1、第二部分 讲重点小题专练 第8讲 三角函数 热点调研【典例 1】(给值求值)(1)(2015宁夏银川月考)若 tan3，则 sin(24)的值为()A 210 B.210C.5 210D.7 210调研一 求值【解析】sin22sincos 2sincossin2cos2 2tantan2135.又cos2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245，sin(24)22 sin2 22 cos2 22(3545)210.【答案】A(2)(2015河北唐山联考)已知(0，)，且 sin(4)210，则 tan2()A.43B.34C247D.247【解析】sin(4)
2、22(sincos)210，sincos15.又(0，)，且 sin2cos21，sin45，cos35，tan43，tan2 2tan1tan2247.【答案】C【对点练 1】(1)(2015赣州模拟)已知倾斜角为 的直线 l与直线 x2y30 垂直，则 sin4sin2cos2cos4 的值为()A.75B.725C.1925D.2325【解析】由已知，得 tan2，sin4sin2cos2cos4 sin2 sin2cos2 cos2 sin2cos2sin2cos2 sin2cos2sin2cos22 tan21tan21tan2tan2121925，故选 C.【答案】C(2)(201
3、5河北衡水中学二调)已知 x(2，0)，cos2xa，则sinx()A.1a2B1a2C.1a2D1a2【解析】由2x0 知 sinx0，又 sin2x1cos2x21a2，sinx1a2.【答案】B(3)(2015山东日照联考)sin22425，02，则 2cos(4)的值为()A.15B15C15D.75【解析】(sincos)21sin24925，因为 02，所以sincos75，则 2cos(4)2 22(cossin)75.【答案】D【典例 2】(角的变换)(1)(2015山东德州月考)设 为锐角，若 cos(6)45，则 sin(12)_.【解析】由 为锐角，cos(6)45，得
4、sin(6)35，sin(12)sin(6)4sin(6)cos4cos(6)sin4 210.【答案】210(2)(2015福建武夷山质检)若，(0，2)，cos(2)32，sin(2)12，则 cos()_.【解析】，(0，2)，422，224，由 cos(2)32 和 sin(2)12，得 26，26.当 26，26时，0，与，(0，2)矛盾；当 26，26时，3，此时 cos()12.【答案】12(3)(2015珠海一模)已知 tan()25，tan13，则 tan()的值为_【解析】tan()25，tan13，tantan()tantan1tantan251312513 117，ta
5、n()tantan1tantan 117131 11713 726.【答案】726【对点练 2】(1)(2015湖南浏阳模拟)若 sin(6)13，则2cos2(62)1()A.13B13C.79D79【解析】2cos2(62)1cos(3)sin2(3)sin(6)13，选 A.【答案】A(2)(2015河南开封一模)若 是锐角，且 cos(3)33，则sin 的值等于()A.636B.636C.2 616D.2 616【解析】因为 是锐角，则 sin(3)1cos2363，所以 sinsin(3)3sin(3)cos3cos(3)sin363 12 33 32 636，故选 B.【答案】B
6、(3)(2015福建厦门期末)已知 sin(3)sin4 35，则cos(23)等于()A45B35C.45D.35【解析】由 sin(3)sin4 35，得 3sin(6)4 35，sin(6)45.故 cos(23)cos(62)sin(6)45，故选 C.【答案】C【典例 3】(求角)(2015上海静安区一模)已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两根，(2，2)，则 _.【解析】由已知，根据一元二次方程根与系数的关系得 tantan3 3，tantan4.因为，(2，2)，所以 tan0，tan0，(2，0)tan()tantan1tantan3 314 3，所以 23.【
7、答案】23【对点练 3】(2015洛阳调研)已知 cos17，cos()1314，且 02，则 _.【解析】由 cos17，02，得 sin1cos211724 37.由 02，得 0f(2)，f(0)k2f(8)，1k0，函数 ysin2x2sin2x12sinxcosx3sin2xcos2x2tanx3tan2x123tanx 1tanx 22 3 33，当且仅当 3tanx 1tanx时等号成立故最大值为 33.【答案】33【典例 5】(单调性)(1)(2015河南安阳月考)函数 y2sin(62x)(x0，)为增函数的区间是()A0，3 B 12，712C3，56 D56，【解析】因为
8、 y2sin(62x)2sin(2x6)，由22k2x632 2k，kZ，解得3kx56 k，kZ，即函数的增区间为3k，56 k(kZ)因为 x0，所以增区间为3，56，故选 C.【答案】C(2)(2015新课标全国)函数 f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为()A(k14，k34)，kZB(2k14，2k34)，kZC(k14，k34)，kZD(2k14，2k34)，kZ【解析】观察题目中函数图像，得 T2(5414)22，从而，所以 f(x)cos(x)将点(14，0)的坐标代入上式，得0cos(4)结合图像，422k(kZ)取 k0，得 4.所以 f(x
9、)cos(x4)由 2kx42k(kZ)，解得 2k14x2k34(kZ)，选D.【答案】D(3)(2015山东文登统考)已知 f(x)是偶函数，当 x0，2时，f(x)xsinx，若 af(cos1)，bf(cos2)，cf(cos3)，则 a，b，c 的大小关系为()Aabc BbacCcba Dbca【解析】函数 f(x)为偶函数，bf(cos2)f(cos2)，cf(cos3)f(cos3)，x0，2，f(x)sinxxcosx0，函数 f(x)在区间0，2上为增函数据单位圆中三角函数线得cos2cos1cos3，f(cos2)f(cos1)f(cos3)，即 babc BbcaCcb
10、a Dcab【解析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简，结合 ysinx 的单调性比较asin33，bcos55sin35，ctan35sin35cos35，又 0cos35ba.【答案】C(2)(2015陕西师大附中一模)已知 0，函数 f(x)cos(x4)在(2，)上单调递增，则 的取值范围是()A12，54 B12，74C34，94 D32，74【解析】ycosx 的单调递增区间为2k，2k，kZ，由2k2 42k，2k42k，kZ，解得4k522k14.又 4k52(2k14)0 且 2k140，得 k1，所以 32，74【答案】D(3)(2015山西康杰中学联考)若函数 f
11、(x)sin(x)(0 且|2)在区间6，23上是单调递减函数，且函数值从 1 减小到1，则 f(4)_.【解析】由题意可得，函数的周期为 2(23 6)，即2，2，f(x)sin(2x)由 sin(26)1，|0，故排除 C，故选 A.【答案】A【对点练 6】(1)(2015衡水调研)已知函数 f(x)sinxcosx(05)，若 f(x)(f(x)为 f(x)的导函数)的图像的一个对称中心是(8，0)，则 f(x)的图像的对称轴方程为_【解析】依题意对 f(x)求导，得 f(x)(cosxsinx)，则f(8)(cos8 sin8)0，从而tan8 1.所以8 m4(mZ)，即 8m2(m
12、Z)而 00)的图像与性质求解的切入点从 f(x)的图像的一个对称中心是(8，0)出发，先对 f(x)求导，由 f(8)0 及 的取值范围确定 的值，进而得到 f(x)的解析式，再由 f(x)的解析式得到对称轴方程(2)(2015浙江模拟)“2”是“曲线 ysin(2x)关于 y 轴对称”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】当 2时，ysin(2x)cos2x 为偶函数，图像关于 y 轴对称，故充分性成立；曲线 ysin(2x)关于 y 轴对称，则 k2，kZ，故必要性不成立【答案】A(3)(2015保定调研)若函数 f(x)4cosxsin(x6
13、)1 的图像向右平移 个单位后对应的函数为奇函数，则|的最小值为()A.6B.12C.56D.23【解析】由于 f(x)4cosxsin(x6)14cosx(32 sinx12cosx)12 3sinxcosx2cos2x1 3sin2xcos2x2sin(2x6)，故函数 f(x)2sin(2x6)的图像向右平移 个单位后对应的函数为 y2sin2(x)62sin(2x26)，由函数为奇函数，得26k，kZ，即 12k2，kZ.所以当 k0 时，|取得最小值，最小值为 12，故选 B.【答案】B【探究】本题主要考查三角函数的恒等变换，以及三角函数图像的平移变换与三角函数的奇偶性等首先根据两角
14、和的正弦公式及二倍角公式将函数解析式化简，然后根据三角函数图像的平移变换确定平移之后的函数解析式，再根据函数的奇偶性确定 的取值，进而判断其绝对值的最小值(4)(2015上海宝山区期末)函数 ysin(x)(0)是 R 上的偶函数，则 的值是_【解析】函数 ysin(x)是 R 上的偶函数，就是 x0 时函数取得最值，所以 f(0)1，即 sin1，所以 k2(kZ)，因为 0，所以 2.【答案】2【典例 7】(周期性)(1)(2015河北保定期末)已知函数 f(x)sin(x4)(0)的最小正周期为，则 f(8)()A1 B.12C1 D12【解析】因为函数 f(x)sin(x4)(0)的最
15、小正周期为，所以 2 2，则 f(8)sin(284)sin21，所以选 A.【答案】A(2)(2015河南驻马店模拟)如图所示为函数 f(x)2sin(x)(0,0)的部分图像，其中 A，B 两点之间的距离为 5，那么 f(1)()A2 B.3C 3D2【解析】由 A，B 两点之间的距离为 5 可知，A，B 两点横坐标差的绝对值为 3，所以该函数的周期 T6，得 3.由图像过点(0,1)，得 sin(30)12.又因为过点(0,1)的函数图像自左向右下降，所以 2k56(kZ)因为 0，所以 56，故f(1)2，故选 A.【答案】A【对点练 7】(1)(2015河北冀州中学月考)若函数 f(
16、x)2sinx(0)的图像在(0,2)上恰有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围是()A(34，1 B(1，54C(34，45 D(34，54【解析】因为函数 f(x)2sinx(0)的图像在(0,2)上恰有一个极大值和一个极小值，所以3420，0)若 f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f2 f23f6，则 f(x)的最小正周期为_【解析】利用正弦型函数的对称性求周期f(x)在6，2 上具有单调性，T226.T23.f2 f23，f(x)的一条对称轴为 x2232712.又f2 f6，f(x)的一个对称中心的横坐标为262 3.14T71234，T.【答案】1对于三角函数，常见的求值域
17、最值的方法有：(1)yasinxb(或 acosxb)型利用三角函数的值域，需注意对字母 a 的讨论(2)yasinxbcosx 型借助辅助角化成 y a2b2sin(x)的形式，再利用有界性解决(3)yasin2xbsinxc 型配方后转化为二次函数的最值，应注意|sinx|1 的约束(4)yasinxbcsinxd型反解出 sinx，化归为|sinx|1 解决(5)yasinxbccosxd型化归为 yAsinxBcosx 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)(6)ya(sinxcosx)bsinxcosxc 型常用到换元法，令 tsinxcosx，|t|2.最终转化为关于 t的二
18、次函数在限定区间内的最值问题(7)yasin2xbsinxcosxccos2x 型利用降幂公式和二倍角公式进行转化，最终可化为 yAsin(x)B 的形式2求三角函数单调区间的方法(1)求函数 yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)的单调区间时，要先把相应“x”中的 化成正数，再将化简后的“x”看作一个整体，结合三角函数的单调性，解不等式即可求得(2)利用三角函数图像的直观性：增升，减降！3(1)求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解(2)正、余弦函数的图像
19、既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图像只是中心对称图形应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用(3)yAsinx(A0，0)是奇函数；yAcosx(A0，0)是偶函数；若 yAsin(x)是奇函数，则 k，kZ；若是偶函数，则 k2，kZ；若 yAcos(x)是奇函数，则 k2，kZ；若是偶函数，则 k，kZ.(4)yAsin(x)或 yAcos(x)在对称轴处取最值；在对称中心处函数值为 0.【典例 8】(图像)(1)(2015贵州贵阳考试)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|2)的部分图像如图所示，则 f(x)的解析式为()调研三 三角函数图像及变换Af(x
20、)sin(2x3)Bf(x)sin(2x3)Cf(x)sin(2x6)Df(x)sin(2x6)【解析】由题中图像可知 A1，且14T142 71234，解得 2，f(x)sin(2x)把(712，1)代入，得1sin(2712)，|0，|2)的部分图像如图所示，令 anf(n6)，则 a1a2a3a2 014_.【解析】由图像可知，14T5126，解得 T，故有 2T2 2.函数图像过点(6，1)，故有 1sin(26)，|2，解得6，从而有 f(x)sin(2x6)a1sin(266)1，a2sin(226 6)12，a3sin(236 6)12，a4sin(246 6)1，a5sin(2
21、56 6)12，a6sin(266 6)12，a7sin(276 6)1，a8sin(286 6)12，观察规律可知 an 的取值以 6 为周期，且一个周期内的和为 0，又 2 01463354，所以 a1a2a3a2 014a2 011a2 012a2 013a2 0141121210.【答案】0【对 点 练 8】(1)(2015 豫 晋 冀 二 次 调 研)函 数 y kx12x0，2sinx0 x83，00，0，|0，|0，|0)或向右(0)，(纵坐标不变)，得到 ysin(x)；将 ysin(x)图像上每点的纵坐标变为原来的 A 倍(A0)，(横坐标不变)，即得 yAsin(x)(A0
22、，0)的图像方法二 将 ysinx 图像上每点的横坐标变为原来的1倍(0)，(纵坐标不变)，得 ysinx 的图像；将 ysinx 图像向左(0)或向右(0)，(横坐标不变)，即得 yAsin(x)的图像2根据图像求 yAsin(x)，xR 的解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期，从而得到 A 与.A 为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半 由周期得到：a.函数图像在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；b.函数图像与 x 轴的交点是对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；c.一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图像很好理解记忆)(2)求 的值时最好选用最值点求峰点：x22k；谷点：x22k.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点升零点(图像上升时与 x 轴的交点)：x2k；降零点(图像下降时与 x 轴的交点)：x2k(以上 kZ)
