|2x3.课堂小结1.全集与补集的理解(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，如我们在整数范围内研究问题，则 Z 为全集，而当问题扩展到实数集时，则 R 为全集.(2)补集是集合之间的一种
66、运算.同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的集合在同一个全集中的补集也不同.(3)符号UA 包含的三层意思AU.UA 表示一个集合，且UAU.UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合.2.补集的相关性质(1)A(UA)U，A(UA).(2)U(UA)A，UU，UU.(3)U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB).3.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集 U，求子集 A，若直接求 A 困难，可先求UA，再由U(UA)A 求 A.1.设全集为 U，M0，2，4，UM6，则 U 等于()A.0，2，4，6 B.0，2，4C.6 D.解析 UMUM0，2，
67、4，6.答案 A2.已知集合 AxR|2x6，BxR|x2，则 A(RB)()A.x|x6 B.x|2x2 D.x|2x6解析 由 BxR|x2，得RBx|x2.又 AxR|2x2.答案 C3.已知全集 U6，7，8，且UA6，则集合 A 的真子集有_个.解析 因为 U6，7，8，UA6，所以 A7，8，A 的真子集为7，8，共 3 个.答案 34.已知全集 UR，Ax|2x4，Bx|3x782x，求 AB，(UA)B.解 Bx|x3，UAx|x2，Nx|x3，则MN 等于()A.x|x2 B.x|x3C.RD.x|22，Nx|x3，MNx|2x3.答案 D2.(2015天津高考)已知全集 U
68、1，2，3，4，5，6，集合 A2，3，5，集合B1，3，4，6，则集合 AUB()A.3 B.2，5 C.1，4，6 D.2，3，5解析 由 U1，2，3，4，5，6，B1，3，4，6，所以UB2，5，故 AUB2，5.答案 B3.(2016重庆南开中学上学期期中)已知全集 UR，集合 A1，2，3，4，5，BxR|x2，则右图中阴影部分所表示的集合为()A.1 B.0，1C.1，2 D.0，1，2解析 题图中阴影部分所表示的集合为 ARB，因为 A1，2，3，4，5，BxR|x2，所以RBx|x2，所以 A(RB)1.答案 A4.已知全集 U(U)和集合 A、B、D，且 AUB，BUD，则
69、集合 A 与 D 的关系是_.解析 AUBU(UD)D.答案 AD5.设 U0，1，2，3，AxU|x2mx0，若UA1，2，则实数 m_.解析 U0，1，2，3，UA1，2，A0，3，又 0，3 是方程 x2mx0 的两根，m3.答案 36.设全集 Ux|x 是小于等于 20 的素数，A(UB)3，5，(UA)B7，19，(UA)(UB)2，17，求集合 A，B.解 U2，3，5，7，11，13，17，19，由题意，利用 Venn 图如图所示：集合 A3，5，11，13，B7，11，13，19.7.已知集合 A1，3，x3，B1，x2，是否存在实数 x，使得 B(AB)A？实数 x 若存在，
70、求出集合 A 和 B；若不存在，说明理由.解 假设存在 x，使 B(AB)A，BA.(1)若 x23，则 x1 符合题意.(2)若 x2x3，则 x1 不符合题意.存在 x1，使 B(AB)A，此时 A1，3，1，B1，3.8.已知集合 Ax|3x7，Bx|2x10，Cx|xa，全集为实数集 R.(1)求 AB，(RA)B；(2)若 AC，求 a 的取值范围.解(1)因为 Ax|3x7，Bx|2x10，所以 ABx|2x10.RAx|x3 或 x7，从而(RA)Bx|x3 或 x7x|2x10 x|2x3 或 7x3 时，AC.能 力 提 升9.(2016温州十校联合体上学期期中)已知全集 U
71、1，1，3，集合 Aa2，a22，且UA1，则 a 的值是()A.1 B.1 C.3 D.1解析 因为 U1，1，3，UA1，所以 A1，3，又因为 a222，所以 a223 且 a21，得 a1.答案 A10.设全集 U(x，y)|xR，yR，集合 A(x，y)|2xym0，B(x，y)|xyn0，若点 P(2，3)A(UB)，则下列选项正确的是()A.m1，n5 B.m1，n1，n5 D.m5解析 由 P(2，3)A(UB)得 PA 且 PB，故223m0，23n0.解得 m1，n5.答案 A11.已知集合 Ax|xa，Bx|1x2，且 A(UB)R，则实数 a 的取值范围是_.解析 RB
72、x|x2，又 Ax|xa，A(RB)R，所以 a2.答案 a|a212.设全集 UR，集合 Ax|x1 或 x3，集合 Bx|kxk1，k2，且B(UA)，则实数 k 的取值范围是_.解析 由题意得UAx|1x3，又 BUA，故 B，结合图形可知 kk1，1k13，解得 0k2.答案 k|0k213.已知全集 U1，2，3，4，5，Ax|x2px40.若 AU，求UA.解 当 A时，方程 x2px40 无实数解，此时 p2160，解得4p4，故UAU1，2，3，4，5.当 A时，方程 x2px40 的两个根 x1，x2 必须都属于全集 U.因为 x1x24，所以只可能有下述情形：当 x1x22
73、 时，p4，此时 A2，UA1，3，4，5；当 x11，x24 时，p5，此时 A1，4，UA2，3，5.综上所述，当4p4 时，UA1，2，3，4，5；当 p4 时，UA1，3，4，5；当 p5 时，UA2，3，5.探 究 创 新14.设全集 UR，集合 Ax|5x4.集合 Bx|x1，集合 Cx|xm0，求实数 m 的取值范围，使其满足下列两个条件：C(AB)；C(UA)(UB).解 因为 Ax|5x4，Bx|x1，所以 ABx|1x4.又UAx|x5 或 x4，UBx|6x1，所以(UA)(UB)x|6x5.又 Cx|x5.因此同时满足条件，的实数 m 的取值范围为m|m4.习题课 集合
74、的概念与运算目标定位 1.巩固和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算.1.设集合 Ax|x4，msin 30，则下列关系中正确的是()A.mAB.mAC.mAD.mA解析 因为 msin 3012A，所以 B 错误；A 错误，元素与集合关系不能使用“”；C 错误，集合与集合关系不能使用“或”.答案 D2.(2015北京高考)若集合 Ax|5x2，Bx|3x3，则 AB()A.x|3x2 B.x|5x2C.x|3x3 D.x|5x3解析 Ax|5x2，Bx|3x3.ABx|3x2.答案 A3.已知全集 U1，2，3，4，5，且集合 A2，3，4，B4，5，则
75、 A(UB)等于()A.4 B.4，5C.1，2，3，4 D.2，3解析 易知UB1，2，3，所以 AUB2，3.答案 D4.已知集合 A(x，y)|x，y 为实数，且 x2y21，B(x，y)|x，y 为实数，且xy1，则 AB 的元素个数为()A.4 B.3C.2 D.1解析 联立两集合中的函数关系式得：x2y21，xy1，解得x0，y1或x1，y0，有两解.答案 C5.(2016广州执信中学期中)已知全集 U1，2，3，4，5，A1，2，3，那么UA 的子集个数有_.解析 UA4，5，子集有，4，5，4，5，共 4 个.答案 46.(2014辽宁高考改编)已知全集 UR，Ax|x0，Bx
76、|x1，则集合U(AB)_.解析 依题设，ABx|x0 或 x1，所以U(AB)x|0 x1.答案 x|0 x1题型一 元素与集合的关系【例 1】设集合 BxN 62xN.(1)试判断 1 和 2 与集合 B 的关系；(2)用列举法表示集合 B.解(1)当 x1 时，6212N，当 x2 时，62232N，1B，2B.(2)令 x0，1，2，3，4，代入 62x检验 62xN 是否成立，可得 B0，1，4.规律方法(1)判断所给元素 a 是否属于给定集合时，若 a 在集合内，用符号“”；若 a 不在集合内，用符号“”.(2)当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范.【训练 1】已知集合
77、M 含有两个元素 a3 和 2a1，若2M，求实数 a 取值的集合.解 因为2M，所以 a32 或 2a12.(1)若 a32，则 a1，此时集合 M 中含有两个元素2、3，符合题意.(2)若 2a12，则 a32，此时集合 M 中含有两个元素2、32，符合题意.所以实数 a 的值是 1、32，则 a 的取值集合为1，32.题型二 集合的子集、真子集问题【例 2】若集合 Ax|ax22x10，xR至多有一个真子集，求 a 的取值范围.解 当 A 无真子集时，A，即方程 ax22x10 无实根，所以a0，44a1.当 A 只有一个真子集时，A 为单元素集，这时有两种情况：当 a0 时，方程化为
78、2x10，解得 x12；当 a0 时，由 44a0，解得 a1.综上，当集合 A 至多有一个真子集时，a 的取值范围是a|a0 或 a1.规律方法 1.由集合 A 至多有一个子集，判定 A或 A 是单元素集，这是解题的切入点和关键，此类问题忽视“空集”是常见的错误，对于集合中含有字母参数时，要注意运用分类讨论思想.2.若题目涉及不等式的解集，常利用数轴分析法将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.【训练 2】已知集合 Ax|2x5，Bx|p1x2p1.若 BA，求实数 p 的取值范围.解(1)若 B，则 p12p1，解得 p2.(2)若 B，且 BA，则借助数轴
79、可知.p12p1，p12，2p15，解得 2p3.由(1)(2)知，实数 p 的取值范围是p|p3.题型三 集合的综合运算【例 3】(2016温州高一检测)已知集合 Ax|02xa3，Bx12x2.(1)当 a1 时，求(RB)A.(2)若RBRA，求实数 a 的取值范围.解(1)当 a1 时，Ax12x1，又因为 Bx12x2，则RBxx12或x2，所以(RB)Ax|x1或x2.(2)由于RBRA，所以 AB.因为 Axa2x3a2，则当 A时，a23a2，所以 03 不成立，所以 A，则有a212，3a2 2，a23a2，解得1a1.所以 a 的取值范围是a|1a1.规律方法 1.(1)求
80、集合的交、并、补运算，一是要注意端点的取舍.(2)第(2)问充分利用集合的运算性质，避免求RB 与RA 的计算.2.与不等式有关的集合的运算，用数轴分析法直观清晰，应重点考虑，若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.【训练 3】设集合 Ax|xm0，Bx|2x4，全集 UR，且(UA)B，求实数 m 的取值范围.解 由 xm0，得 xm.Ax|xm，得UAx|xm，因为 Bx|2x4，(UA)B.结合数轴表示集合，所以m2，即 m2，所以 m 的取值范围是m|m2.课堂小结1.要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系.2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时
81、，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.3.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，然后再运算其他，如求(UA)B 时，可先求出UA，再求交集.4.重视数形结合数学思想在解题中的应用，利用数轴或 Venn 图表示相关集合，再根据图形求解集合的补集或相关集合的交集、并集等.若集合是用列举法表示的，可采用 Venn 图求解；若集合用描述法表示时，可采用数轴，通过数轴分析来求解.基 础 过 关1.若全集 M1，0，1，2，3，Nx|x21，xZ，则MN()A.B.0，2，3 C.1，1 D.0，1，2，3解析 因为 M1，0，1，2，3，N
82、x|x21，xZ1，1，根据补集的定义，得MN0，2，3.答案 B2.设集合 Ax|1x0，Bx|x3，则()A.ABB.BAC.ABD.BA解析 1x02，对任意 xA，都有 xB.又 1B，但 1A，AB.答案 C3.图中的阴影部分表示的集合是()A.A(UB)B.B(UA)C.U(AB)D.U(AB)解析 阴影部分的元素属于集合 B 而不属于集合 A，故阴影部分可表示为B(UA).答案 B4.设全集是实数集 R，Mx|2x2，Nx|x1，则(RM)N_.解析 由题可知RMx|x2，故(RM)Nx|x2.答案 x|x25.设 UR，Ax|axb，UAx|x4，则 ab_.解析 UR，Ax|
83、axb，UAx|xb，又UAx|x4，a3，b4，ab7.答案 76.设集合 Ax|2xm3，Bx|3n4x2.若 AB，求实数 m，n 的值.解 由 AB 知，两个集合中的不等式的端点值对应相等，则23n4，m32，解得m5，n2.即实数 m，n 的值分别为 5，2.7.已知集合 Ax|x25x60，Bx|ax60且RARB，求实数 a 的取值集合.解 因为 Ax|x25x60，所以 A2，3.又RARB，所以 BA，所以有 B，B2，B3三种情形.当 B3时，有 3a60，所以 a2；当 B2时，有 2a60，所以 a3；当 B时，有 a0.所以实数 a 的取值集合为0，2，3.8.已知集
84、合 AxR|x4，BxR|2axa3.若 ABA，求实数 a 的取值范围.解 由 ABA，得 BA.当 B时，结合数轴可得2aa3，a34，解得 a4 或 2a3，解得 a3.综上可知，实数 a 的取值范围是x|a2.能 力 提 升9.(2015湖南长郡中学模块检测)已知 Sx|x 是平行四边形或梯形，Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是菱形，Cx|x 是矩形.下列式子不成立的是()A.BCx|x 是正方形B.ABx|x 是邻边不相等的平行四边形C.SAx|x 是梯形D.ABC解析 根据平行四边形和梯形的概念知，选项 D 错误.答案 D10.设 M，P 是两个非空集合，规定 MPx|xM，且
85、xP，根据这一规定，M(MP)等于()A.MB.PC.MPD.MP解析 当 MP时，由图可知：MP 为图中的阴影部分，则 M(MP)显然是 MP；当 MP时，MPM，此时 M(MP)MMx|xM，且 xMMP.答案 D11.50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项.若参加甲项的学生有 30 名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为_.解析 设两项都参加的有 x 人，则只参加甲项的有(30 x)人，只参加乙项的有(25x)人.(30 x)x(25x)50，x5.故只参加甲项的有 25 人，只参加乙项的有 20 人，仅参加一项的有 45 人.答案 4512.定义
86、集合 A*Bx|xA，且 xB.若 A1，2，3，4，5，B2，4，5，则 A*B 的子集个数为_.解析 由题意知 A*Bx|xA，且 xB1，3，故 A*B 的子集有，1，3，1，3.答案 413.已知集合 Ax|x4 或 x1，Bx|3x12.(1)求 AB；(2)若集合 Mx|2k1x2k1A，求实数 k 的取值范围.解(1)因为 Bx|3x12x|2x3，所以 ABx|1x3.(2)因为 MA，所以 2k11 或 2k14，解得 k1 或 k52.故实数 k 的取值范围是kk1或k52.探 究 创 新14.设全集 UR，Ax|3m1x2m，Bx|1x3.若 A(UB)，求实数 m的取值
87、范围.解 易知UBx|x3 或 x1.当 A时，3m12m，即 m1；当 A时，m1，要使 A(UB)，则需满足 2m1 或 3m13，m12或 m43.又 m1，m12.综上，实数 m 的取值范围是m|m12或m1.1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念目标定位 1.理解函数的概念，理解构成函数的三要素.2.掌握区间的表示方法.3.能根据给定的函数解析式及自变量计算函数值，会求一些简单函数的定义域、值域.自 主 预 习1.函数的有关概念函数的概念设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么
88、就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数函数的记法yf(x)，xA 定义域x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域值域函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域温馨提示：如果函数的值域记为 C，定义中集合 B、C 满足 CB.2.区间的概念及表示设 a，bR，且 ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，b x|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|a2用区间表示为_.解析 由 x22 得 x 2，所以集合x|x22用区间表示为(，2)(2，).答案(，2)(2，)类型一 函数概念的理解【例 1】(1)(2016青岛高一检测)给定的下列四个
89、式子中，能确定 y 是 x 的函数的是()x2y21；|x1|y210；y|x|1，xR；y x2 1x.A.B.C.D.(2)(2016台州高一检测)下列图象中表示函数图象的是()解析(1)中对 x 2时，有 y1 与之对应，不表示函数.中 x1 时，有 y1 与之对应，不表示函数.中对任意 xR，有唯一的 y 值对应，表示函数.中，找不到 x 使根式有意义，不表示函数.(2)在四个曲线中，只有 C 中，每一个 x 值有唯一的 y 值与之对应.答案(1)C(2)C规律方法 1.判断所给对应是否为函数的方法：首先观察两个数集 A，B 是否非空；其次验证对应关系下，集合 A 中 x 的任意性，集
90、合 B 中 y 的唯一性，即不能没有数 y 对应数 x，也不能有多于一个的数 y 对应 x.2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤：任取一条垂直于 x 轴的直线 l；在定义域内平行移动直线 l；若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练 1】(1)下列式子中不能表示函数 yf(x)的是()A.xy21 B.y2x21C.x2y6 D.x y(2)下列函数中与函数 yx 相等的是_.y(x)2；y3 x3；y x2；yx2x.解析(1)选项 A 中由 xy21，得 y x1，当 x1 时，任意一个 x 对应两个 y 值，不是函数.
91、其余三个都可以表示为函数 yf(x).(2)y(x)2x(x0)，与函数 yx 的定义域不同，所以两函数不相等.y3 x3x(xR)，与函数 yx 的对应关系相同且定义域也都相同，所以两函数相等.y x2|x|x，x0，x，x0，它的对应关系与函数 yx 不相同，所以两函数不相等.yx2x 的定义域为x|x0，与函数 yx 的定义域不相同，所以两函数不相等.答案(1)A(2)类型二 求函数的定义域 【例 2】(1)函数 y（x1）2x1 1x的定义域是_；(2)函数 yx|x|x的定义域是_.解析(1)要使函数有意义，需满足x10，1x0，即x1，x1，所以函数的定义域为x|x1 且 x1.(
92、2)要使函数有意义，必须满足|x|x0，即|x|x，所以 x0.所以函数的定义域为x|x0.答案(1)x|x1 且 x1(2)x|x1，且 x1.所以这个函数的定义域为x|x1，且 x1.答案(1)x|1x3(2)x|x1，且 x1类型三 求函数值和值域(互动探究)【例 3】已知 f(x)x1x(xR，且 x1)，g(x)x22(xR).(1)求 f(2)、g(2)的值；(2)求 fg(2)的值；(3)求 f(x)、g(x)的值域.思路探究探究点一 已知函数的表达式，如何求函数值？求 fg(a)应遵循什么原则？提示 求 f(a)只需用 a 替换表达式中自变量 x，即可求 f(a)的值，求 fg
93、(a)的值应遵循由里往外的原则.探究点二 对于有理分式函数 f(x)xx1(xR，且 x1)如何求值域？提示 采用分离常数法，转化为“反比例函数”的形式求值域.解(1)因为 f(x)x1x，所以 f(2)21223.又因为 g(x)x22，所以 g(2)2226.(2)fg(2)f(6)61667.(3)f(x)xx1x11x1 1 1x1.易知 f(x)的定义域为x|x1，且 1x10，f(x)1，所以函数 f(x)的值域是(，1)(1，).g(x)x22 的定义域是 R，最小值为 2，所以值域是2，).规律方法 1.已知 f(x)的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f(a)的
94、值；求 fg(a)的值应遵循由里往外的原则；用来替换表达式中 x 的数 a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.2.求函数的值域要根据函数的定义域，函数的具体形式及运算确定值域，主要方法有：观察法：对于一些比较简单的函数，常用观察法.配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.特别指出的是一定要注意定义域的影响.【训练 3】求下列函数的值域：(1)y5x4x1；(2)yx 12x.解(1)y5x4x1 5（x1）9x15 9x1
95、，且 9x10，y5，函数的值域是y|y5.(2)令 u 12x(u0)，则 x12u212，y12u2u1212(u1)21，由图象可知，当 u0 时，y12，函数的值域为，12.课堂小结1.对函数概念的四点说明(1)对数集的要求：集合 A，B 为非空数集.(2)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可.(3)任意性和唯一性：集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性.(4)当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如 yx 与 y3x 的定义
96、域和值域都是 R，但它们的对应关系不同，是不同函数.2.区间和数集的关系(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式.(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等.(3)两点注意：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆；“”作为一个符号，不是具体的数，因此用“”作为区间的端点时，要用开区间符号.3.求简单函数的定义域与值域.(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集.(2)求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.1.下列各式中，函数的个数是()y1；
97、yx2；y1x.yx2 1x.A.4 B.3 C.2 D.1解析 对，符合函数定义，是函数；是二次函数；是一次函数.答案 B2.已知函数 f(x1)2x21，则 f(0)()A.1 B.0 C.1 D.3解析 令 x10，则 x1，所以 f(0)21211.答案 C3.函数 f(x)x11x的定义域是_.解析 由x10，x0，得 x1 且 x0.f(x)的定义域为x|x1，且 x0.答案 x|x1，且 x04.求 f(x)x22x3(5x2)的值域.解 f(x)x22x3(x1)24.因为5x2，结合函数图象，当5x2 时，y 随着 x 的增大而增大，所以 f(5)f(x)f(2)，即12f(
98、x)3.故函数 f(x)的值域是12，3.基 础 过 关1.下列各图中，可表示函数 yf(x)图象的只可能是()解析 根据函数定义，每一个 x 值对应唯一的 y 值，故选 D.答案 D2.函数 f(x)x120|x21|x2的定义域为()A.2，12B.(2，)C.2，12 12，D.12，解析 要使函数式有意义，必有 x120 且 x20，解得 x2 且 x12.答案 C3.下列函数完全相同的是()A.f(x)|x|，g(x)(x)2B.f(s)2s1，g(t)2t1C.f(x)|x|，g(x)x3x2D.f(x)x216x4，g(x)x4解析 A、C、D 的定义域均不同，选项 B 的定义域
99、和对应关系分别相同.答案 B4.如果函数 f：AB，其中 A3，2，1，1，2，3，4，对于任意 aA，在 B 中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为_.解析 由题意知，对 aA，|a|B，故函数值域为1，2，3，4.答案 1，2，3，45.已知函数 f(x)2x3，则 ff(2)f(3)_.解析 因为 f(2)2(2)31，f(3)2339，f(1)2(1)31，所以 ff(2)f(3)f(1)f(3)1910.答案 106.已知函数 f(x)x1x.(1)求 f(x)的定义域；(2)求 f(1)，f(2)的值；(3)当 a1 时，求 f(a1)的值.解(1)要使函数 f(x)有意义
100、，必须使 x0，f(x)的定义域是(，0)(0，).(2)f(1)1 112，f(2)21252.(3)当 a1 时，a10，f(a1)a1 1a1.7.已知函数 yx2x1(1x2)，求函数值域.解 yx2x1122x112x1 12112x1.1x2，12x13，1312x11.因此23y1，故函数的值域为23，18.已知函数 f(x)2xa，g(x)14(x23).若 gf(x)x2x1，求 a 的值.解 f(x)2xa，g(x)14(x23)，gf(x)14(2xa)2314(4x24axa2)3x2ax14(a23).又 gf(x)x2x1，比较系数有14（a23）1，a1，解得 a
101、1.能 力 提 升9.已知函数 yf(x)的定义域为1，5，则在同一坐标系中，函数 f(x)的图象与直线 x1 的交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.0 或 1解析 因为 1 在定义域1，5上，所以 f(1)存在且唯一.答案 B10.若函数 yx24x4 的定义域为0，m，值域为8，4，则 m 的取值范围是()A.(0，2 B.(2，4 C.2，4 D.(0，4)解析 由题意知，函数的对称轴方程为 x2.当 x2 时，y8；当 x0 时，y4，根据二次函数的对称性可知，当 x4 时，y4，故 m 的取值范围是2，4.答案 C11.若 f(x)ax2 2，a 为正常数，且 ff(2)2，则
102、 a_.解析 f(2)a(2)2 22a 2，ff(2)a(2a 2)2 2 2，a(2a 2)20.又a 为正常数，2a 20，a 22.答案 2212.(2016哈尔滨高一检测)已知函数 f(x)的定义域为4，9，则函数 F(x)f(x1)2f(x1)的定义域为_.解析 f(x)的定义域是4，9，要使 F(x)有意义，当且仅当4x19，4x19，解之得 5x8.故函数 F(x)的定义域为5，8.答案 5，813.已知函数 f(x)x21，xR.(1)分别计算 f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.解(1)f(1)f(1)(12
103、1)(1)21220；f(2)f(2)(221)(2)21550；f(3)f(3)(321)(3)2110100.(2)由(1)可发现结论：对任意 xR，有 f(x)f(x)0.证明如下：f(x)(x)21x21f(x)，对任意 xR，总有 f(x)f(x)0.探 究 创 新14.已知函数 y1ax1(a0 且 a 为常数)在区间(，1上有意义，求实数 a的值.解 已知函数 y1ax1(a0 且 a 为常数)，1ax10，a0，xa，即函数的定义域为(，a，函数在区间(，1上有意义，(，1(，a，a1，即 a1，a 的取值范围是(，1.1.2.2 函数的表示法第 1 课时 函数的表示法目标定位
104、 1.掌握函数的三种表示方法解析法、图象法、列表法.2.会求函数解析式，并能用描点法画出一些简单函数的图象.3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.自 主 预 习函数的表示方法温馨提示：(1)不是所有的函数都能用解析法表示；(2)函数的三种表示法各有优缺点，在使用时要根据具体情况合理选用.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示.()(2)函数 f(x)2x(xZ)的图象是直线.()(3)根据函数的解析式就可以画出函数的图象.()提示(1)错，不一定.如：函数的对应关系是：当 x 为有理数时，函数值等于
105、 1，当 x 为无理数时，函数值等于 0.此函数就无法用图象法表示.(2)错，函数 f(x)2x(xZ)的图象是直线 y2x(xR)上的离散的点.(3)对，利用列表、描点、连线这三个步骤就可以做出函数的图象.答案(1)(2)(3)2.已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于()x1x222x4 f(x)123A.1 B.2C.3 D.不存在解析 因为 3(2，4，所以 f(3)3.答案 C3.y 与 x 成反比，且当 x2 时，y1，则 y 关于 x 的函数关系式为()A.y1xB.y1xC.y2xD.y2x解析 设 ykx，由 1k2得，k2.因此，y 关于 x 的函数关系式为 y2x
106、.答案 C4.如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，则 f(f(3)_.解析 由函数的图象知，f(3)1，f(1)2.所以 f(f(3)f(1)2.答案 2类型一 函数的三种表示法【例 1】某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求收款数 y 与售出台数x 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.解(1)列表法如下：x/台12345y/元3 0006 0009 00012 00015 000 x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图象法：如图所示.(3)解析法：y3 000 x，x1，2，3，10.规律方法
107、 列表法、图象法和解析法从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法主要适用于自变量个数较少，并且自变量的取值为孤立的实数.同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.(3)图象法表示要注意是否连线.【训练 1】(2016杭州高一检测)某企业生产某种产品时的能耗 y 与产品件数 x之间适合关系式：yaxbx.且当 x2 时，y100；当 x7 时，y35.且此产品生产件数不超过 10 件.(1)写出函数 y 关于 x 的解析式.(2)用列表法表示此函数.解(1)依题
108、意，得2ab2100，7ab735.解之得 a1，且 b196.因此 yx196x，(xN*，且 0 x10).(2)当 x1，2，3，4，5，10时，列表如下：x12345678910y197100205353221511633565227791485类型二 函数的图象及应用【例 2】作出下列函数的图象：(1)y1x，xZ；(2)y1x；(3)yx24x3，x1，3.解(1)因为 xZ，所以图象为一条直线上的孤立点，如图 1 所示；(2)y1x为反比例函数，其图象如图 2 所示；(3)yx24x3(x2)21，当 x1，3 时，y0；当 x2 时，y1，其图象如图 3 所示.规律方法 1.描
109、点法作函数图象的步骤：(1)列表：取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示.(2)描点：在平面直角坐标系中描出表中相应的点.(3)连线：用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象.2.作函数的图象要注意三点：(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.【训练 2】(1)如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则 f(f(3)的值等于_.(
110、2)作函数 yx22x2(0 x3)的图象并求其值域.(1)解析 由函数的图象知，f(3)1，f(1)2，所以 f(f(3)f(1)2.答案 2(2)解 因为 yx22x2(x1)23，x0，3，所以函数 yx22x2 的对称轴为 x1，顶点为(1，3).函数过点(0，2)，(3，1)，其图象如图所示.由图象知函数的值域为3，1类型三 求函数的解析式(互动探究)【例 3】求下列函数的解析式：(1)已知 f(x1)x2x1，求 f(x)；(2)(2016杭州高一检测)若二次函数 f(x)x2bxc 满足 f(2)f(2)，且方程 f(x)0 的一个根为 1.求函数 f(x)的解析式.思路探究探究
111、点一 你能否把 f(x1)配凑出“x1”的形式？提示 将 f(x1)的右端“配方，变形”化为“x1”的结构，利用代换法求 f(x).探究点二 第(2)题中，f(2)f(2)，揭示出函数 f(x)的图象的什么特征？提示 揭示函数 f(x)的图象的对称性，可求得对称轴为 x0.解(1)令 x1t，则 xt1，f(t)(t1)2(t1)1t2t1，f(x)x2x1.(2)f(x)x2bxc，且 f(2)f(2)，函数 yf(x)的图象关于直线 x0 对称.因此b20，则 b0.又 f(x)0 的一个根为 1，f(1)1c0，c1.故函数 f(x)x21.规律方法 1.对于已知 fg(x)的表达式，求
112、 f(x)常用“换元法”，需特别说明一点需保证换元前后自变量的范围不变！如果 fg(x)的结构简单，也可凑出“g(x)”，进而确定函数解析式.2.已知函数类型求解析式可用待定系数法.设出函数的解析式，依据条件列出方程(组)，求出待定参数.【迁移探究 1】把本例中(1)换成 f(x1)x2 x，求 f(x).解 令 x1t，则 xt1(t1)，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1).【迁移探究 2】将本例(2)中条件改为：二次函数 f(x)的图象过点 A(0，5)，B(5，0)，其对称轴为 x2，求其解析式.解 因为二次函数 f(x)的图象关于 x2 对称，所以设二次函数的解
113、析式为 f(x)a(x2)2k(a0).把(0，5)，(5，0)分别代入上式得54ak，09ak，解得a1，k9.所以 f(x)的解析式 f(x)(x2)29.课堂小结1.函数三种表示法的内在联系(1)分别从三个不同角度刻画了自变量与函数值的对应关系(2)在已知函数的解析式研究函数的性质时，可以先由解析式确定函数的定义域，然后通过取一些有代表性的自变量的值与对应的函数值列表，描点，连线作出函数的图象，利用函数图象形象直观的优点，能够帮助我们了解概念和有关性质.2.画函数的图象一般还是采用列表、描点、连线的描点法，主要解决两个问题：位置和形状.函数图象位置的确定是以它的定义域为主要依据；函数图象
114、形状的刻画是依据对应法则而定的.3.求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法；(2)换元(配凑)法；(3)构造方程法：当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反或者互为倒数关系时，构造方程组求解.1.若 f(x)2x3，g(x2)f(x)，则 g(x)的表达式为()A.2x1 B.2x1C.2x3 D.2x7解析 g(x2)2x32(x2)1，所以 g(x)2x1.答案 B2.函数 yf(x)的图象如图，则 f(x)的定义域是()A.RB.(，1)(1，)C.(，0)(0，)D.(1，0)解析 由函数的图象知，xR 且 x0.f(x)的定义域为(，0)(0，).答案 C3.已知函数 yf(x
115、)由表格给出，若 f(a)3，则 a_.x312y231解析 由 yf(x)的表格及 f(a)3 知 a1.答案 14.已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x)的解析式.解 设 f(x)ax2bxc(a0)，因为 f(0)1，所以 c1.又因为 f(x1)f(x)2x，所以 a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.整理得：2ax(ab)2x.由恒等式性质知上式中对应项系数相等.所以2a2，ab0，解得 a1，b1，所以 f(x)x2x1.基 础 过 关1.若二次函数的图象开口向上且关于直线 x1 对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可能为
116、()A.f(x)x21 B.f(x)(x1)21C.f(x)(x1)21 D.f(x)(x1)21解析 设 f(x)(x1)2c，由于点(0，0)在图象上，所以 f(0)(01)2c0，所以 c1，所以 f(x)(x1)21.答案 D2.已知函数 yf(x)的对应关系如下表，函数 yg(x)的图象是如图的曲线 ABC，其中 A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则 f(g(2)的值为()x123 f(x)230A.3 B.2 C.1 D.0解析 由函数 yg(x)的图象知，g(2)1，根据 yf(x)的对应表格知 f(1)2，因此 f(g(2)f(1)2.答案 B3.若 2f(x)f 1x
117、 2x12(x0)，则 f(2)()A.52B.25C.43D.34解析 令 x2，得 2f(2)f 12 92；令 x12，得 2f 12 f(2)32.消去 f 12，得f(2)52.答案 A4.某班连续进行了 5 次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是_，值域是_.次数12345分数8588938695 解析 本题实际上是由列表法给出函数，由表格可知函数定义域是1，2，3，4，5，值域是85，88，93，86，95.答案 1，2，3，4，5 85，88，93，86，955.已知 f(x)是一次函数，且其图象过点 A(2，0)，B(1，5)两点，则 f(x)_.解析
118、 据题意设 f(x)axb(a0)，又图象过点 A(2，0)，B(1，5).所以2ab0，ab5，解得 a53，b103.所以 f(x)53x103.答案 53x1036.判断右面的图象是否为函数？如果是，求出定义域、值域和解析式.解 是.观察图象知函数的定义域为1，2，值域为1，1.当1x0 时，设 f(x)axb(a0)，则0ab，1b，a1，b1，f(x)x1；当 0 x2 时，设 f(x)kx(k0)，则12k，k12，f(x)12x.综上所述，f(x)x1，1x0，12x，00，l2xx20，解得 0 xl2，定义域为x|0 xl2.能 力 提 升9.如图，ABC 为等腰直角三角形，
119、ABC90.直线 l 与 AB 相交.且 lAB，直线 l 截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为 y.点 A 到直线 l 的距离为x.则 yf(x)的图象大致为()解析 设等腰直角ABC 的直角边长为 a，依题意，yf(x)a22 x22，0 xa.所以 yf(x)的图象是开口向下的二次函数的一段.答案 C10.已知 f(x)3f(x)2x1，则 f(x)的解析式是()A.f(x)x14B.f(x)2x14C.f(x)x14D.f(x)x12解析 因为 f(x)3f(x)2x1，所以把中的 x 换成x 得 f(x)3f(x)2x1.由解得 f(x)x14.答案 C11.已知 f(x)是一
120、次函数，且满足 3f(x1)f(x)2x9，则函数 f(x)的解析式为_.解析 设 f(x)axb(a0)，则由 3f(x1)f(x)2x9 得 3a(x1)b(axb)2x9，即 2ax32b2x9，比较对应项系数得2a2，32b9，解得a1，b3，所以 f(x)x3.答案 f(x)x312.已知函数 f(2x1)3x2，且 f(a)4，则 a_.解析 令 2x1t，则 xt12.将 xt12 代入 f(2x1)3x2 得 f(t)3t12 232t12.f(a)32a12.又 f(a)4，32a124，a73.答案 7313.画出二次函数 f(x)x22x3 的图象，并根据图象回答下列问题
121、：(1)比较 f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若 x1x2f(0)f(3).(2)由图象可以看出，当 x1x21 时，函数的图象由左至右呈上升趋势.函数 f(x)的函数值随着 x 的增大而增大，所以 f(x1)f(x2).(3)由图象可知二次函数 f(x)的最大值为 f(1)4，则函数 f(x)的值域为(，4.探 究 创 新14.设 f(x)是 R 上的函数，且满足 f(0)1，并且对任意实数 x，y 有 f(xy)f(x)y(2xy1)，求 f(x)的解析式.解 因为对任意实数 x，y，有 f(xy)f(x)y(2xy1)，所以令 yx，有 f(0)f(x)x(2xx1)，即 f(
122、0)f(x)x(x1).又 f(0)1，所以 f(x)x(x1)1x2x1.第 2 课时 分段函数及映射目标定位 1.理解分段函数的本质，能用分段函数解决一些简单的数学问题.2.了解映射概念，了解函数是一种特殊的映射，并能根据映射的概念判别哪些对应关系是映射.自 主 预 习1.分段函数在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.它的图象由几条曲线共同组成.温馨提示：分段函数不是由几个不同的函数构成的.分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区间上对应关系不同，所以分段函数是一个函数.2.映射的概念设 A，B 是两个非空的集合，如果按某
123、一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.温馨提示：函数是一种特殊的映射，是定义在非空数集 A 和 B 上的映射.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.()(2)从映射 f：AB 的角度理解函数，A 就是函数的定义域，函数的值域 CB.()(3)函数 yx21，x（2，0，2x1，x（0，2的值域是(1，5).提示(1)对，由分段函数的概念知，这个说法正确.(2)对，由映射
124、的概念知，这个说法正确.(3)错，当 x(2，0时，y1，3)；当 x(0，2时，y(0，5，所以函数的值域为1，3)(0，51，5.答案(1)(2)(3)2.函数 y|x|的图象是()解析 因为 y|x|x，x0，x，x0，则 f(2)f(2)_.解析 f(2)f(2)0(2)24.答案 4类型一 分段函数求值问题【例 1】(1)若 f(x)x2 （x0），x（x0），则 f(f(2)()A.2 B.3 C.4 D.5(2)已知 f(x)x21（x0），2x（x0），若 f(x)10，则 x_.解析(1)因为20，所以 f(2)(2)2，所以 f(f(2)f(2)224.(2)当 x0 时，
125、f(x)x2110，解得 x3(舍去)或 x3；当 x1.(1)求 f(f(2)；(2)若 f(a)1，求 a 的值.解(1)21，f(2)2311，f(f(2)f(1)112.(2)f(a)1，当 a1 时，由 a11，得 a01，符合要求；当 a1 时，由a31，得 a21，符合要求.综上所述，a0 或 2.类型二 映射的概念及运用 【例 2】(1)下列对应能构成从 A 到 B 映射的是()ABN*，f：x|x2|；Ax|x2，xN，By|y0，yZ，f：xyx22x3；A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系 f：作圆的内接矩形；A高一一班的男生，B男生的身高，对应关系 f：每个男生对应自
126、己的身高.A.B.C.D.(2)设集合 AB(x，y)|xR，yR，从 A 到 B 的映射 f：(x，y)(x2y，2xy).在映射下，B 中的元素(1，1)对应 A 中的元素()A.(1，3)B.(1，1)C.35，15D.12，12解析(1)中，当 x2 时，在 B 中没有元素与之对应，不是映射.中，f：xy(x1)23 对 A 中任意元素，在 B 中有唯一元素与之对应，这个对应是映射.中，平面内的圆的内接矩形不唯一，这个对应不是映射.中，A 中的每名男生，在 B 中有唯一的身高对应，是映射.(2)依据映射的定义，x2y1，2xy1.解之得 x35且 y15.B 中的元素(1，1)对应 A
127、 中的元素为35，15.答案(1)C(2)C规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键(1)对于 A 中的任意一个元素，在 B 中是否有元素与之对应.(2)B 中的对应元素是不是唯一的.提醒“一对一”或“多对一”的对应才可能是映射.2.求对应元素的两种类型及处理思路(对映射 f：AB)(1)若已知 A 中的元素 a，求 B 中与之对应的元素 b，这时只要将元素 a 代入对应关系 f 求解即可.(2)若已知 B 中的元素 b，求 A 中与之对应的元素 a，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个.【训练 2】已知集合 AR，B(x，y)|x，yR，f：AB 是从集合 A 到
128、集合B 的映射，即 f：x(x1，x21)，则集合 A 中的元素 2对应集合 B 中的元素为_；集合 B 中的元素32，54 对应集合 A 中的元素为_.解析 将 x 2代入对应关系得(21，3).由x132，x2154，解得 x12.故 2对应集合 B 中的元素为(21，3)，32，54 对应集合 A 中的元素为12.答案(21，3)12类型三 分段函数的图象及解析式(互动探究)【例 3】已知函数 f(x)1|x|x2(2x2).(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域.思路探究探究点一 用分段函数表示 f(x)的关键是什么？提示 根据绝对值定义，分区
129、间讨论去绝对值符号，表示 f(x).探究点二 如何画出分段函数的图象？提示 画分段函数图象时，先画出分段函数在每个子区间内的各自图象，然后处理好各段的端点处的图象虚实问题.解(1)当 0 x2 时，f(x)1xx2 1；当2x0 时，f(x)1xx21x.所以 f(x)1，0 x2，1x，2x0，(2)函数 f(x)的图象如图所示.(3)由函数的图象，当 0 x2 时，y1；当2x0 时，1y3.所以 f(x)在定义区间(2，2上的值域是1，3).规律方法 1.分段函数图象的画法：(1)对含有绝对值的函数，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.(2)
130、作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，特别注意定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，断开时要分清断开处是实心点还是空心点.2.(1)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成.(2)由分段函数的图象确定解析式，根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型，利用待定系数法求解；最后用“”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.【训练 3】“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达 2 000 亿元，给我国农业造成的损失达 1
131、 500 亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过 5 吨时，每吨水费 1.2 元，若超过 5 吨而不超过 6 吨时，超过的部分的水费按原价的 200%收费，若超过 6 吨而不超过 7 吨时，超过部分的水费按原价的 400%收费，如果某人本季度实际用水量为 x(x7)吨，试计算本季度他应交的水费 y(单位：元).解 由题意知，当 0 x5 时，y1.2x，当 5x6 时，y1.25(x5)1.222.4x6.当 6x7 时，y1.25(65)1.22(x6)1.244.8x20.4.所以 y1.2x，0 x5，2.4x6，5x6，
132、4.8x20.4，6x7，课堂小结1.对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合 A 和 B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合.(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.2.理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.书写时，用大括号把各分段函数合并成一个函数形式，并且要注明各段函数自变量的取值范围.(2)分段函数求值要找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后再求值.(3)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.1.若 A2，4，6，8，B1，3，5
133、，7，下列对应关系f：x92x；f：x1x；f：x7x；f：xx9 中，能确定 A 到 B的映射的是()A.B.C.D.解析 结合映射定义，对和x2 在 f 作用下 B 中无元素与之对应，故不能确定从 A 到 B 的映射.答案 D2.函数 y|x|x x 的图象是()解析 y|x|x xx1，x0.又 x1 时，y2；x1 时，y2，结合函数图象，只有 D 满足.答案 D3.设函数 f(x)x21，x12x，x1，则 ff(2)_.解析 因为 f(2)(2)215，所以 ff(2)f(5)25.答案 254.已知 f(x)x2（1x1），1（x1）.(1)画出 f(x)的图象；(2)求 f(x
134、)的定义域和值域.解(1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示.(2)由条件知，函数 f(x)的定义域为 R.由图象知，当1x1时，f(x)x2 的值域为0，1，当 x1 或 x0，f（x1），x0，则 f43 f43 的值等于()A.2 B.4 C.2 D.4解析 f 43 24383，f 43 f 431 f 13 f 131 f 23 43，f 43 f 43 83434.答案 B3.已知函数 f(x)3x2，x1，x2ax，x1.若 ff(0)4a，则实数 a 的值为()A.2 B.1 C.3 D.4解析 易知 f(0)2，所以 ff(0)f(2)42a4a，所以 a2.答案 A
135、4.设 f：xax1 为从集合 A 到集合 B 的映射，若 f(2)3，则 f(3)_.解析 由 f(2)3 可知，2a13，a2，f(3)3a13215.答案 55.函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(x)的解析式是 f(x)_.解析 当 0 x1 时，f(x)2x；当 1x2 时，f(x)2；当 x2时，f(x)3.故 f(x)2x，0 x1，2，1x2，3，x2.答案 2x，0 x1，2，1x2，3，x26.已知函数 f(x)x2，x1，x2，1x2，2x，x2，若 f(a)3，求 a 的值.解 因为 f(x)x2，x1，x2，1x2，2x，x2，所以当 x1 时，f(x)1；当1
136、x2 时，0f(x)4.当 x2 时，f(x)4，又因为 f(a)3，所以 f(a)a23，且1a1，故实数 k 的取值范围是(1，).8.某市出租车的计价标准是：4 km 以内 10 元，超过 4 km 且不超过 18 km 的部分1.2 元/km，超过 18 km 的部分 1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了 20 km，他要付多少车费？解(1)设车费为 y 元，出租车行驶里程为 x km.由题意知，当 0 x4 时，y10；当 418 时，y101.2141.8(x18)1.8x5.6.所以，所求函数关系式为y10.0
137、x4，1.2x5.2，418.(2)当 x20 时，y1.8205.630.4.所以乘车行驶了 20 km 要付 30.4 元的车费.能 力 提 升9.下列集合 M 到集合 P 的对应 f 是映射的是()A.M2，0，2，P4，0，4，f：M 中数的平方B.M0，1，P1，0，1，f：M 中数的平方根C.MZ，PQ，f：M 中数的倒数D.MR，Px|x0，f：M 中数的平方解析 根据映射的概念，只有选项 A 中满足对 M 中任意元素，在 P 中有唯一元素与之对应.答案 A10.函数 f(x)2xx2（0 x3），x26x（2x0）的值域为()A.RB.9，)C.8，1 D.9，1解析 当 0
138、x3 时，f(x)(x1)21，3f(x)1.当2x0 时，f(x)x26x(x3)29，8f(x)0，因此函数 f(x)的值域为8，1.答案 C11.设函数 f(x)12x1，x0，1x，x0，若 f(a)a，则实数 a 的值是_.解析 当 a0 时，f(a)a21a，得 a2(舍去).当 a0 时，f(a)1aa，得 a1，a1 不满足 a0，舍去，所以 a1.答案 112.若定义运算 abb，ab，a，ab，则函数 f(x)x(2x)的解析式是_.解析 当 x2x，即 x1 时，f(x)x；当 x2x，即 x1 时，f(x)2x.所以 f(x)x，x1，2x，x1.答案 f(x)x，x1
139、，2x，x113.已知函数 f(x)2x2，x1，0，12x，x（0，2），3，x2，）.(1)求 f(1)，f 32，f(4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解(1)易知 f(1)0，f 32 123234，f(4)3.(2)作出图象如图所示.利用“数形结合”，易知 f(x)的定义域为1，)，值域为(1，23.探 究 创 新14.如图所示在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P，沿着折线 BCDA 由点 B(起点)向 A(终点)运动.设点 P 运动的路程为x，APB 的面积为 y.求：(1)y 与 x 之间的函数关系式；(2)画出 yf(x)的图象.解(1)当点 P 在线段 BC
140、 上运动时，SAPB124x2x(0 x4).当点 P 在线段 CD 上运动时，SAPB12448(4x8).当点 P 在线段 AD 上运动时，SAPB124(12x)242x(8x12)y 与 x 之间的函数关系式为 y2x （0 x4），8 （4x8），242x（8f(1).()提示(1)如 yx2 在(，)不具有单调性，不正确.(2)当 f(x)1x时，f(1)0，a12.答案 A4.如下图所示为函数 yf(x)在4，7的图象，则函数 f(x)的单调递增区间是_.解析 由图象知，yf(x)在区间4，2与4，7上图象均上升.因此 f(x)的增区间是4，2，4，7.答案 4，2，4，7类型一
141、 求函数的单调区间【例 1】画出函数 yx1，x1，12x2，x1 的图象，并指出函数的单调区间.解 作函数 yx1，x1，12x2，x1 的图象(如图)，由左至右，函数在区间(，1，(1，0 上图 象均上升，在区 间(0，)上图象 下降.因此 yx1，x1，12x2，x1 的单调增区间是(，1，(1，0)；单调减区间为0，).规律方法 1.(1)本题求解的关键是画出分段函数的图象，结合图象的形状、位置，观察图象由左至右的“升降”变化趋势，确定函数的单调区间，体现了数形结合的思想.(2)本题也可以利用一次函数、二次函数的单调性求出单调区间.2.若函数的单调增区间不唯一，特别注意单调区间要分开表
142、示，中间用逗号“，”隔开，切莫用“”连接.【训练 1】某地一天内的气温 Q(t)(单位：)与时刻 t(单位：小时)之间的关系如下图所示，研究函数 Q(t)在定义域内的单调性，写出其单调区间.解 由图象可知，Q(t)的图象在0，4，12，24上均下降，在4，12上上升.函数 Q(t)的单调减区间是0，4，12，24；单调增区间是4，12.类型二 函数单调性的判断或证明 【例 2】判断函数 f(x)x4x在区间(2，)上的单调性，并加以证明.解 函数 f(x)在(2，)上是增函数，证明如下：任取 x1，x2(2，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x14x1x24x2(x1x2)4（x2x1
143、）x1x2（x1x2）（x1x24）x1x2因为 2x1x2，所以 x1x24，x1x240，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2).所以函数 f(x)x4x在(2，)上是增函数.规律方法 1.利用定义证明函数单调性的步骤 2.判断函数的单调性除用定义外，还常利用函数图象直观判断或利用我们熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性进行判断.【迁移探究】(变换条件)将本例中区间“(2，)”改为(0，2)，判断函数 f(x)的单调性.解 函数 f(x)在区间(0，2)上是减函数，证明如下：任取 x1，x2(0，2)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x14x1x24x2(x1
144、x2)4（x2x1）x1x2（x1x2）（x1x24）x1x2，因为 0 x1x22，所以 x1x20，0 x1x24，x1x240，即 f(x1)f(x2).【训练 2】证明函数 f(x)xx1在区间(1，)上是增函数.证明 任取 x1，x2(1，)，且 x1x11.所以 x1x20，因此 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(1，)上为增函数.类型三 函数单调性的简单应用(互动探究)【例 3】已知 yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，求 a 的取值范围.思路探究探究点一 如何将抽象不等式 f(1a)f(2a1)转化为自变量取值的
145、不等式？提示 利用单调性“脱去”函数符号“f”，若 yf(x)在定义域 D 上是增函数，f(x1)f(x2)x1x2(x1，x2D).探究点二 求解该题，函数的定义域(1，1)有什么作用？提示 本例“1a”与“2a1”必须在 f(x)的定义域内取值，要受到定义域的制约.解 由题意可知11a1，12a11，解得 0a1.又 f(x)在(1，1)上是减函数，且 f(1a)2a1，即 a23，由可知，0a23，故所求 a 的取值范围是0，23.规律方法 1.研究函数问题，特别是研究函数的单调性时，要树立定义域优先的原则，如本例 1a 与 2a1 必须在函数 yf(x)的定义域(1，1)内.2.本题是
146、函数单调性的逆向应用，体现了等价转化思想.增函数、减函数的定义中蕴含了在定义区间内自变量的不等式关系与相应函数值不等关系的相互转化，这一点要紧紧依赖函数的增减性.【训练 3】已知函数 f(x)x22(a1)x2.(1)若 f(x)在区间4，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 yf(x)的单调增区间是4，)，则实数 a 为何值？解(1)f(x)x22(a1)x2x(a1)22(a1)2二次函数 f(x)的图象关于直线 x1a 对称.因此 f(x)的单调增区间是1a，)，又 f(x)在4，)上是增函数，1a4，解得 a3，故实数 a 的取值范围为3，).(2)由(1)知 yf(x)的增
147、区间为1a，)又 yf(x)的单调增区间是4，)，1a4，从而 a3，因此实数 a 的值为3.课堂小结1.函数单调性理解应注意以下几点：(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集.(2)定义中 x1，x2 同属一个单调区间，且是某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换，一般令 x1x2.2.判断函数的单调性可用定义法、图象法，或已知函数的单调性，但要证明函数的单调性只能依据定义.3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如 f(x)在 D 上递增，则 f(x1)f(x2)x1x2.二是数形结合意识：如处理一(
148、二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.4.(1)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接.如函数 y1x在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数 y1x在(，0)(0，)上单调递减.(2)“函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”不同，前者指函数单调区间的最大范围为 I，而后者指“该区间”是相应单调区间的子区间.如训练 3，一定要仔细明确条件的含义.1.在如下图所示的函数图象中，满足在(0，2)上是增函数的是()解析 由图象知，B 项中，yf(x)在(0，2)上是增函数.答案 B2.函数 f(x)在 R 上是减函数，则有()A.f(
149、1)f(3)D.f(1)f(3)解析 因为函数 f(x)在 R 上是减函数，且1f(3).答案 C3.函数 f(x)1x，01的减区间是_.解析 由反比例函数性质，y1x在(0，1上是减函数.所以 f(x)的减区间(0，1.答案(0，14.作出函数 f(x)x3 （x1），（x2）23 （x1）的图象，并指出函数的单调区间.解 f(x)x3 （x1），（x2）23 （x1）的图象如图所示.由图可知：函数的单调减区间为(，1和(1，2)；单调增区间为2，).基 础 过 关1.已知0，3是函数 f(x)定义域内的一个区间，若 f(1)f(2)，则函数 f(x)在区间0，3上()A.是增函数B.是减
150、函数C.既是增函数又是减函数D.单调性不确定解析 由于仅知道 f(1)f(2a)B.f(a2)f(6)C.f(a2a)f(a)D.f(a1)a2，f(a1)f(a2).答案 D4.函数 f(x)1|x|的单调递减区间是_.解析 f(x)1x，x0，1x，xf(1)的实数 x 的取值范围是_.解析 因为 f(x)在 R 上是减函数，且 f(2x1)f(1)，所以 2x11，即 x1.答案(，1)6.判断并证明函数 f(x)1x1 在(0，)上的单调性.解 函数 f(x)1x1 在(0，)上是增函数.证明如下：设 x1，x2 是(0，)上的任意两个实数，且 x10，又由 x1x2，得 x1x20.
151、于是 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2).所以 f(x)1x1 在(0，)上是增函数.7.作出函数 yx22|x|3 的图象，并根据函数的图象求出单调减区间.解 yx22|x|3（x1）24，x0，（x1）24，x0.函数图象如图所示.根据图象知，函数的单调减区间是1，0和1，).8.已知 f(x)是定义在区间1，1上的增函数，且 f(x2)f(1x)，求 x 的取值范围.解 由题意，得1x21，11x1，解得 1x2.因为 f(x)是定义在区间1，1上的增函数，且 f(x2)f(1x)，所以 x21x，解得 x32.由得 1x0，则 f(3)与 f()的大小关系是_.解析 由题
152、设，f(x)在(，)上是增函数，又3，因此 f(3)f().答案 f(3)f()12.已知函数 f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则实数 a 的值等于_.解析 当 xa2时，f(x)2xa 是增函数.当 xa2时，f(x)2xa 是减函数.因此a23，a6.答案 613.已知函数 f(x)xmx，且函数的图象过点(1，0).(1)求实数 m 的值；(2)试证明 f(x)在(0，)上是增函数.(1)解 函数 f(x)xmx的图象过点(1，0).f(1)0，即 1m0，则 m1.(2)证明 由 m1，知 f(x)x1x，设任取 x1，x2(0，)，且 x1x2.则 f(x2)f(x1)x21
153、x2x11x1(x2x1)x2x1x1x2(x2x1)1 1x1x20 x10，x1x20，1 1x1x20，因此 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，所以 f(x)在(0，)上是增函数.探 究 创 新14.已知函数 f(x)x2，x1，4a2 x1，x1.(1)若 f(2)f(1)，求 a 的值；(2)若 f(x)是 R 上的增函数，求实数 a 的取值范围.解(1)因为 f(2)f(1)，所以 224a21，所以 a2.(2)当 x1 时，f(x)x2 是增函数，若 f(x)是 R 上的增函数，则 f(x)4a2 x1 在(，1上是增函数，且满足4a2 1112，因此4a20，
154、4a211，解得 4a0)在2，4上的最小值为 5，则 k_.解析 因为 k0，所以函数 ykx在2，4上是减函数，所以当 x4 时，yk4最小，由题意知k45，k20.答案 20类型一 利用图象求函数的最值【例 1】已知函数 f(x)x2，1x1，1x，x1.求 f(x)的最大值、最小值.解 作出函数 f(x)的图象(如图).由图象可知，当 x1 时，f(x)取最大值为 f(1)1.当 x0 时，f(x)取最小值 f(0)0，故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0.规律方法 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上
155、的最值，再比较即得函数的最大值、最小值.2.如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值.【训练 1】画出函数 yx|x1|的图象，并求其最值.解 yx|x1|1，x1，2x1，xa 恒成立，求 a 的取值范围.解(1)任取 x1，x22，)，且 x1x12，所以 x1x24，则 1 3x1x20.从而(x1x2)1 3x1x2 0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)a 恒成立，只须 f(x)mina，得 a112.即a 的取值范围是，112.规律方法 1.函数的最值与单调性的关系：(1)若 f(x)在a，b上是减函数，则
156、 f(x)在a，b上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；(2)若 f(x)在a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a).2.利用函数的单调性求最值，要熟练掌握一些常见函数的基本性质.【训练 2】判断函数 f(x)xx1在区间2，5上的单调性并求其最大值与最小值.解 任取 x1，x22，5，且 x1x2，则 f(x1)x1x11，f(x2)x2x21，f(x2)f(x1)x2x21 x1x11x1x2（x21）（x11），x1，x22，5，x1x2，x1x20，x110，f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)xx1在区间2，5上是减函数
157、.f(x)maxf(2)2212，f(x)minf(5)55154.类型三 二次函数的最大(小)值(互动探究)【例 3】已知二次函数 f(x)的图象过点 A(1，0)、B(3，0)、C(1，8).(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在 x0，3上的最值.思路探究探究点一 由二次函数的图象过点 A(1，0)、B(3，0)，你应该选择什么样的形式求 f(x)的解析式？提示 利用待定系数法，设出二次函数的零点式较简单.探究点二 如何求 f(x)在 x0，3上的最值？提示 根据 yf(x)图象的对称轴与区间0，3的位置关系，利用二次函数的单调性求解.解(1)由题意可设 f(x)a(x1)(x
158、3)，将 C(1，8)代入得8a(11)(13)，得 a2.故 f(x)2(x1)(x3)2x24x6.(2)f(x)2(x1)28，x0，3，由二次函数的图象知对称轴 x10，3，f(x)在0，1上是减函数，在1，3上是增函数，因此 f(x)minf(1)8.又 f(0)6，f(3)0，故 f(x)maxf(3)0.所以 f(x)的最大值为 0，最小值为8.规律方法 1.探求二次函数在给定闭区间上的最值问题，一般要先作出 yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.如果对称轴与给定区间相对位置不定，注意分类讨论.2.要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上
159、最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.【迁移探究 1】若将例题第(2)中“x0，3”变为“x(，1”，其他条件不变，求 f(x)的最值.解 由例题，f(x)2(x1)28，由二次函数的图象知，对称轴为 x1，因此 yf(x)在(，1上是减函数，故 f(x)minf(1)8，f(x)没有最大值.【迁移探究 2】(将定区间改为动区间)设函数 yx22x，x2，a，若函数的最小值为 g(x)，求 g(x).解 因为函数 yx22x(x1)21，所以对称轴为直线 x1，因为 x1 不一定在区间2，a内，所以应进行讨论.当21 时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1
160、 时，y取得最小值，即 ymin1.综上，g(x)a22a，21.类型四 函数最值的实际应用【例 4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)400 x12x2（0 x400），80 000 （x400）.其中 x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000100 x，从而 f(x)12x2300 x20 000（0 x400）.60 000100 x（x400）.(2)
161、当 0 x400 时，f(x)12(x300)225 000；所以当 x300 时，f(x)max25 000，当 x400 时，f(x)60 000100 x 是减函数，f(x)60 0001004005假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数 yf(x)的解析式(利润销售收入总成本).(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？解 (1)由 题 意 得G(x)2.8 x，所 以f(x)R(x)G(x)0.4x23.2x2.8，0 x5，8.2x，x5.(2)当 x5 时，因为函数 f(x)单调递减，所以 f(x)f(5)3.2(万元).
162、当 0 x5 时，函数 f(x)0.4(x4)23.6.当 x4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)，所以当工厂生产 4 百台产品时，可使赢利最大为 3.6 万元.课堂小结1.对函数最值的三点说明(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数 yx2(xR)的最小值是 0，有 f(0)0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)M(f(x)M)成立，也就是说，函数 yf(x)的图象不能位于直线 yM 的上(下)方.(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说
163、yf(x)的图象与直线 yM 至少有一个交点.2.函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素.(1)函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值.(2)如果函数 f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则 f(x)在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值.3.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处
164、取得.1.函数 f(x)的部分图象如图所示，则该函数在2，3上的最小值、最大值分别是()A.f(2)，f(3)B.0，2C.f(2)，2D.f(2)，2解析 由图象可知，x2 时，f(x)取得最小值为 f(2)，x3 时，f(x)取得最大值 f(3)3.答案 A2.已知函数 f(x)1x在区间1，2上的最大值为 A，最小值为 B，则 AB 等于()A.12B.12C.1 D.1解析 可知函数 f(x)1x在1，2上单调递减.Af(1)1，Bf(2)12，AB12.答案 A3.函数 f(x)x24xa 在区间(3，3)上的最小值为_.解析 f(x)x24xa(x2)2a4，因为3x3，所以 f(
165、x)在(3，3)上的最小值为 f(2)a4.答案 a44.已知函数 f(x)x12x，x3，5.(1)用定义证明函数 f(x)在区间3，5上的单调性；(2)求函数 f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)在区间3，5上是增函数.证明：设 x1，x2 是区间3，5上的两个任意实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x112x1x212x23（x1x2）（2x1）（2x2）.3x1x25，x1x20，2x10，2x20，f(x1)f(x2)，f(x)在区间3，5上是增函数.(2)f(x)在区间3，5上是增函数，当 x3 时，f(x)取得最小值为4，当 x5 时，f(x)取得最大值为2.基 础
166、 过 关1.函数 y 1x3在区间4，5上的最小值为()A.2 B.12C.13D.12解析 作出图象可知 y 1x3在区间4，5上是减函数，所以其最小值为 15312.答案 B2.已知函数 f(x)x24xa，x0，1，若 f(x)的最小值为2，则 f(x)的最大值为()A.1 B.0 C.1 D.2解析 f(x)(x2)2a4，f(x)在0，1上单调递增.f(x)minf(0)a2，f(x)maxf(1)1421.答案 C3.函数 f(x)2x4，1x2，x5，1x0 时，由题意得 2a1(a1)2，即 a2；a1，即 a1 时 f(x)在0，1上是增函数，在1，t上是减函数，所以 f(x
167、)的最大值为 f(1)1.综上知 f(x)的最大值为 f(x)max1，t1，t22t，t1.1.3.2 奇偶性目标定位 1.结合具体函数，理解函数奇偶性的含义，会判断简单函数的奇偶性.2.了解奇(偶)函数图象的对称性，会利用函数的奇偶性解决一些简单问题.自 主 预 习1.函数奇偶性的概念(1)偶函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数.如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数 f(x)具有奇偶性.温馨提示
168、：注意函数奇偶性定义中 x 的任意性，不能认为某个(或某些)x 使定义中的等式成立，这个函数就是奇函数或偶函数.2.奇偶函数的图象对称性(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来，若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象关于 y 轴对称.反过来，若一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数.3.奇偶性与单调性(1)奇函数在区间a，b和b，a(ba0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间a，b和b，a(ba0)上有相反的单调性.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)0 既是奇函数又是偶函数.()(2)若函数 yf(x)满足 f(
169、x)f(x)0，则 yf(x)是偶函数；若函数 yf(x)满足 f(x)f(x)0，则 yf(x)是奇函数.()(3)对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(2)f(2)，则函数 f(x)一定是偶函数.()提示(1)错，f(x)0 在定义域需关于原点对称的情况下既是奇函数又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为 f(x)0 且其定义域是关于原点对称的非空数集.(2)对，因为 yf(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0；yf(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0.(3)错，仅有 f(2)f(2)，不足以确定函数的奇偶性，不满足定义中的“任意”，故不一定是偶
170、函数.答案(1)(2)(3)2.函数 f(x)x3(x(2，2)的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析 函数 f(x)x3(x(2，2)的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数.答案 D3.下列函数中，既是奇函数又在(0，)上是增函数的为()A.yx1 B.yx|x|C.y1xD.yx3解析 由函数的奇偶性排除 A，由函数的单调性排除 C、D，由 yx|x|的图象可知当 x0 时此函数为增函数，又该函数为奇函数.答案 B4.若函数 f(x)ax22 在3a，5上是偶函数，则 a_.解析 由题意可知 3a5，a8.答案 8类型一 函数奇偶性的判断【
171、例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2 2x；(2)f(x)1x2|x2|2；(3)f(x)x1，x0，x1，x0，则 f(x)1x2|x2|2 1x2x.f(x)1（x）2x 1x2xf(x)，f(x)1x2|x2|2是奇函数.(3)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称.当 x0 时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当 x0，f(x)1(x)1xf(x).综上可知，对于 x(，0)(0，)，都有 f(x)f(x)，f(x)为偶函数.规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤：先求定义域，看是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，再判断 f(x)f(x)或 f(x)f(
172、x)是否恒成立.2.若已知函数的图象或可以作出函数的图象，则观察图象是否关于原点或 y 轴对称，依此判断函数的奇偶性.【训练 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)32|x|；(2)f(x)x21 1x2；(3)f(x)2xx3.解(1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)32|x|32|x|f(x)，f(x)为偶函数.(2)函数 f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且 f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数 f(x)的定义域为x|x3，不关于原点对称.f(x)是非奇非偶函数.类型二 奇偶函数的图象问题【例 2】已知
173、奇函数 f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示，则使函数值 y0 的 x 的取值集合为_.解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 yf(x)在5，5上的图象关于原点对称.由 yf(x)在0，5上的图象，可知它在5，0上的图象，如图所示.由图象知，使函数值 y0的 x 的取值集合为(2，0)(2，5).答案(2，0)(2，5)规律方法 1.给出奇函数或偶函数在 y 轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，可以作出函数在 y 轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(x0，y0)，关于 y 轴的对称点
174、为(x0，y0).2.利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小、解不等式问题.【训练 2】设偶函数 f(x)的定义域为5，5，若当 x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集是_.解析 由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式 f(x)0 的解.当 x0，5时，f(x)0 的解为 2x5.所以当 x5，0时，f(x)0 的解为5x2.f(x)0 的解是5x2 或 2x5.答案 x|5x2，或 20，ax2x，x0是奇函数，则 a_.解析 当 x0，f(x)(x)2(x)x2x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)x2x，因此 ax2xx2x，得
175、 a1.答案 1类型四 利用函数的奇偶性求解析式(互动探究)【例 4】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x22x3.(1)求 f(2)；(2)求 f(x)的解析式.思路探究探究点一 怎样由条件求 f(2)的值？提示 由条件可求 f(2)，利用奇函数得 f(2)f(2).探究点二 求 f(x)在 xR 上的解析式，如何求 x0 与 x0 的解析式，利用奇偶性可求 x0 时，f(x)x22x3，所以 f(2)f(2)(22223)3.(2)当 x0，f(x)(x)22(x)3x22x3.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，所以 f(x)x22x3(x0，0，x0，x2
176、2x3，x0.规律方法 1.本题易忽视定义域为 R 的条件，漏掉 x0 的情形.若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)0.2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设 x，则x 在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用 f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.【训练 4】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，x0 时，f(x)x22x，则函数 f(x)在 R 上的解析式是()A.f(x)x(x2)B.f(x)x(|x|2)C.f(x)|x|(x2)D.f(x)|x|(|x|2)解析 因为 f(x)在 R 上是偶函数，且 x
177、0 时，f(x)x22x，所以当 x0，f(x)(x)22xx22x，则 f(x)f(x)x22xx(x2).又当 x0 时，f(x)x22xx(x2)，因此 f(x)|x|(|x|2).答案 D课堂小结1.定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(x)f(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式 f(x)f(x)f(x)f(x)0f（x）f（x）1(f(x)0).3.(1)若 f(x)0 且 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)既是奇
178、函数又是偶函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(3)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，那么一定有 f(0)0；如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|).1.已知 yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则 F(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析 F(x)f(x)f(x)F(x).又因为 x(a，a)关于原点对称，所以 F(x)是偶函数答案 B2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0，f(x)2x2x，则 f(1)等于()A.3 B.1 C.1 D.3解析 f
179、(x)是奇函数，f(1)f(1)3.答案 A3.若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_.解析 由 f(x)(xa)(x4)得 f(x)x2(a4)x4a，若 f(x)为偶函数，则 a40，即 a4.答案 44.已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)，g(x)的解析式.解 因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，g(x)g(x)，由 f(x)g(x)x2x2，得 f(x)g(x)(x)2x2，即 f(x)g(x)x2x2，由得 f(x)x22，g(x)x.基 础 过 关1.函数 y 1|x|91x2是()A.奇函
180、数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析 由函数可知，定义域为1，1，函数解析式满足 f(x)f(x)，所以该函数是偶函数.答案 B2.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A.f(x)|g(x)|是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是偶函数D.|f(x)|g(x)是奇函数解析 由 f(x)是偶函数，可得 f(x)f(x)，由 g(x)是奇函数可得 g(x)g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以 f(x)|g(x)|为偶函数.答案 A3.若函数 f(x)x（2x1）（xa）为奇函数，则 a 等于()A.1
181、2B.23C.34D.1解析 函数 f(x)的定义域为xx12，且xa.又 f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，a12.答案 A4.偶函数 f(x)在区间0，)上的图象如图，则函数 f(x)的增区间为_.解析 偶函数的图象关于 y 轴对称，可知函数 f(x)的增区间为1，0，1，).答案 1，0，1，)5.已知函数 yf(x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)xx2，则 f(2)_.解析 因为当 x0 时，f(x)xx2，所以 f(2)2222，又 f(x)是奇函数，所以 f(2)f(2)2.答案 26.已知 f(x)是 R 上的偶函数，当 x(0，)时，f(x)x2x1，求 x
182、(，0)时，f(x)的解析式.解 设 x0.所以 f(x)(x)2(x)1.所以 f(x)x2x1.因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x).所以 f(x)x2x1.所以当 x(，0)时，f(x)x2x1.7.判断函数 f(x)x33x21，x0，x33x21，x0 时，x0，则 f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)；(2)当 x0，则 f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)，由(1)(2)知，对任意 x(，0)(0，)，都有 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数.8.已知函数 f(x)x2ax(x0，aR)，讨论函数 f(x
183、)的奇偶性，并说明理由.解 当 a0 时，f(x)x2，对任意 x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，函数 f(x)为偶函数.当 a0 时，f(x)x2ax(a0，x0)，取 x1，得 f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，即 f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.能 力 提 升9.下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是()A.yx3B.y|x|1C.yx21 D.y2x解析 对于函数 y|x|1，f(x)|x|1|x|1f(x)，所以 y|x|1 是偶函数，当 x0 时，yx1，所以在(0，)上单调递增.另外函数 yx
184、3 不是偶函数，yx21 在(0，)上单调递减，y2x不是偶函数，故选 B.答案 B10.已知函数 yf(x)是 R 上的偶函数，且 f(x)在0，)上是减函数，若 f(a)f(2)，则 a 的取值范围是()A.(，2 B.2，)C.(，22，)D.2，2解析(，22，)由已知，函数 yf(x)在(，0)上是增函数，若a0，由 f(a)f(2)得 a2；若 a0，由已知可得 f(a)f(2)f(2)，a2.综上知2a2.答案 D11.已知 f(x)为奇函数，g(x)f(x)9，g(2)3，则 f(2)_.解析 因为 g(2)3，g(x)f(x)9，所以 f(2)g(2)96，又 f(x)为奇函
185、数，所以 f(2)f(2)6.答案 612.若函数 f(x)x2|xa|为偶函数，则实数 a_.解析 函数 f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，即|xa|xa|，a0.答案 013.已知函数 f(x)x22|x|.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断函数 f(x)在区间(1，0)上的单调性并加以证明.解(1)函数 f(x)是偶函数，证明如下：函数 f(x)x22|x|的定义域为 R.f(x)(x)22|x|x22|x|f(x)，函数 f(x)是偶函数.(2)f(x)在区间(1，0)上是增函数.证明如下：当 x(1，0)时，f(x)
186、x22x.设1x1x20，则 x1x22，即 x1x220.f(x1)f(x2)(x21x22)2(x1x2)(x1x2)(x1x22)0，f(x1)f(x2).故 f(x)在区间(1，0)上是增函数.探 究 创 新14.设函数 f(x)12x.(1)若 g(x)f(x)a 为奇函数，求 a 的值；(2)试判断 f(x)在(0，)内的单调性，并用定义证明.解(1)由已知 g(x)f(x)a 得：g(x)1a2x，因为 g(x)是奇函数，所以 g(x)g(x)，即 1a2（x）1a2x，解得 a1.(2)函数 f(x)在(0，)内是单调增函数，下面证明：设 0 x1x2，且 x1，x2(0，)，
187、则 f(x1)f(x2)12x112x2 2（x1x2）x1x2.因为 0 x1x2，所以 x1x20，从而2（x1x2）x1x20，即 f(x1)0，x0，0，x0，则 fff(1)()A.1 B.0 C.D.1解析 fff(1)ff(0)f()1.答案 A2.若函数 yf(x)的定义域为0，2，则函数 g(x)f（2x）x1 的定义域为()A.0，1 B.0，1)C.0，1)(1，4 D.(0，1)解 析 f(x)的 定 义 域 为 0，2，g(x)f（2x）x1 需满足 02x2，x10，解得0 x2 且 x3.所以函数的定义域为(2，3)(3，).(2)要使函数有意义，必须有1x141
188、，1x141，解得54x34，34x54，即34x34.所以 yf x14 f x14 的定义域为34，34.答案(1)(2，3)(3，)(2)34，34规律方法 1.(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.2.若 f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由 ag(x)b 解出，注意：f(x)中的 x 与 f(g(x)中的 g(x)地位相同；定义域所指永远是 x 的范围.【训练 1】(1)函数 y 11x x1的定义域是_.(2)若函数 yf(x)的定义域为1，1，则 yf1x
189、 的定义域是_.解析(1)要使函数有意义，必须且只需1x0，x10，即 x1,函数 y 11x x1的定义域为(1，).(2)yf(x)的定义域为1，1，11x1 即 1|x|1，解得 x1 或 x1，因此 yf1x 的定义域为(，11，).答案(1)(1，)(2)(，11，)题型二 函数的单调性与奇偶性【例 2】函数 f(x)axb1x2是定义在(1，1)上的奇函数，且 f 12 25.(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)用定义法证明 f(x)在(1，1)上是增函数.解(1)f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，f(0)0.又 f 12 25，因此b1020，a2b11425，解之得b0
190、，a1.所以 f(x)x1x2.(2)证明 设 x1，x2 是(1，1)上的任意两个实数，且1x1x21，则有：f(x1)f(x2)x11x21 x21x22（x1x2）（1x1x2）（1x21）（1x22）.1x1x21，x1x20，1x220，1x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0，求实数 m 的取值范围.思路探究探究点一 你能否根据 f(x)的定义域写出 m 与 m1 的范围？提示 能，由函数的定义，2m2 且2m12 探究点二 如何得到 m 和 m1 的大小关系？提示 利用奇函数，将 f(m)f(m1)0，转化为 f(m)f(1m).再根据单调性，脱掉对应关系“f”即可
191、.解 f(x)是奇函数，且 f(m)f(m1)0，f(m)f(m1)，即 f(1m)m，解之得1m3，2m2，m12，解得1m12.故实数 m 的取值范围是1，12.规律方法 1.利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x1)f(x2)的形式.2.根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解，本题常出现的错误是忽略定义域应满足的条件.【训练 3】f(x)是定义在1，1上的偶函数，且在0，1上递增.若 f(a)f12，求实数 a 的取值范围.解 f(x)是定义在1，1上的偶函数，且在0，1上递增，(1)当 a0 时，
192、f(a)f 12，0a12.(2)当 a0，f(a)f(a)，f(a)f 12，a12，0a12，综上可知12a12，故实数 a 的取值范围是12，12.课堂小结1.树立定义域优先意识，研究函数的图象性质，应首先求函数的定义域，在定义域约束条件下研究相关问题.2.单调性定义应用时的两个关注点(1)利用定义证明函数单调性时，在给定区间内所取的两个自变量的值应是该定义区间内的任意两个值，不能用特殊值代替.(2)利用单调性定义判断函数单调性时切忌“循环论证”，即利用所要证明的结论作为论证该问题的依据.3.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0
193、.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论.4.具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性.(2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性.基 础 过 关1.已知 yf(x)与 yx31x是相等的函数，则函数 yf(x)的定义域是()A.3，1 B.14，2C.14，2D.14，解析 由于 yf(x)与 y x3 1x是相等的函数，故二者的定义域相同.又因为 y x3 1x的定义域为x|3x1，故选 yf(x)的定义域为3，1.答案 A2.若奇函数 f(x)在区间3，
194、6上是增函数，在区间3，6上的最大值为 8，最小值为1，则 2f(6)f(3)的值为()A.10 B.10 C.15 D.15解析 由题意，f(x)在区间3，6上也为增函数，所以 f(6)8，f(3)1，故2f(6)f(3)2f(6)f(3)15.答案 C3.若对于任意实数x，都有f(x)f(x)，且f(x)在区间(，0上是增函数，则()A.f(2)f(2)B.f(1)f 32C.f 32 f(2)D.f(2)f(2).答案 D4.函数 f(x)满足：f(x1)x(x3)，xR，则 f(x)的最小值为_.解析 由 f(x1)x(x3)(x1)2(x1)2 得 f(x)x2x2x12294，所以
195、 f(x)的最小值是94.答案 945.(2016辽宁朝阳市重点中学期中)函数 f(x)ax1xa 在区间(2，)上是增函数，则 a 的取值范围是_.解析 f(x)ax1xa aa21x（a），若 f(x)在(2，)为增函数，则a210，a2，解得 a2.答案 2，)6.已知函数 f(x)xmx，且 f(1)3.(1)求 m；(2)判断函数 f(x)的奇偶性.解(1)f(1)3，即 1m3，m2.(2)由(1)知，f(x)x2x，其定义域是x|x0，关于原点对称，又 f(x)x 2xx2x f(x)，所以此函数是奇函数.7.(1)如图，给出奇函数 yf(x)的局部图象，试作出 y 轴右侧的图象
196、并求出 f(3)的值；图 图(2)如图，给出偶函数 yf(x)的局部图象，比较 f(1)与 f(3)的大小，并试作出 y轴右侧的图象.解(1)奇函数 yf(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P(x，f(x)关于原点的对称点为 P(x，f(x)，下图为补充后的图象.易知 f(3)2.(2)偶函数 yf(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P(x，f(x)关于 y 轴的对称点为 P(x，f(x)，下图为补充后的图象.易知 f(1)f(3).8.设函数 f(x)在 R 上是偶函数，在区间(，0)上递增，且 f(2a2a1)0，2a22a32a122520，且 f(2a2a1)2a22a3，即 3a20，解
197、得 a23.故 a 的取值范围是23，.能 力 提 升9.已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则 g(1)等于()A.4 B.3 C.2 D.1解析 由题意知：f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，得 g(1)3.答案 B10.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(8，)上为减函数，且函数 yf(x8)为偶函数，则()A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)解析 因为函数 yf(x8)为偶函数，其对称轴是 y 轴，所以 yf(x)的对称轴是直线 x8.故 f(7)f
198、(9)f(10).答案 D11.已知 f(x)是定义在2，0)(0，2上的奇函数，当 x0 时，f(x)的图象如图所示，则 f(x)的值域是_.解析 当 x0 时，f(x)的值域是(2，3.根据奇函数的性质可得，f(x)的值域是3，2)(2，3.答案 3，2)(2，312.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意 x1，x20，)(x1x2)都有f（x2）f（x1）x2x10，则 f(1)，f(2)，f(3)的大小关系是_.解析 由f（x2）f（x1）x2x1f(2)f(3).又因为 f(x)是偶函数，所以 f(2)f(2)，因此 f(1)f(2)f(3).答案 f(1)f(2)f(3)1
199、3.已知函数 f(x)xa1x2是 R 上的奇函数.(1)求 a 的值；(2)用定义证明该函数在1，)上的单调性.(1)解 因为 f(x)xa1x2是 R 上的奇函数，所以 f(0)0，解得 a0，此时 f(x)x1x2是奇函数.(2)证明 设 x1，x2 是1，)上的任意两个数，且 1x1x2，则 f(x1)f(x2)x11x21 x21x22（x2x1）（x1x21）（1x21）（1x22），因为 1x10，x1x210，1x210，1x220，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在1，)上是减函数.探 究 创 新14.已知函数 f(x)，当 x，yR
200、 时，恒有 f(xy)f(x)f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果 x(0，)，f(x)0，并且 f(1)12，试求 f(x)在区间2，6上的最值.(1)证明 函数定义域为 R，其定义域关于原点对称.f(xy)f(x)f(y)，令 yx，则 f(0)f(x)f(x).令 xy0，则 f(0)f(0)f(0)，得 f(0)0.f(x)f(x)0，得 f(x)f(x)，f(x)为奇函数.(2)解 设 x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0，即 f(x)在 R 上单调递减.f(2)为最大值，f(6)为最小值.f(1)12，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(
201、1)f(2)3.f(x)在区间2，6上的最大值为 1，最小值是3.章末复习课1.集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性.在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意.2.集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等.判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据.空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.解题时，已知条件中出现 AB 时，不要遗漏 A.3.集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn 图与数轴
202、是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如 ABABAABB.4.函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明 f(x)在区间a，b上是增函数或减函数，必须证明对a，b上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时都有 f(x1)f(x2)成立；若要证明 f(x)在区间a，b上不是单调函数，只要举出反例，既只要找到两个特殊的 x1，x2，不满足定义即可.单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间 I 上，且 x1，x2I，则(1)若函数 f(x)在区间 I 上是单调函数，则 x1x2f(x1)f(x2).(2)若函数 f(x)在区间 I 上是单调函数，则
203、方程 f(x)0 在区间 I 上至多有一个实数根.(3)若函数 f(x)与 g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数 f(x)g(x)亦与它们的单调性相同.函数单调性的判断方法：定义法；图象法.5.函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，既先看函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验 f(x)与 f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或 y 轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提.方法一 数形结合思想的应用数形结合思想是研究集合、函数的重要思想.本章中涉及数形结合的知识点：借助 Venn 图、数轴研究集合的交集、并集、补集运算，数轴分析(或 Ve
204、nn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想的具体应用之一.在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解.借助函数图象研究函数的单调性、对称性、奇偶性.如将函数解析式进行等价变形为几种常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数等)，再作出图象.借助几何直观求单调区间和函数的最值等.【例 1】已知集合 Ax|0 x2，Bx|axa3.(1)若(RA)BR，求 a 的取值范围；(2)是否存在 a，使(RA)BR 且 AB？解(1)Ax|0 x2，RAx|x2.(RA)BR.a0，a32，解得1a0.所以 a 的取值范围是1，0.(2)由(1)知(RA)BR 时，1a0，而 a
205、32，3，AB，这与 AB矛盾.即这样的 a 不存在.【训练 1】对于函数 f(x)x22|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画出此函数的图象，并指出单调区间和最小值.解(1)函数的定义域为 R，关于原点对称，f(x)(x)22|x|x22|x|.则 f(x)f(x)，f(x)是偶函数.图象关于 y 轴对称.(2)f(x)x22|x|x22x（x1）21（x0），x22x（x1）21（x0）.画出图象如图所示：根据图象知，函数 f(x)的最小值是1.单调增区间是1，0，1，)；单调区间是(，1)，(0，1).方法二 分类讨论思想的应用分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来
206、解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数概念性质中求参数的取值范围问题等.【例 2】设函数 f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数 f(x)的最小值.解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为 x1.当 t11，即 t1 时，函数图象如图(3)，函数 f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为 f(t)t22t2.综上所述，f(x)mint21，t1.【训练
207、2】(2014浙江高考)设函数 f(x)x22x2，x0，x2，x0.若 f(f(a)2，则 a_.解析(1)当 a0 时，f(a)a20，f(f(a)(a22a2)20，此时 f(f(a)2 解集为.综上可知 a 2.答案 2方法三 转化与化归思想的应用所谓转化与化归思想，就是把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等选择恰当的方法进行变换、转化，归结为某个或某些已经解决或比较容易解决的问题.【例 3】函数 yf(x)(x0)是奇函数，且当 x(0，)时是增函数，若 f(1)0，解不等式 fx12 0.解 由于 f(x)是奇函数，且 f(1)0，f(x)在(0，)上是增函数.
208、f(1)f(1)0，且 f(x)在(，0)上是增函数.不等式 f x12 0，fx12 f（1）或x120，fx12 f（1），即 0 x121，或 x121，解得12x32，或 x12，所以原不等式的解集是xx12，或12x0，则 x的取值范围是_.解 f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)，又f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减.f(|x1|)f(2)，|x1|2.2x12，1x3，故实数 x 的取值范围是(1，3).答案(1，3)1.(2015全国卷高考)已知集合 Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为()A.5 B.4 C.3 D.2解析
209、 易知 A2，5，8，11，14，17，.又 B6，8，10，12，14所以 AB8，14，共有 2 个元素.答案 D2.(2015浙江高考)已知集合 Px|x22x0，Qx|1x2，则(RP)Q()A.0，1)B.(0，2C.(1，2)D.1，2解析 由题意得，RP(0，2)，(RP)Q(1，2)，故选 C.答案 C3.(2015陕西高考)设 f(x)1 x，x0，2x，x0，则 f(f(2)()A.1 B.14C.12D.32解析 f(2)2214.f(f(2)f14 11412.答案 C4.(2014浙江高考)已知函数 f(x)x3ax2bxc，且 0f(1)f(2)f(3)3，则()A
210、.c3 B.3c6C.6c9 D.c9解析 依题意1abc84a2bc，1abc279a3bc，解之得 a6，b11.又 0f(1)c63，解之得 61.则 f(x)的最小值是_.解析 当 x1 时，f(x)x20，f(x)min0.当 x1 时，f(x)x6x6 在(1，6)上是减函数，在(6，)上是增函数，f(x)f(6)2 66，当且仅当 x 6时取等号.又 2 660，所以 f(x)minf(6)2 66.答案 2 66章末检测卷(一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题1.设全集 UR，Mx|x2，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是()A.x|2x1 B.x|2
211、x2C.x|1x2 D.x|x2解析 阴影部分所表示集合是 N(UM)，又UMx|2x2，N(UM)x|1x2.答案 C2.设 f(x)x2，x10，ff（x6），x10，则 f(5)的值为()A.10 B.11C.12 D.13解析 由题设，f(5)ff(56)ff(11)f(9)ff(15)f(13)11.答案 B3.已知函数 f(x)的定义域为(1，0)，则函数 f(2x1)的定义域为()A.(1，1)B.1，12C.(1，0)D.12，1解析 由12x10，解得1x12，即函数 f(2x1)的定义域为1，12.答案 B4.函数 f(x)ax22(a3)x1 在区间2，)上递减，则实数
212、a 的取值范围是()A.(，3 B.3，0C.3，0)D.2，0解析 a0 时，函数 f(x)为 R 上的减函数，所以在2，)上也是减函数；a0时，二次函数的对称轴 xa3a，依题意有a0，a3a 2，解得3af(a22a3)D.f(1)f(a22a3)解析 因为 a22a3(a1)222，且函数 f(x)是偶函数，所以 f(1)f(1).因为函数 f(x)在区间0，)上是增函数，所以 f(1)f(1)f(2)f(a22a3).答案 D二、填空题9.已知集合 Ax|x4，g(x)11xa的定义域为 B.若 AB，则实数 a的取值范围是_.解析 根据题意知，g(x)的定义域为x|xa1.因为 A
213、x|x4，AB，所以 a14，解得 a3.答案(，310.函数 yf(x)，x1，2的图象如图所示，则该函数在1，2上的最大值为_，最小值为_.解析 由图可知，该函数的最小值为12，最大值为 1.答案 1 1211.已知函数 f(x)2x24kx5 在区间1，2上不具有单调性，则 k 的取值范围是_.解析 f(x)2(xk)252k2，其图象关于直线 xk 对称，又 f(x)在区间1，2上不具有单调性.所以1k2.答案(1，2)12.若某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地驶向 260 km 远处的 B 地，在 B 地停留32 h后，再以 65 km/h 的速度返回 A 地.则汽车离开 A
214、 地后行走的路程 s 关于时间 t的函数解析式为_.解析 因为 260525(h)，260654(h)，所以 s52t，0t5，260，5t132，26065t132，132 t212.答案 s52t，0t5，260，5t132，26065t132，132 t212.13.已知 m2，点(m1，y1)，(m，y2)，(m1，y3)都是二次函数 yx22x 的图象上，则 y1、y2 与 y3 由小到大的关系是_.解析 二次函数的对称轴为 x1，且 m2，所以 m13，m11，故 m1mm111.由二次函数的单调性可知，y3y2y1.答案 y3y2y114.设集合 A0，12，B12，1，函数 f
215、(x)x12，xA，2（1x），xB，若 x0A，且f(f(x0)A，则 x0 的取值范围是_.解析 x0A 时，f(x0)12，1，所以 f(f(x0)21x012 212x0 A，解得14x012.答案 14，1215.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上是增函数.若 f(3)0，则f（x）x0 时，f(x)3；当x0，解得3x0.故3x3.答案 x|3x3三、解答题16.设全集为 R，集合 Ax|3x6，Bx|2x9.(1)分别求 AB，(RB)A；(2)已知 Cx|axa1，若 CB，求实数 a 取值构成的集合.解(1)ABx|3x6.因为RBx|x2 或 x9，
216、所以(RB)Ax|x2 或 3x6 或 x9.(2)因为 CB，如图所示：所以a2，a19.解得 2a8，所以所求集合为a|2a8.17.已知函数 f(x)axb，且 f(1)2，f(2)1.(1)求 f(m1)的值；(2)判断函数 f(x)的单调性，并用定义证明.解(1)由 f(1)2，f(2)1，得 ab2，2ab1，即 a3，b5，故f(x)3x5，f(m1)3(m1)53m2.(2)函数 f(x)在 R 上单调递减，证明如下：任取 x1x2(x1，x2R)，则 f(x2)f(x1)(3x25)(3x15)3x13x23(x1x2)，因为 x1x2，所以 f(x2)f(x1)0，即 f(
217、x2)2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围.解(1)设 f(x)ax2bxc(a0)，f(0)1，c1，f(x)ax2bx1.f(x1)f(x)2x，2axab2x，2a2，ab0，a1，b1，f(x)x2x1.(2)由题意，得 x2x12xm 在1，1上恒成立，即 x23x1m0 在1，1上恒成立.令 g(x)x23x1mx32254m，其对称轴为 x32，g(x)在区间1，1上是减函数，g(x)ming(1)131m0，m1.故 m 的取值范围是(，1).19.已知函数 f(x)mx223xn 是奇函数，且 f(2)53.(1)求实数 m 和 n 的值；(2)判断函数 f(x)在(，1上
218、的单调性，并加以证明.解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x).即 mx223xnmx223xn mx223xn，比较得 nn，n0，又 f(2)53，4m2653，m2，即实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.(2)函数 f(x)在(，1上为增函数，证明如下：由(1)知 f(x)2x223x2x3 23x设 x1，x2 是区间(，1上的任意两个数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)23(x1x2)1 1x1x2 23(x1x2)x1x21x1x2，x1x21，x1x20，x1x210，f(x1)f(x2)0，则 f(x1)f(x2)，故函数 f(x)在(，1上为增函数.20.定义在
219、(1，1)上的函数 f(x)满足：对任意 x，y(1，1)，都有 f(x)f(y)f xy53xy；f(x)在(1，1)上是单调递减函数，f 14 1.(1)求 f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)解不等式 f(2x1)1.(1)解 令 xy0，得 2f(0)f(0)，所以 f(0)0.(2)证明 定义域为(1，1)，关于原点对称.令 yx，得 f(x)f(x)f(0)0，即 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数.(3)解 因为 f 14 1，由(2)知 f(x)为奇函数，所以 f 14 f 14 1，所以不等式 f(2x1)1 等价于 f(2x1)14，12x11，解得38x1.所以原不等式的解集为38，1.
