1、3.2.2 直线的两点式方程1.了解由直线方程的点斜式推 导出两点式方程及截距式方程.2.初步学会用直线方程的知识 解决有关实际问题.教学目标:一、复习回顾：前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？点斜式：y-y0=k(x-x0)斜截式：y=kx+b 垂直于x轴的直线：x=x0垂直于y轴的直线：y=y0思考：大家都知道：两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程能否用“公式”直接写出来呢？二、问题的提出：例如:已知两个点的坐标 P(1,2),Q(3,5).(1)如何求出经过P,Q两点的直线的方程？(2)由此你还有直线方程的新发现吗？三、直线的两点式方程设直线l经过
2、两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2，则(1)直线l的斜率是什么？(2)你能写出直线l的点斜式方程吗？(1)斜率：(2)方程：写成比例式可化为.直线方程的两点式:),(2121121121yyxxxxxxyyyy 已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1x2,y1y2），如何求出通过这两点的直线方程呢？经过直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1x2,y1y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。1、直线的两点式方程:垂直于x轴的直线：x=x0垂直于y轴的直线：y=y0),(2121121121yyxxxxxxyyy
3、y说明:(1)这个方程由直线上两点确定;(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)轴的直线？能否表示垂直于y)1(轴的直线？能否表示垂直于x)2(1122121121(3)()()()()P xyP xyyyxxxxyy经过任意不同两点，的直线都可以用方程表示吗？无法表示垂直坐标轴的直线可以2、中点坐标公式:（1）已知x轴上两点P1(x1，0)，P2(x2,0)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？（2）已知y轴上两点P1(0,y1)，P2(0,y2)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？（3）已知两点P1(0,y)，P2(x,0)，则线段P1P2
4、的中点P0的坐标是什么？（4）已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？例4、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.x y O.M 四、例题分析:B.A.C 四、例题分析:例3、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,求这条直线l的方程.说明(1)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴的截距，此时直线在y轴的截距是b;x l B A O y(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
5、截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程;3、直线的截距式方程：（1）当x1=x2时,直线l的方程是（2）当y1=y2时,直线l的方程是（3）若两点是直线l与x轴的交点A(a,0),和与y轴的交点B(0,b),其中a0,b0,则直线l的方程是怎样的？定义：设直线l与x轴、y轴的交点分别是(a,0),(0,b)，则a、b分别叫做直线在x、y轴上的截距.叫做直线的截距式方程.x=x1y=y1aaxby0001 byax:截距式方程:性思考截距式方程的局限轴的直线？能否表示垂直于y)1(轴的直线？能否表示垂直于x)2(线？能否表示通过原点的直)3(.2,(4,1),.lxylPl例直线 在 轴上的截距
6、为在 轴上截距的 倍 且过求直线 的方程无法表示垂直坐标轴和过原点的直线3、直线的截距式方程：、000001112221211211下列四个命题中的真命题是()A.经过定点P(x,y)的直线都可以用 方程yyk(xx)表示;B.经过任意两个不同P(x,y),P(x,y)的点的直线 都可以用方程(yy)(xx)(xx)(yy)表示;xyC.不经过原点的直线都可以用方程1表示;abD.经过定点的直线都可以用ykxb表示.练习:B 例5 求经过点P(2，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例6 求经过点P(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.2、已知两点A(-3,4),B(3,2
7、),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.练习:五、小结：直线方程名称 直线方程形式适用范围点斜式斜截式两点式截距式)(00 xxkyy不垂直x轴y=kx+b不垂直x轴121121xxxxyyyy不垂直两个坐标轴1 byax不垂直两个坐标轴且不经过原点例1:已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的方程.分析:求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适用范围.题型一 直线的两点式方程解:如右图,直线AC过点A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得整理可得2x+5y
8、-6=0,这就是所求直线AC的方程.直线AB经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等,可知其方程为y=2,这就是所求直线AB的方程.03,2023yx 直线BC经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等,可知其方程为x=3,这就是所求直线BC的方程.由于A(-2,2),C(3,0),kAC=由AC边上的高线与AC垂直,设其斜率为k,则kkAC=-1,得根据直线的点斜式方程,得y-2=(x-3),即5x-2y-11=0,这就是所求的AC边上的高线所在直线的方程.0 22.3(2)5 5.2k 52规律技巧:当直线与坐标轴平行或重合时,不能 用两点式,应作特殊处理.变式训练1:已知
9、两点A(3,2),B(8,12).(1)求出直线AB的方程;(2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.解:(1)由直线的两点式方程得即为2x-y-4=0,这就是直线AB的方程.(2)点C(-2,a)在直线AB上,2(-2)-a-4=0.a=-8.23.12283yx例2:直线l过点P(-6，3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍，求直线l的方程.分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正,可负,可为零,所以应分b=0和b0两种情况解答.题型二 直线的截距式方程解:(1)当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx,直线l过点P
10、(-6,3).3=-6k,k=-.直线l的方程为y=-x,即x+2y=0.1212(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程为又直线l过点P(-6,3),解得b=1.直线l的方程为+y=1.即x+3y-3=0.综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.1,3xybb6313bb 3x1.:()()321.14xyxy12解直线的截距式方程为直线的截距式方程为变式训练2:根据条件,求下列各题中直线的截距式方程.(1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2;(2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4.例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为-2的直线
11、方程.分析:依题意知,截距不为0,故可设出直线的截距式方程,利用待定系数法求解.题型三 直线方程的应用规律技巧:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式,由于本题涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的截距式方程.1,1|32,:24l:m4,m,11.44,n1416166.xymnmnnmxyxy n16l或解 设直线由题意得解得或故直线 的方程是变式训练3:求与两坐标围成的三角形面积为32,且斜率为-4的直线l的方程.例4:已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.错解:错解1:由于直线l的截距相等,故直线l的斜率为1.若k=1,则直线方程为:y+2=x
12、-3,即为x-y-5=0;若k=-1,则直线方程为:y+2=-(x-3),即为x+y-1=0.易错探究1,xyaa321,aa错解2:由题意,直线在两轴上的截距相等,可设直线的方程为:由于直线过点(3,-2),则有所以a=1.即所求的方程为x+y-1=0.错因分析:在上述两种错解中,错解1忽视了截距的意义,截距不是距离,它可正可负,也可以为0.当k=1时,直线x-y-5=0在两轴上的截距分别为5和-5,它们是不相等的.另外,这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形;错解2中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解.32正解:解法1:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其斜
13、率为k,则可得直线的方程为:y+2=k(x-3).令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得由题意得-2-3k=3+解得k=-1,或k=所以l的方程为:y+2=-(x-3),或y+2=(x-3).即为x+y-1=0,或2x+3y=0.32 kxk232解法2:设直线l在两轴上的截距均为a.(1)若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为:2x+3y=0;(2)若a0,则l的方程可设为:因为l过点(3,-2),知=1,即a=1.所以直线l的方程为x+y=1,即为x+y-1=0.综合(1)(2)可知:直线l的方程为2x+3y=0,或x+y-1=0.1.xyaa32aa基础强化:1.过两点(2,5),(
14、2,-5)的直线方程是()A.x=5 B.y=2 C.x=2D.x+y=2C2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是().1.1 .1.143344343xyxyxyxyABCDA3.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是()C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0111212121121.yyxxyyyyAByyxxxxxxC4.直线ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是()1111.|.2222|AabBabCDabab11,.1 111|.22y|:,xbaSbaabx0y0解析 令
15、得令得故三角形面积为Dx=3y=-26.过(3,0)点与x轴垂直的直线方程为_,纵截距为-2且与y轴垂直的直线方程为_.5.直线ax-y+a=0(a0)在两坐标轴上截距之和是()A.a-1B.1-a C.a+1D.1aa解析:令x=0,得y=a.令y=0,得x=-1,故直线在两坐标轴上截距之和为a-1.A7.过(5,7)及(1,3)两点的直线方程为_,若点(a,12)在此直线上,则a=_.解析:过点(5,7)及(1,3)两点的直线方程为即x-y+2=0.点(a,12)在x-y+2=0上,a-12+2=0.a=10.75,3 71 5yxx-y+2=0108.已知直线l的斜率为6，且在两坐标轴上
16、的截距之和为10，求此直线l的方程.解法1:设直线方程为y=6x+b,令x=0,得y=b,令y=0得由题意=10.b=12.所以所求直线方程为6x-y+12=0.,6bx 6bb 34，223.4403444(0).|(:)1233345|4|12.3.3333.3,0?.41204lyxbyxbxybbbbbbbbbbbbyxxy 0解 由题意可设直线 的方程为令得令，得即直线与两坐标轴的交点为，由题意故所求直线的方，即为；程为，能力提升:9.求斜率为且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线l的方程.:5.61|3265.15abxyabababababab 解 设直线方程为由题意得即，或
17、10.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在两坐标轴上的截距之和为5,求这样的直线有几条?6325236615164.abaaabbbabaaabbb 由得或由得或故所求直线有 条12.(上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是()A.1或3B.1或5 C.3或5D.1或2解析:当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.显然平行;验证当k=1时,l1:-2x+3y+1=0,l2:-4x-2y+3=0,显然不平行.因此,选C.11.(安徽文4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程为()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析:所求直线可设为x-2y+c=0.过点(1,0),1+c=0,c=-1.所求直线为x-2y-1=0.A C课堂小结:1.两点式、截距式、中点坐标.2.到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？3.要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？课后作业:1.阅读教材P.95到P.97；2.课堂练习：P97 1、2、3课外作业：P100 习题 3.2 A组6、7、8、9B组 1 做书上
