1、北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、(昌平区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f(x)的部分对应值如表所示.数列na满足11,a 且对任意*nN,点1(,)nna a 都在函数()f x 的图象上,则2016a的值为x1234()f x3124A.1 B.2 C.3 D.42、(朝阳区 2016 届高三上学期期中)已知等差数列na的公差为2,若124,aaa 成等比数列,那么1a 等于()A.2B.1C.1D.23、(东城区 2016 届高三上学期期中)在等差数列 na中,前 n 项和 Sn100,则公差 d 和项数 n 为 A、d12,n4
2、 B、d18,n2C、d16,n3 D、d16,n44、(丰台区 2016 届高三上学期期末)已知数列 na中,1111,1nnaaa,若利用下面程序框图计算该数列的第 2016 项,则判断框内的条件是(A)2014n(B)2016n(C)2015n(D)2017n 5、(海淀区2016届高三上学期期中)数列的前n项和为,则的值为A1 B3 C5 D6 6、(石景山区 2016 届高三上学期期末)已知数列 na是等差数列,348,4aa,?结束输出A否是A=1A+1n=n+1n=1,A=1开始则前n 项和nS 中最大的是()A.3SB.4S 或5SC.5S 或6SD.6S7、(西城区 2016
3、 届高三上学期期末)在数列na中,“对任意的*nN,212nnnaa a”是“数列na为等比数列”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件参考答案1、B 2、A 3、D 4、C 5、C6、B 7、B 二、填空题1、(朝阳区 2016 届高三上学期期末)在各项均为正数的等比数列 na中,若22a=,则132aa+的最小值是 2、(大兴区 2016 届高三上学期期末)已知数列 na是等差数列,公差0d,11a ,1a,3a,6a 成等比数列,则数列 na的公差 d 等于 ;前 n 项和nS 等于 .3、(东城区 2016 届高三上学期期末)数列
4、 na满足:*112(1,)nnnaaa nnN,给出下述命题:若数列 na满足:21aa,则*1(1,)nnaannN成立;存在常数c,使得*()nac nN成立;若*(,)pqmnp q m nN其中,则pqmnaaaa;存在常数d,使得*1(1)()naand nN都成立 上述命题正确的是_(写出所有正确结论的序号)4、(东城区 2016 届高三上学期期中)在数列 na中,5、(丰台区 2016 届高三上学期期末)设等差数列 na的前 n 项和为nS,若7=42S,则237aaa=.6、(海淀区 2016 届高三上学期期末)已知等比数列 na的公比为 2,若234aa,则14_.aa7、
5、(海 淀 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 中)已 知 等 差 数 列的 公 差,且391 08aaaa若na 0,则 n 参考答案1、4 2 2、217,48nn 3、4、1 21)2n(5、186、6 7、5 三、解答题1、(朝阳区 2016 届高三上学期期末)已知有穷数列:*123,(,3)ka a aakkN的各项均为正数,且满足条件:1kaa;11212(1,2,3,1)nnnnaankaa()若13,2ka,求出这个数列;()若4k,求1a 的所有取值的集合;()若k 是偶数,求1a 的最大值(用k 表示)2、(朝阳区 2016 届高三上学期期中)已知等差数列 na的首项1
6、1a ,公差1d ,前 n 项和为nS,且1nnbS.()求数列 nb的通项公式;()求证:1232nbbbb.3、(东城区 2016 届高三上学期期末)设 na是一个公比为(0,1)q qq等比数列,1234,3,2aaa 成等差数列,且它的前 4 项和415s.()求数列 na的通项公式;()令2,(1,2,3.)nnban n,求数列 nb的前n 项和.4、(东城区 2016 届高三上学期期中)设数列 na的前 n 项和 Sn(I)求(II)求证:数列 na为等比数列5、(丰台区 2016 届高三上学期期末)已知数列 na的各项均为正数,满足11a ,1kkiaaa.,1,2,ik k(
7、3,1)n()求证:111,2,3,1)kkaakn(;()若 na是等比数列,求数列 na的通项公式;()设数列 na的前 n 项和为nS,求证:12)1(21nnSnn.6、(海淀区 2016 届高三上学期期末)若实数数列na满足*21()nnnaaa nN,则称数列na为“P 数列”.()若数列na是 P 数列,且140,1aa,求3a,5a 的值;()求证:若数列na是 P 数列,则na的项不可能全是正数,也不可能全是负数;()若数列na为 P 数列,且na中不含值为零的项,记na前 2016 项中值为负数的项的个数为 m,求 m 所有可能取值.7、(海淀区2016届高三上学期期中)已
8、知等比数列的公比,其n前项和为()求公比q和a5的值;()求证:8、(石景山区 2016 届高三上学期期末)给定一个数列 na,在这个数列里,任取*(3,)m mmN项,并且不改变它们在数列 na中的先后次序,得到的数列称为数列 na的一个m 阶子数列已知数列 na的通项公式为1nana(*,nN a为常数),等差数列236,a a a 是数列 na的一个 3 阶子数列()求 a 的值;()等差数列12,.,mb bb 是 na的一个*(3,)m mmN阶子数列,且11bk(k 为常数,*,2)kN k,求证:1mk;()等比数列12,.,mc cc 是 na的一个*(3,)m mmN阶子数列
9、,求证:1211.22mmccc11、(西城区 2016 届高三上学期期末)参考答案1、解:()因为13,2ka,由知32a;由知,21211223aaaa,整理得,2222310aa 解得,21a 或212a 当21a 时,不满足2323212aaaa,舍去;所以,这个数列为12,223 分()若4k,由知4a 1a 因为11212(1,2,3)nnnnaanaa,所以111(2)(1)0nnnnaaa a所以112nnaa 或11(1,2,3)nnana 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了 2 次11nnaa,显然不满足条件;所以由1a 计算4a 只能恰好 1 次或者 3 次用到11
10、nnaa,共有下面 4 种情况:(1)若211aa,3212aa,4312aa,则41114aaa,解得112a;(2)若2112aa,321aa,4312aa,则4111aaa,解得11a ;(3)若2112aa,3212aa,431aa,则4114aaa,解得12a;(4)若211aa,321aa,431aa,则4111aaa,解得11a ;综上,1a 的所有取值的集合为 1,1,22 8 分()依 题 意,设*2,m2km mN 由(II)知,112nnaa 或11(1,2,3,21)nnanma 假设从1a 到2ma恰用了i 次递推关系11nnaa,用了21mi 次递推关系112nna
11、a,则有(1)211()2itmaa,其中21,tmi t Z 当i 是偶数时,0t,2111()2tmaaa无正数解,不满足条件;当i 是奇数时,由12111(),21222tmaaa tmim 得22211()22tma,所以112ma又当1i 时,若213221222211111,222mmmmaa aaaaaa,有222111()2mmaa,222112 mmaaa,即112ma所以,1a 的最大值是12m 即1212ka13 分2、3、解:()因为 na是一个公比为(0,1)q qq等比数列,所以11nnaa q 因为1234,3,2aaa 成等差数列,所以213642,aaa即23
12、20qq 解得2,1()qq舍.又它的前 4 和415s,得41(1)15(0,1)1aqqqq,解得11a 所以12nna.9 分()因为2nnban,所以11122(n 1)1nnnniiiiibain 13 分 4、5、()证明:因为1,1,2,3,1)kkiaaaik kn 0(,所以数列 na是递增数列,即231naaa.又因为11,1,2,3,1)kkiaaaik kn(,所以111,2,3,1)kkaakn(.3 分()解:因为211aaa,所以212aa;因为 na是等比数列,所以数列 na的公比为 2.因为1,1,2,3,1)kkiaaa ik kn(,所以当=i k 时有1
13、=2kkaa.这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列.所以12nna.8 分()证明:因为11=1a,22=2a,2332a,3442a12nnna由上面 n 个式子相加,得到:0121123+2+3+2+2+2+2nnnaaaa1,化简得1231)(21)2nnn naaaa(所以12)1(21nnSnn.13 分6、()因为 na是 P 数列,且10a ,所以3202|aaaa,所以43222aaaaa,所以221aa,解得212a ,.1 分所以354311,|22aaaa.3 分()假设 P 数列 na的项都是正数,即120,0,0nnnaaa,所以21nnnaaa,3210nnn
14、naaaa,与假设矛盾.故 P 数列 na的项不可能全是正数,.5 分假设 P 数列 na的项都是负数,则0,na 而210nnnaaa,与假设矛盾,.7 分故 P 数列 na的项不可能全是负数.()由()可知 P 数列 na中项既有负数也有正数,且最多连续两项都是负数,最多连续三项都是正数.因此存在最小的正整数k 满足10,0kkaa(5k).设1,(,0)kkaa ab a b,则2345,kkkkaba aa ab aba.678910,kkkkkabab abaa aab aa ab,故有9kkaa,即数列 na是周期为 9 的数列.9 分由上可知18,kkka aa这 9 项中4,k
15、ka a 为负数,5,8kkaa 这两项中一个为正数,另一个为负数,其余项都是正数.因为20169224,所以当1k 时,2243672m;当25k时,121,ka aa 这1k 项中至多有一项为负数,而且负数项只能是1ka ,记12016,kka aa 这2007k项中负数项的个数为t,当2,3,4k 时,若10,ka 则11kkkkbaaaaa,故8ka 为负数,此时671t,671+1=672m;若10,ka 则11kkkkbaaaaa,故5ka 为负数.此时672t,672m,当5k 时,1ka 必须为负数,671t,672m,.12 分综上可知m 的取值集合为672.13 分7、解:
16、()法一:因为na为等比数列,且3244aa a,所以2334aa,所以34a,因为233141aaqa,所以2q .因为0na,所以0q,即2q-3 分所以45116aa q.-6 分法二:因为na为等比数列,且3244aa a,所以24114a qa q,所以24q,所以2q ,因为0na,所以0q,即2q-3 分所以45116aa q.-6 分()法一:因为2q,所以1112nnnaa q,-分 因为1(1)211nnnaqSq,-10 分 所以11211222nnnnnSa,因为1102n,所以11222nnnSa.-13 分法二:因为2q,所以1112nnnaa q,-分 所以1(1
17、)211nnnaqSq,-10 分 所以11202nnnSa,所以2nnSa.-13 分法三:因为2q,所以1112nnnaa q,-分 所以1(1)211nnnaqSq.-10 分 要证2nnSa,只需2nnSa,只需212nn 上式显然成立,得证.-13 分8、解:(1)因为236,a a a 成等差数列,所以2336aaaa又因为212aa,313aa,616aa,代入得11112336aaaa,解得0a 3 分(2)设等差数列12,ma aa 的公差为d 因为11bk,所以211bk,从而211111(1)dbbkkk k 所以111(1)(1)mmbbmdkk k5 分又因为0mb,所以 110(1)mkk k即11mk 所以2mk又因为*,m kN,所以1mk 8 分(3)设11ct(*tN),等比数列123,mc c cc 的公比为q 因为211ct,所以211ctqct 从而11*111()(1,)1nnncc qnm nNt t9 分所以1211231111()()()111mmtttcccctt tt tt t 11()1mtttt11()1mtttt 设函数*11(),(3,)mf xxmmNx 当(0,)x 时,函数11()mf xxx为单调增函数因为当*tN,所以112tt所以111()22mtft即1211.22mmccc13 分