1、第4讲 函数yAsin(x)的图象及应用 第三章 三角函数、解三角形考纲解读 1.了解函数yAsin(x)的物理意义，能用五点法画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响(重点)2能结合yAsin(x)的图象与三角函数的性质求函数解析式，熟练掌握对称轴与对称中心的求解方法及图象的平移和伸缩变换(重点、难点)3了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，能用三角函数解决一些简单的实际问题考向预测 从近三年高考情况来看，本讲内容一直是高考的一个考查热点预测2021年会把函数yAsin(x)的图象及性质和三角恒等变换相结合进行考查，尤其是函数图象的平移变换与性质的结合题型以客观题
2、的形式为主，有时也会出现于解答题中，试题难度以中档题为主1 基础知识过关 PART ONE 1.函数yAsin(x)的有关概念振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)AT 01 _ f1T 02 _03 _22x2.“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为(1)定点：如下表所示x01 _02 _03 _04 _05 _x02322yAsin(x)0A0A0232 2(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按
3、周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象3.函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤1.概念辨析(1)将函数y3sin2x的图象左移4个单位长度后所得图象的解析式是y3sin2x4.()(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)将函数y2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y2sinx2的图象()答案(1)(2)(3)(4)答案(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()2.小题热身(1)函数y2sin2x4 的振幅、频率和初相分别为()
4、A.2，1，4B2，12，4C.2，1，8D2，12，8解析 函数y2sin2x4 的振幅是2，周期T22，频率f1T1，初相是4，故选A.答案解析(2)用五点法作函数ysinx6 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_，_，_，_，_.解析 列表：x6237653136x602322ysinx601010五个点依次是6，0，23，1，76，0，53，1，136，0.6，0解析23，176，053，1136，0(3)将函数f(x)12cos2x的图象向右平移6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图象，则g34 _.解析 函数f(x)12cos2x的图象
5、向右平移6个单位长度后得函数y12cos2x6 12cos2x3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)cos2x3，所以g34 cos32 3 sin3 32.32解析(4)(2019长春模拟)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_解析 由图象可知A 2，T471234，所以2，2，所以f(x)2sin(2x)，又f712 2，所以27122k32，kZ，2k3，kZ，又|0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g4 2
6、，则f38()A.2 B 2C.2D2答案题型一 函数yAsin(x)的图象及变换解析 因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)Asin0，所以sin0.又|0，左移；0，上移；k0，0，|2 的图象如图所示，则函数f(x)的对称中心可以为()A.6，0B.6，1C.6，0D.6，1答案题型二 由图象确定yAsin(x)的解析式解析 由图可知A312 2，b312 1，T2712 12，所以2，所以f(x)2sin(2x)1，因为点12，3 在函数f(x)的图象上所以32sin2 12 1，即sin6 1.所以62k2(kZ)，解析又|0，|2 的图象上的一个最高点和它相邻的一个最
7、低点的距离为2 2，且函数f(x)的图象过点P2，12，则函数f(x)()A.sin2x6Bsin2x6C.sin32 x3Dsin2x6答案解析 由题意得2222 2，解得2，所以函数f(x)sin2x，又因为函数f(x)的图象过点P2，12，所以sin()12，即sin12，sin12，又因为|0，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则AMm2，bMm2.如举例说明1；(2)求：确定函数的周期T，则可得2T.如举例说明1；(3)求的常用方法代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
8、如举例说明1.五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：第一点图象上升时与x轴的交点x0第二点图象的“峰点”x2第三点图象下降时与x轴的交点x第四点图象的“谷点”x32第五点图象第二次上升时与x轴的交点x21(2019四川绵阳诊断)如图是函数f(x)cos(x)02 的部分图象，则f(3x0)()A.12B12 C.32D 32解析 f(x)cos(x)的图象过点0，32，32 cos，结合00，|2，yf(x)的部分图象如图所示，则f24 等于_3解析 观察图象可知T238 8，所以 24，2，所以f(x)Atan(2x)又因为函数图象过点38，0，所以0Atan2
9、38 ，所以34 k(kZ)，所以k34(kZ)又因为|2，所以4.又图象过点(0,1)，所以A1.综上知，f(x)tan2x4，故f24 tan2 244 3.解析角度1 三角函数模型的应用1如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sin6x k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5 B6 C8 D10解析 由图象可知，ymin2，因为ymin3k，所以3k2，解得k5，所以这段时间水深的最大值是ymax3k358.答案解析题型三 三角函数图象性质的应用 角度2 函数零点(方程根)问题2.(2019哈尔滨六中模拟)设函数f(x)sin2x4，x0，98
10、，若方程f(x)a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1x2x3，则x1x2x3的取值范围是()A.98，54B.54，118C.32，138D.74，158答案解析 由题意x0，98，则2x44，52，画出函数的大致图象，如图所示，由图得，当 22 a1时，方程f(x)a恰好有三个根，由2x42得x8，由2x432 得x58，解析由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x8对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x58 对称，x1x24，x398，则54 x1x2x30，0)；画出一个周期上的函数图象；利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题如举例说明2.(3)研究yAsin(x)
11、的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题1(2019玉溪模拟)函数f(x)log4x的图象与函数g(x)sinx的图象的交点个数是()A2 B3 C4 D5解析 如图，在同一坐标系中画出函数f(x)log4x，函数g(x)sinx的图象，当x4时，f(x)1，与g(x)1不再有交点，结合图象可知，交点个数为3.答案解析2一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是()Ah(t)8sin6t10Bh(t)cos6t10Ch(t)8sin6t8
12、Dh(t)8cos6t10答案解析 设h(t)AcostB，因为12 min旋转一周，所以212，所以6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以AB18，AB2，解得A8，B10.所以h(t)8cos6t10.解析3函数f(x)Asin(x)0，|2 的部分图象如图，则()A函数f(x)的对称轴方程为x4k4(kZ)B函数f(x)的递减区间为8k4，8k54(kZ)C函数f(x)的递增区间为8k1,8k5(kZ)Df(x)1的解集为8k13，8k73(kZ)答案解析 由题图知，A2，函数f(x)的最小正周期T4(31)8，故28 4，所以f(x)2sin4x，因为点(1,2)在图象上，所以2s
13、in4 2，因为|0)的部分图象如图，则等于()A5 B4C3 D2解析 由图象可知，函数ysin(x)的最小正周期T2x04x02，所以22，所以4.答案解析3(2019山西五校联考)设kR，则函数f(x)sinkx6 k的部分图象不可能为()答案解析 当k0时，f(x)sin 6 12，其图象为A；当k2时，f(x)sin2x6 2，其图象为B；当k1时，f(x)sinx6 1，其图象为C；由D的图象可知f(x)max2，则21kk1.此时，f(x)sinx6 1的图象关于直线x3对称，这与图象不符，故选D.解析4(2020广东汕头摸底)若函数y3cos(2x)的图象关于点43，0 对称，
14、则|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2解析 由题意得3cos243 3cos23 2 3cos23 0，23 k2，kZ，k6，kZ.取k0，得|的最小值为6.答案解析5(2019枣庄二模)将函数f(x)2sin4x3 的图象向左平移6个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图象，则下列关于函数yg(x)的说法错误的是()A最小正周期为B图象关于直线x 12对称C图象关于点12，0 对称D初相为3解析 易求得g(x)2sin2x3，其最小正周期为，初相为3，即A，D正确；而g12 2sin22，故函数yg(x)的图象关于直线x 12对称，即B正确，C错误，故选
15、C.答案解析6(2020湖北襄阳摸底)将函数f(x)sin(2x)20)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P0，32，则的值可以是()A.53B.56C.2D.6答案解析 由题意知g(x)sin(2x2)，由f(0)sin 32，20，0)的部分图象如图所示，则f3 的值是_ 62解析 由题中图象可知A 2，T471234，即T，又知T2，2，即函数f(x)2sin(2x)由题意知f712 2，即 2sin2712 2，sin76 1，76 2k32(kZ)，2k3(kZ)f(x)2sin2x2k3 2sin2x3.f3 2sin3 62.解析9如表给出的是
16、某港口在某季节每天几个时刻的水深关系时刻t0：00 3：00 6：00 9：0012：0015：0018：0021：0024：00水深y(m)5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深y(m)和时刻t(0t24)的关系可用函数yAsinth(其中A0，0，h0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为_ m.4解析 从题表可以看出最大值和最小值分别为7,3，周期为T12，即Ah7，Ah3 且2126，解得A2，h5，所以y2sin6t5，所以当t11时，y2sin116 5514.解析10已知关于x的方程2sinx6 1a0在区间0，23上存在两个根，则实数a的取值范
17、围是_解析 2sinx6 1a0化为sinx6 a12，令tx 6，由x0，23 得，tx66，56，画出函数ysint，t6，56 的图象和直线ya12，当12a121，即2a3时，函数ysint，t6，56 的图象和直线ya12 有两个公共点，原方程有两个根2,3)解析1(2019石嘴山模拟)将函数f(x)2sin(2x)(0)的图象向左平移6个单位后得到函数yg(x)的图象，若函数yg(x)为偶函数，则函数yf(x)在0，2 的值域为()A1,2 B1,1C 3，2 D 3，3B组能力关答案解析 由已知得g(x)fx6 2sin2x6 2sin2x3，因为函数yg(x)为偶函数，所以32
18、k，kZ.又00，A0)，由T4，得 24，所以2.因为Afxmaxfxmin21.50.5212，所以f(x)12sinx2 1.又函数f(x)的周期为4，且f(1)f(2)f(3)f(4)1.510.514，所以Sf(1)f(2)f(2020)505f(1)f(2)f(3)f(4)50542020.解析3水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A3 3，3 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足yf(t)Rsin(t)t0，0
19、，|2.则下列叙述正确的是_R6，30，6；当t35,55时，点P到x轴的距离的最大值为6；当t10,25时，函数yf(t)单调递减；当t20时，|PA|6 3.解析 由点A(3 3，3)，可得R6，由旋转一周用时60秒，可得T 2 60，则 30，由点A(33，3)，可得AOx6，则6，故正确；由知，f(t)6sin30t6，当t35,55时，30t6，53，即当 30t632 时，点P的坐标为(0，6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故正确；解析当t10,25时，30t66，23，由正弦函数的单调性可知，函数yf(t)在10,25上有增有减，故错误；当t20时，水车旋转了三分之一周期，则A
20、OP23，所以|PA|6 3，故正确解析4已知函数f(x)2sin2x6(其中01)，若点6，0 是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求的值，并求出函数f(x)的增区间；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x，上的图象解(1)因为点6，0 是函数f(x)图象的一个对称中心，所以3 6k(kZ)，所以3k12(kZ)，因为00，02 的图象在y轴上的截距为1，Asin121，即Asin32.函数f(x)Asin(2x)12的图象关于直线x 12对称，2 12k2，kZ，又00，02 的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x 12 对称，若存在x0，2，使m23mf(x)成立，求实数m的取值范围Asin332，A 3，f(x)3sin2x3 12.当x0，2 时，2x33，43，当2x343，即x2时，f(x)min32122.令m23m2，解得m2或m1.解析本课结束
