1、北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（昌平区 2016 届高三上学期期末）已知函数 f(x)的部分对应值如表所示.数列na满足11,a 且对任意*nN，点1(,)nna a 都在函数()f x 的图象上，则2016a的值为x1234()f x3124A.1 B.2 C.3 D.42、（朝阳区 2016 届高三上学期期中）已知等差数列na的公差为2，若124,aaa 成等比数列，那么1a 等于（）A.2B.1C.1D.23、（东城区 2016 届高三上学期期中）在等差数列 na中，前 n 项和 Sn100，则公差 d 和项数 n 为 A、d12，n4
2、 B、d18，n2C、d16，n3 D、d16，n44、（丰台区 2016 届高三上学期期末）已知数列 na中，1111,1nnaaa，若利用下面程序框图计算该数列的第 2016 项，则判断框内的条件是（A）2014n（B）2016n（C）2015n（D）2017n 5、（海淀区2016届高三上学期期中）数列的前n项和为，则的值为A1 B3 C5 D6 6、（石景山区 2016 届高三上学期期末）已知数列 na是等差数列，348,4aa，？结束输出A否是A=1A+1n=n+1n=1,A=1开始则前n 项和nS 中最大的是（）A.3SB.4S 或5SC.5S 或6SD.6S7、（西城区 2016
3、 届高三上学期期末）在数列na中，“对任意的*nN，212nnnaa a”是“数列na为等比数列”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案1、B 2、A 3、D 4、C 5、C6、B 7、B 二、填空题1、（朝阳区 2016 届高三上学期期末）在各项均为正数的等比数列 na中，若22a=，则132aa+的最小值是 2、（大兴区 2016 届高三上学期期末）已知数列 na是等差数列，公差0d，11a ，1a，3a，6a 成等比数列，则数列 na的公差 d 等于 ；前 n 项和nS 等于 .3、（东城区 2016 届高三上学期期末）数列
4、 na满足：*112(1,)nnnaaa nnN，给出下述命题：若数列 na满足：21aa，则*1(1,)nnaannN成立；存在常数c，使得*()nac nN成立；若*(,)pqmnp q m nN其中，则pqmnaaaa；存在常数d，使得*1(1)()naand nN都成立 上述命题正确的是_(写出所有正确结论的序号)4、（东城区 2016 届高三上学期期中）在数列 na中，5、（丰台区 2016 届高三上学期期末）设等差数列 na的前 n 项和为nS，若7=42S,则237aaa=.6、（海淀区 2016 届高三上学期期末）已知等比数列 na的公比为 2，若234aa，则14_.aa7、
5、（海 淀 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 中）已 知 等 差 数 列的 公 差，且391 08aaaa若na 0，则 n 参考答案1、4 2 2、217,48nn 3、4、1 21)2n（5、186、6 7、5 三、解答题1、（朝阳区 2016 届高三上学期期末）已知有穷数列：*123,(,3)ka a aakkN的各项均为正数，且满足条件：1kaa；11212(1,2,3,1)nnnnaankaa（）若13,2ka，求出这个数列；（）若4k，求1a 的所有取值的集合；（）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）2、（朝阳区 2016 届高三上学期期中）已知等差数列 na的首项1
6、1a ，公差1d ，前 n 项和为nS，且1nnbS.（）求数列 nb的通项公式；（）求证：1232nbbbb.3、（东城区 2016 届高三上学期期末）设 na是一个公比为(0,1)q qq等比数列，1234,3,2aaa 成等差数列,且它的前 4 项和415s.（）求数列 na的通项公式；（）令2,(1,2,3.)nnban n,求数列 nb的前n 项和.4、（东城区 2016 届高三上学期期中）设数列 na的前 n 项和 Sn（I）求（II）求证：数列 na为等比数列5、（丰台区 2016 届高三上学期期末）已知数列 na的各项均为正数，满足11a ，1kkiaaa.,1,2,ik k（
7、3,1)n（）求证：111,2,3,1)kkaakn（；（）若 na是等比数列，求数列 na的通项公式；（）设数列 na的前 n 项和为nS，求证：12)1(21nnSnn.6、（海淀区 2016 届高三上学期期末）若实数数列na满足*21()nnnaaa nN，则称数列na为“P 数列”.（）若数列na是 P 数列，且140,1aa，求3a，5a 的值；()求证：若数列na是 P 数列，则na的项不可能全是正数，也不可能全是负数；()若数列na为 P 数列，且na中不含值为零的项，记na前 2016 项中值为负数的项的个数为 m，求 m 所有可能取值.7、（海淀区2016届高三上学期期中）已
8、知等比数列的公比，其n前项和为（）求公比q和a5的值；（）求证：8、（石景山区 2016 届高三上学期期末）给定一个数列 na，在这个数列里，任取*(3,)m mmN项，并且不改变它们在数列 na中的先后次序，得到的数列称为数列 na的一个m 阶子数列已知数列 na的通项公式为1nana（*,nN a为常数），等差数列236,a a a 是数列 na的一个 3 阶子数列（）求 a 的值；（）等差数列12,.,mb bb 是 na的一个*(3,)m mmN阶子数列，且11bk(k 为常数，*,2)kN k，求证：1mk；（）等比数列12,.,mc cc 是 na的一个*(3,)m mmN阶子数列
9、，求证：1211.22mmccc11、（西城区 2016 届高三上学期期末）参考答案1、解：（）因为13,2ka，由知32a；由知，21211223aaaa，整理得，2222310aa 解得，21a 或212a 当21a 时，不满足2323212aaaa，舍去；所以，这个数列为12,223 分（）若4k，由知4a 1a 因为11212(1,2,3)nnnnaanaa，所以111(2)(1)0nnnnaaa a所以112nnaa 或11(1,2,3)nnana 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了 2 次11nnaa，显然不满足条件；所以由1a 计算4a 只能恰好 1 次或者 3 次用到11
10、nnaa，共有下面 4 种情况：（1）若211aa，3212aa，4312aa，则41114aaa，解得112a；（2）若2112aa，321aa，4312aa，则4111aaa，解得11a ；（3）若2112aa，3212aa，431aa，则4114aaa，解得12a；（4）若211aa，321aa，431aa，则4111aaa，解得11a ；综上，1a 的所有取值的集合为 1,1,22 8 分（）依 题 意，设*2,m2km mN 由（II）知，112nnaa 或11(1,2,3,21)nnanma 假设从1a 到2ma恰用了i 次递推关系11nnaa，用了21mi 次递推关系112nna
11、a，则有(1)211()2itmaa，其中21,tmi t Z 当i 是偶数时，0t，2111()2tmaaa无正数解，不满足条件；当i 是奇数时，由12111(),21222tmaaa tmim 得22211()22tma，所以112ma又当1i 时，若213221222211111,222mmmmaa aaaaaa，有222111()2mmaa，222112 mmaaa，即112ma所以，1a 的最大值是12m 即1212ka13 分2、3、解：（）因为 na是一个公比为(0,1)q qq等比数列，所以11nnaa q 因为1234,3,2aaa 成等差数列，所以213642,aaa即23
12、20qq 解得2,1()qq舍.又它的前 4 和415s，得41(1)15(0,1)1aqqqq，解得11a 所以12nna.9 分（）因为2nnban，所以11122(n 1)1nnnniiiiibain 13 分 4、5、（）证明：因为1,1,2,3,1)kkiaaaik kn 0（，所以数列 na是递增数列，即231naaa.又因为11,1,2,3,1)kkiaaaik kn（，所以111,2,3,1)kkaakn（.3 分（）解：因为211aaa，所以212aa；因为 na是等比数列，所以数列 na的公比为 2.因为1,1,2,3,1)kkiaaa ik kn（，所以当=i k 时有1
13、=2kkaa.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12nna.8 分（）证明：因为11=1a，22=2a，2332a，3442a12nnna由上面 n 个式子相加，得到：0121123+2+3+2+2+2+2nnnaaaa1，化简得1231)(21)2nnn naaaa（所以12)1(21nnSnn.13 分6、（）因为 na是 P 数列，且10a ，所以3202|aaaa，所以43222aaaaa,所以221aa，解得212a ,.1 分所以354311,|22aaaa.3 分()假设 P 数列 na的项都是正数，即120,0,0nnnaaa，所以21nnnaaa，3210nnn
14、naaaa，与假设矛盾.故 P 数列 na的项不可能全是正数,.5 分假设 P 数列 na的项都是负数，则0,na 而210nnnaaa,与假设矛盾,.7 分故 P 数列 na的项不可能全是负数.()由()可知 P 数列 na中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数.因此存在最小的正整数k 满足10,0kkaa（5k）.设1,(,0)kkaa ab a b，则2345,kkkkaba aa ab aba.678910,kkkkkabab abaa aab aa ab,故有9kkaa,即数列 na是周期为 9 的数列.9 分由上可知18,kkka aa这 9 项中4,k
15、ka a 为负数，5,8kkaa 这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数.因为20169224,所以当1k 时，2243672m;当25k时，121,ka aa 这1k 项中至多有一项为负数，而且负数项只能是1ka ,记12016,kka aa 这2007k项中负数项的个数为t，当2,3,4k 时，若10,ka 则11kkkkbaaaaa，故8ka 为负数，此时671t，671+1=672m；若10,ka 则11kkkkbaaaaa，故5ka 为负数.此时672t，672m，当5k 时，1ka 必须为负数，671t，672m,.12 分综上可知m 的取值集合为672.13 分7、解：
16、（）法一：因为na为等比数列，且3244aa a，所以2334aa，所以34a，因为233141aaqa，所以2q .因为0na，所以0q，即2q-3 分所以45116aa q.-6 分法二：因为na为等比数列，且3244aa a，所以24114a qa q，所以24q，所以2q ,因为0na，所以0q，即2q-3 分所以45116aa q.-6 分（）法一：因为2q，所以1112nnnaa q,-分 因为1(1)211nnnaqSq,-10 分 所以11211222nnnnnSa,因为1102n，所以11222nnnSa.-13 分法二：因为2q，所以1112nnnaa q,-分 所以1(1
17、)211nnnaqSq,-10 分 所以11202nnnSa，所以2nnSa.-13 分法三：因为2q，所以1112nnnaa q,-分 所以1(1)211nnnaqSq.-10 分 要证2nnSa，只需2nnSa，只需212nn 上式显然成立，得证.-13 分8、解：（1）因为236,a a a 成等差数列，所以2336aaaa又因为212aa，313aa，616aa，代入得11112336aaaa，解得0a 3 分（2）设等差数列12,ma aa 的公差为d 因为11bk，所以211bk，从而211111(1)dbbkkk k 所以111(1)(1)mmbbmdkk k5 分又因为0mb，所以 110(1)mkk k即11mk 所以2mk又因为*,m kN，所以1mk 8 分（3）设11ct(*tN)，等比数列123,mc c cc 的公比为q 因为211ct，所以211ctqct 从而11*111()(1,)1nnncc qnm nNt t9 分所以1211231111()()()111mmtttcccctt tt tt t 11()1mtttt11()1mtttt 设函数*11(),(3,)mf xxmmNx 当(0,)x 时，函数11()mf xxx为单调增函数因为当*tN，所以112tt所以111()22mtft即1211.22mmccc13 分