1、13.5.3角平分线一、选择题1.如图1,OP为AOB的平分线,PCOA,PDOB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是()A.PC=PDB.CPO=DOPC.CPO=DPOD.OC=OD图12.2020怀化 如图2,在RtABC中,B=90,AD平分BAC,交BC于点D,DEAC,垂足为E.若BD=3,则DE的长为()A.3B.4C.28D.6图23.如图3,点O在ABC内,且到三边的距离相等.若BOC=120,则A的度数为()A.30B.45C.60D.75图34.如图4,在ABC中,C=90,AC=8,DC=13AD,BD平分ABC,则点D到AB的距离等于()A.4B.3C.2D.1图4
2、5.如图5,下列条件中不能确定点O在APB的平分线上的是()A.ABPD,DCPBB.PBAPDCC.AODCOBD.点O到APB两边的距离相等图56.如图6,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是()A.AE,BF是ABC的内角平分线B.CG也是ABC的一条内角平分线C.点O到ABC三边的距离相等D.AO=BO=CO图67.如图7,ABCD,BP和CP分别平分ABC和DCB,AD过点P,且与CD垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是()A.8B.6C.4D.2图78.如图8,AD是ABC的角平分线,DFAB,垂足为F,DE=DG,ADG和AED的面积分别为50和24,则EDF的面积为()
3、A.12B.26C.6D.13图8二、填空题9.如图9所示,CDOA,CEOB,垂足分别为D,E,根据角平分线的性质和判定填空:(1)若CD=CE,则(填1与2的数量关系);(2)若1=2,则(填CD与CE的数量关系).图910.如图10,在ABC中,ABC,ACB的平分线交于点O,ODAB于点D,OEAC于点E.若BD=3,OD=2,则OE=.图1011.如图11,在BCD中,BDC=90,以BD为斜边向外作RtABD.若AD=4,ADB=C,且P是BC边上一动点,则DP长的最小值为.图1112.如图12,已知PAON于点A,PBOM于点B,且PA=PB,MON=60,OPC=25,则PCA
4、=.图12三、解答题13.如图13,DEAB交AB的延长线于点E,DFAC于点F,且BE=CF,BD=CD.求证:AD平分BAC.图1314.有在公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B(如图14所示).电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不要求写出作法)图1415.如图15所示,PBAB于点B,PCAC于点C,且PB=PC,D是AP上的一点.求证:BDP=CDP.图1516.如图16,AD平分BAC,DGBC于点G,且平
5、分BC,DEAB于点E,DFAC,交AC的延长线于点F.求证:BE=CF.图1617.如图17,在四边形ABCD中,AC平分BAD,AB=AD,E,F两点分别在AB,AD上,且AE=DF.四边形AECF的面积与四边形ABCD的面积有何关系?请说明理由.图17答案1.B2.解析 AB=90,DBAB.又AD平分BAC,DEAC,由角平分线的性质得DE=BD=3.故选A.3.解析 C点O到ABC三边的距离相等,BO平分ABC,CO平分ACB,A=180-(ABC+ACB)=180-2(OBC+OCB)=180-2(180-BOC)=180-2(180-120)=60.故选C.4.解析 C如图,过点
6、D作DEAB于点E.AC=8,DC=13AD,CD=811+3=2.C=90,BD平分ABC,DEAB,DE=CD=2,即点D到AB的距离为2.故选C.5.A6.D7.解析 C如图,过点P作PEBC于点E.ABCD,ADCD,ADAB.BP和CP分别平分ABC和DCB,PA=PE,PD=PE,PE=PA=PD.PA+PD=AD=8,PA=PD=4,PE=4.故选C.8.D9.(1)1=2(2)CD=CE10.211.答案 4解析 BDC=90,A=90,ABD+ADB=90,C+CBD=90.又ADB=C,ABD=CBD.由垂线段最短可知当DPBC时DP的长度最小,此时DP=AD.AD=4,D
7、P的最小值为4.故答案为4.12.5513.证明:DEAB交AB的延长线于点E,DFAC于点F,BED=CFD=90,BDE与CDF都是直角三角形.在RtBDE和RtCDF中,BE=CF,BD=CD,RtBDERtCDF(H.L.),DE=DF.又DEAB,DFAC,AD平分BAC.14.解:由题意可知,所求作的点C需要满足两个要求:(1)到A,B两点的距离相等,此时点C在AB的垂直平分线上;(2)到两条公路l1,l2的距离相等,此时点C在两条公路夹角的平分线上.因此,只需要按照如下作法就可找到点C的位置.连结AB,作AB的垂直平分线FG;作两条公路夹角的平分线OD和OE,分别与FG交于点C1
8、和C2(如图所示),则点C1,C2就是所求作的位置.15.证明:PBAB,PCAC,PB=PC,AP平分BAC(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上),BAP=CAP.BAP+BPA=90,CAP+CPA=90,BPD=CPD(等角的余角相等).在PBD和PCD中,PB=PC,BPD=CPD,PD=PD,PBDPCD,BDP=CDP(全等三角形的对应角相等).16.证明:如图,连结BD,CD.AD平分BAC,且DEAB,DFAC,DE=DF,BED=CFD=90.DGBC,且平分BC,BD=CD.在RtBED和RtCFD中,BD=CD,DE=DF,RtBEDRtCFD(H.L.),BE=CF.17.解:四边形AECF的面积为四边形ABCD的面积的一半.理由:如图,过点C分别作CGAB于点G,CHAD于点H.AC平分BAD,CG=CH.AB=AD,ABC的面积=ACD的面积.AE=DF,AEC的面积=CDF的面积.BCE的面积=ABC的面积-AEC的面积,ACF的面积=ACD的面积-CDF的面积,BCE的面积=ACF的面积.四边形AECF的面积=AEC的面积+ACF的面积,四边形AECF的面积=AEC的面积+BCE的面积=ABC的面积.又四边形ABCD的面积=ABC的面积+ACD的面积,四边形ABCD的面积=2ABC的面积,四边形AECF的面积为四边形ABCD的面积的一半.
