1、第9讲 立体几何 热 点 调 研 调研一 空间几何体考向一 空间几何体的面积与体积 命题方向：1多面体的面积与体积；2旋转体的面积与体积多面体的面积与体积(1)(2016北京丰台)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的全面积是()A.334a2 B.34a2C.332a2D.634a2【解析】由于正三棱锥的侧面都是直角三角形，所以直角顶点应该就是棱锥的顶点，即棱锥的三条侧棱两两垂直，由于底面边长为 a，所以侧棱长等于 22 a，故该三棱锥的全面积 S 34 a2312(22 a)23 34a2.故选 A.【答案】A(2)(2016保定调研)已知一个四棱锥的高为 3，其底面
2、用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为()A2 2B6 2C1 D.2【解析】因为底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1 和 3 的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为 2 2，所以该四棱锥的体积为 V132 2132 2.【答案】A(3)(2016厦门模拟)如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1 中，点D 是 AB 的中点，平面 A1DC 分此棱柱成两部分，多面体 A1ADC与多面体 A1B1C1DBC 体积的比值为_【解析】设三棱柱的底面面积为 S，高
3、为 h，则三棱柱的体积为 Sh.由点 D 是 AB 的中点，可得多面体 A1ADC，即三棱锥A1ADC 的高仍为 h，底面面积为12S，所以该三棱锥的体积为V11312Sh16Sh.多面体 A1B1C1DBC 的体积为 V2Sh16Sh56Sh.所以多面体 A1ADC 与多面体 A1B1C1DBC 体积的比值为15.【答案】15(4)(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.12D1【解析】由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥 ABCD，将其放在长方体中如图所示，其中 BDCD1，CDBD，三棱锥的高为 1，所以三棱锥的体积为131211116.故选A
4、.【答案】A旋转体的面积与体积(1)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为_【解析】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，高为 h，则12l22，l2r，l2，r1，h l2r2 3.所以圆锥的体积 V13r2h 33.【答案】33(2)(2016唐山模拟)如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，圆心为 B，半径为 1 的圆与 AB、BC 分别交于 E、F，则阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成几何体的体积等于()AB6C.43D4【解析】由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥该圆柱的底面半径 RBA2，母线长 lAD
5、2，故该圆柱的体积 V12228，半球的半径为 1，其体积 V212431323，圆锥的底面半径为 2，高为 1，其体积 V31322143，所以阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成几何体的体积 VV1V2V36.【答案】B(3)(2016武昌调研)某超市为了方便摆放要售卖的足球，利用边长为 a 的正方形硬纸片做了一个支架(如图)，以各边中点连线折起四个小三角形，并使得四个小三角形与底面垂直，此时，足球上最高点到支架底面的距离为 2a，则该足球的表面积为_【解析】支架的高为 24 a，支架的最高点的连线组成边长为12a 的正方形，其外接圆的半径为 2a4，设足球的半径为 R，则球心到该圆面的距离
6、为R218a2，所以足球的最高点到底面的距离为 RR218a2 2a4 2a，解之得 R5 2a12，该足球的表面积为 S4R225a218.【答案】25a218(4)(2016新课标全国)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17B18C20D28【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为 r，故7843r3283，所以 r2，表面积 S784r234r217，选 A.【答案】A1几何体的表面积与体积一直是高考的热点内容，应引起重视 2求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考
7、虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等积转化法是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 3求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解1.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_答案 16解析 VD1EDFVFD1ED，又 SD1ED12，点 F 到平面 D1ED 的距离为 1，VD1EDFVFD1ED16.2(2016天津)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.答案 2解析 根据三
8、视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2 m、高为 1 m 的平行四边形，四棱锥的高为 3 m，故其体积为132132(m)3.3(2016广西南宁测试)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且V1V232，则S1S2的值是_答案 94解析 设两个圆柱的底面半径分别为 r1，r2，高分别为 h1，h2，则有 2r1h12r2h2，即 r1h1r2h2，又V1V2r12h1r22h2，V1V2r1r2，r1r232，则S1S2(r1r2)294.4(2016芜湖模拟)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A.172B9C.192D10答案 B解析
9、由三视图可知，该几何体为圆柱与球的14组合而成，故其表面积为1221314(412)129.考向二 球与多面体的切接问题 命题方向：1多面体外接球问题；2多面体内切球问题求外接球半径(1)(2016百校联盟考试)如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径 r1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则球的半径 R_【解析】根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O，且 ABO1C，所以 OO1 R21，因此体积较小的圆锥的高 AO1R R21，体积较大的圆锥的高 BO1R R21，故AO1BO1R R21R R2113，化简得 R2
10、 R21，即 3R24，得 R2 33.【答案】2 33【回顾】圆锥的外接球，球心一定位于高线上(2)(2016蚌埠市模拟)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 是线段 A1C1 上的动点，则四棱锥 PABCD 的外接球的半径 R 的取值范围为_【解析】由对称性知球心 O 在过下底面中心 O1 且与底面垂直的直线上当点 P 在点 O2 时，设 OO1s，有 R2s212(1s)2，解得 s14，此时 R2 916，R34.当点 P 在 A1，C1 处时，R 32，所以外接球的半径 R 的取值范围是34，32 【答案】34，32【回顾】(1)本题主要考查几何体的结构、几何体
11、的外接球半径的求法、最值问题，考查空间想象能力、转化与化归能力、运算求解能力，意在让少数考生得分(2)本题若错，一是不能根据已知条件确定球心的大致位置，二是不能合理转化为解三角形的问题解决 求外接球的表面积(1)(2016唐山期末)三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC 且 PA2，ABC 是边长为 3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A.43B4C8D20【解析】由题意得，此三棱锥外接球即为以ABC 为底面、以 PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC 的外接圆半径 r 32 3231，外接球球心到ABC 的外接圆圆心的距离 d1，所以外接球的半径 R r2d2 2，所以三棱锥外接球
12、的表面积S4R28，故选 C.【答案】C(2)(2016广州综合测试)已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为12R，ABAC2，BAC120，则球 O 的表面积为()A.169 B.163 C.649 D.643【解析】由余弦定理，得 BC 44222cos1202 3，设ABC 外接圆半径为 r，由正弦定理：2 3sin1202r，得r2，又 R214R24，所以 R2163，所以球 O 的表面积为 4R2643.【答案】D(3)(2016南昌模拟)正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 2
13、，此时四面体 ABCD 外接球的表面积为_【解析】由题意，求四面体 ABCD 的外接球的表面积可转化为长、宽、高分别为 1、1、3的长方体的外接球的表面积，其半径 R12 1212（3）2 52，所以 S4R25.【答案】5【回顾】(1)四面体外接球球心一定在过底面外心与底面垂直的直线上(2)四面体可以看作是某长方体的一部分！求外接球体积(1)(2016武昌调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 2，则该球的体积为_【解析】如图，正四棱锥 PABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1 上，设球的半径为 R，底面边长为 2 2，所以 AC4，在RtAOO1
14、 中，R2(4R)222，所以 R52，所以球的体积 V43R31256.【答案】1256(2)(2016广州测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为()A20B.2053C5D.556【解析】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r1，其高 h1，球半径为 Rr2（h2）211454，该球的体积 V43R34354545 56.【答案】D【回顾】(1)四棱锥、直六棱柱的外接球球心同样位于过底面外心与底面垂直的直线上(2)球心到多面体各个顶点距离相等 求多面体的高(1)(2016长沙四校联考)已知棱长均为 a 的正三棱柱 A
15、BCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 216 的球面上，则 a 的值为_【解析】设 O 是球心，D 是等边三角形 A1B1C1 的中心，则 OA1 216，因为正三棱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 a，所以 A1D 32 a23 33 a，ODa2，故 A1D2OD2(33 a)2(a2)2(216)2，得 712a22136，即 a21，得 a1.【答案】1(2)(2016衡水调研)已知球 O 为正三锥 PABC 的外接球，若平面 ABC 截球所得的圆面的面积为 3，球 O 的表面积为 16，则点 P 到平面 ABC 的距离为()A3 B2C3 或 1 D4 或 2【解析】由r23得
16、圆面的半径 r 3，由 4R216得 R2，即球 O 的半径为 2；如图设 OO1x(其中 O1 为圆面的圆心)，则 x R2r2 22（3）21，因为 PABC 为正三棱锥，故点 P 到平面 ABC 的距离为 hRx3 或 hRx1.【答案】C【回顾】利用方程思想建立恰当地等量关系是解题的关键 最值问题(1)(2016江西七校联考)已知在直角梯形 ABCD 中，ADCDAB90，ADC 与ABC 均为等腰直角三角形，且 AD1，将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 DABC，当三棱锥 DABC 的体积取得最大值时，其外接球的表面积为_【解析】作出直角梯形 ABCD 如图所示，过 C
17、作 CEAB 于 E，由题意知 CDAD1，ADC90，则 AC 2，故CEEB1，BC 2，故 AC2BC2AB24，即BCA90.可知当平面 ADC平面 ABC 时，三棱锥 DABC 的体积最大，就是三棱锥 BADC 的体积最大，此时将三棱锥 BADC 补成长方体，可知该长方体的长、宽、高分别为 1、1、2，故外接球的半径 R 11221，故其外接球的表面积 S4R24.【答案】4(2)(2016贵州适应性考试)已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱与底面垂直)的体积为 3 3 cm3，其所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积的最小值为_ cm2.【解析】球 O 的表面积最小球 O
18、的半径 R 最小设正三棱柱的底面边长为 a，高为 b，则正三棱柱的体积 V 34 a2b3 3，所以 a2b12.底面正三角形所在截面圆的半径 r 33 a，则R2r2(b2)2(33 a)2b24 1312b b24 4bb24，令 f(b)4bb24，0b2R，则 f(b)b382b2，令 f(b)0，解得 b2，当 0b2时，f(b)2 时，f(b)0，函数 f(b)单调递增，所以当 b2 时，f(b)取得最小值 3，即(R2)min3，故球 O 的表面积的最小值为 4(R2)min12.【答案】12【回顾】(1)立体几何中的最值问题的解法一般分两步，一是利用条件建立目标函数，二是根据目
19、标函数的特点选择方法，如基本不等式、导数法等求解最值(2)解决最值问题有时也可以利用几何知识直接找到最值点！多面体的内切球(2016郑州预测)在正三棱锥 VABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于_【解析】由题意，设侧棱长为 a，底面边长为 b，VVABC13 34 b2a213b231312ba214b22，化简可得 a2b436b23（b248）.则 VV ABC 3 13 12 ba214b2 2 ba214b2 bb436b23（b248）14b2b612（b248），令b2 48 t0，f(t
20、)（t48）3t，f (t)3（t48）2t（t48）3t22（t48）2（t24）t2，故可知 f(t)minf(24)，即当 b24824，b272 时，三棱锥的体积取到最小值，此时 a2b436b23（b248）36，高 ha213b2 36242 3，故填 2 3.【答案】2 3【回顾】几个与球有关的常用结论：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球是正方体的外接球，则 2R 3a；若球是正方体的内切球，则 2Ra.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R a2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.1涉及球与棱柱、棱锥
21、的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系 2若球面四点 P，A，B，C 构成的线段 PA，PB，PC 两两垂直，且 PAa，PBb，PCc，则 4R2a2b2c2，把有关元素“补形”成为一个球内接正方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法 3设 r 是多面体的内切球，则 V 多面体13S 表面积r.1(2016福州五校联考)已知边长为 3 的等边三角形 ABC 的三个顶点都在以 O 为球心的球面上，若三棱锥 OABC 的体积为3 34，则球的表面积为_答案 16解析 设三角形 AB
22、C 的外接圆的半径为 r，圆心为 O1，由正弦定理得 2r3sin602 3，r 3.OO1平面 ABC，VOABC13 34 32|O1O|3 34，|O1O|1，球 O 的半径 Rr21 312，S 球4R216.2(2016天星教育联考)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是_答案 18 3解析 根据已知可得球的半径等于 1，故三棱柱的高等于 2，底面三角形内切圆的半径等于 1，即底面三角形的高等于 3，边长等于 2 3，所以这个三棱柱的表面积等于 32 322122 3318 3.3(2016山西四校联考
23、)若三棱锥 PABC 的最长的棱 PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_答案 43解析 如图，根据题意，可把该三棱锥补形成长方体，则该三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，易得 PA2，三棱锥的外接球的体积 V431343.4(2016东北四市联考)已知底面为正方形的四棱锥 PABCD 内接于半径为 1 的球，顶点 P 在底面 ABCD 上的射影是ABCD 的中心，当四棱锥 PABCD 的体积最大时，四棱锥的高为()A.34B1C.43D.53答案 C解析 依题意，四棱锥 PABCD 为正四棱锥，设其底面边长为 a，底面到球心的距离等于 x，则 x2(22 a)21，而正四棱
24、锥的高度为 h1x，四棱锥的体积 V(x)13a2h13a2(1x)23(1x2)(1x)，其中 x(0，1)，23(1x2)(1x)13(22x)(1x)(1x)13（22x）（1x）（1x）336481，当且仅当 x13时取等号四棱锥的高 h11343.调研二 空间点、线、面的位置关系命题方向：1线、面关系的判定；2.识图通性线、面关系的判定(1)(2016山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 a 和平面 相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若直线 a，b 相交，设交点为 P，则 Pa，Pb
25、.又 a，b，所以 P，P，故，相交反之，若，相交，则 a，b 可能相交，也可能异面或平行故“直线 a和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件【答案】A(2)(2016辽宁六校联考)下列命题中错误的是()A如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面B如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面，平面 平面，l，那么l平面 D如果平面 平面，那么平面 内有且只有一条直线垂直于平面【解析】对于 A，若平面 平面，则在平面 内平行于交线的直线一定平行于平面，故 A 正确；对于 B，若平面 内存在直线垂直于平面，则平面 与平面 一定垂直，故
26、B 正确；对于 C，平面 平面，平面平面，l，若l 不垂直于平面，则在 l 上任取一点 P，过 P 作直线 m，则m，m，所以 m，因此 l 与 m 是同一条直线，即l平面，故 C 正确；对于 D，平面 内存在无数条直线垂直于平面，故 D 错误【答案】D(3)(2016石家庄质检)设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n，则 mn；若，m，则 m；若 n，mn，则 m，且 m；若，则.其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3【解析】mn 或 m，n 异面，故错误；根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知正确；m 或 m，m或 m，故错误；根据面面垂直的性质
27、以及面面平行的判定可知错误，真命题的个数为 1，故选 B.【答案】B【回顾】长(正)方体、三棱柱、三棱锥等常见几何体模型承载着空间线面位置关系，具有很好的验证功能，在客观性试题中用好模型，会事半功倍 识图通性(1)(2016洛阳调研)如图，VA平面 ABC，ABC 的外接圆是以边 AB 的中点为圆心的圆，点 M、N、P 分别为棱 VA、VC、VB 的中点，则下列结论正确的是_(把正确结论的序号都填上)MN平面 ABC；OC平面 VAC；MN 与 BC 所成的角为 60；MNOP；平面 VAC平面 VBC.【审题】以空间几何体为依托，判断空间线、面的位置关系是立体几何的重点内容之一，也是高考常考
28、的知识点之一【解析】对于，因为点 M、N 分别为棱 VA、VC 的中点，所以 MNAC，又 MN平面 ABC，所以 MN平面 ABC，所以正确；对于，假设 OC平面 VAC，则 OCAC，因为 AB 是圆的直径，所以 BCAC，矛盾，所以是不正确的；对于，因为 MNAC，且 BCAC，所以 MN 与 BC 所成的角为 90，所以是不正确的；对于，易得 OPVA，又 VAMN，所以 MNOP，所以正确的；对于，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC，又 BCAC，且 ACVAA，所以 BC平面 VAC，又 BC平面 VBC，所以平面 VAC平面 VBC，所以是正确的综上，应填.
29、【答案】【回顾】破解此类问题需：(1)认真审题，并细观所给的图形，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解；(2)懂得转化，即把面面关系问题转化为线面关系问题，再把线面关系问题转化为线线关系问题，通过转化，把问题简单化，问题的解决也就水到渠成了(2)(2016福州调研)如图，矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE.若 M 为线段A1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()A|BM|是定值B点 M 在某个球面上运动C存在某个位置，使 DEA1CD存在某个位置，使 MB平面 A1DE【解析】取 CD 中点
30、F，连接 MF，BF，则 MFA1D 且MF12A1D，FBED 且 FBED，所以MFBA1DE，由余弦定理可得 MB2MF2FB22MFFBcosMFB 是定值，所以M 是在以 B 为圆心，MB 为半径的球上，可得选项 A，B 正确由MFA1D 与 FBED 可得平面 MBF平面 A1DE，可得选项 D正确；A1C 在平面 ABCD 中的射影与 AC 重合，AC 与 DE 不垂直，可得选项 C 不正确故选 C.【答案】C【回顾】识图通性考察的是综合能力，对于各个定义、判定定理、性质定理一定要做到了然于胸 1长(正)方体、三棱柱、三棱锥等常见几何体模型承载着空间线面位置关系，具有很好的验证功
31、能，在客观性试题中用好模型，会事半功倍 2线面平行的判定方法(1)定义法一般结合反证法证明，此方法不常用(2)利用直线与平面平行的判定定理，使用该定理时，应注意定理成立时所满足的条件(3)利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行 已知直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行 若一直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面也平行 3面面平行(1)面面平行的性质定理的作用：主要用来证明线线平行(2)面面平行的性质的几个重要结论：两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 夹在两个平行平面之间的平行线段相等 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 两
32、条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段对应成比例 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行 4判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直(3)用线面垂直的性质：若两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面(4)用面面平行的性质定理：若一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面(5)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(6)用面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平
33、面，则两平面的交线垂直于第三个平面1(2016新课标全国)，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么；如果 m，n，那么 mn；如果，m，那么 m；如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案 解析 对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，ABCD 所在的平面为，ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立 命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 ln，由 m 知 ml，从而 mn，结论正确 由平面与平面平
34、行的定义知命题正确 由平行的传递性及线面角的定义知命题正确2(2016河南八校联考)设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm，则“ab”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 因为，bm，所以 b，又直线 a 在平面 内，所以 ab；但直线 a，m 不一定相交，所以“ab”是“”的必要不充分条件，故选 B.3(2016商丘二模)如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆的直径，C 是圆 O 上的一点，E，F分别是 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 P
35、BC.其中正确命题的序号是_答案 解析 由于 PA圆 O 所在的平面，BC，可得 PABC，而 AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上一点，则有 BCAC，又 PAACA，可得 BC平面 PAC，而 AF平面 PAC，可得 BCAF，又 AFPC，PCBCC，可得 AF平面 PBC，而 PB平面PBC，可得 AFPB，故正确；又 AEPB，同理可证 PB平面 AFE，EF平面 AFE，可得 EFPB，故正确；由 BC平面 PAC，AF平面 PAC，可得 BCAF，故正确；由于 AF平面 PBC，AEAFA，可得 AE 不与平面 PBC 垂直，故错误4(2016山东青岛平度三校期末)如图，正方
36、体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF12，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面 ABCDC三棱锥 ABEF 的体积为定值DAEF 的面积与BEF 的面积相等答案 D解析 因为 AC平面 BDD1B1，BE平面 BDD1B1，所以ACBE，A 选项正确根据线面平行的判定定理，知 B 项正确因为三棱锥的底面BEF 的面积是定值，且点 A 到平面 BDD1B1 的距离是定值 22，所以其体积为定值，故 C 正确很显然，点 A和点 B 到 EF 的距离是不相等的，故 D 是错误的故选 D.调研三 空间角命题方向：1线线角；2.线面角线线角(
37、1)(2016河北邯郸质检)在正四棱锥 PABCD 中，PA2，直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60，E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成的角为()A90B60C45D30【解析】连接 AC，BD 交于点 O，连接OE，OP.因为 E 为 PC 中点，所以 OEPA，所以OEB 即为异面直线 PA 与 BE 所成的角因为四棱锥 PABCD 为正四棱锥，所以 PO平面 ABCD，所以 AO 为 PA 在平面 ABCD 内的射影，所以PAO即为 PA 与平面 ABCD 所成的角，即PAO60.因为 PA2，所以 OAOB1，OE1.所以在直角三角形 EOB 中，OEB45
38、，即异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45.故选 C.【答案】C(2)(2016四川宜宾诊断)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P是上底面 A1B1C1D1 的中心，点 Q 在线段 PD 上运动，则异面直线 BQ 与 A1D1 所成角 最大时，cos _【解析】根据题意，画出正方体 ABCDA1B1C1D1，异面直线 BQ 与 A1D1 所成的角为 BQ 与 BC 所成的角当点 Q 与点 D重合时，所求异面直线所成角为CBD45；当点 Q 与点 P重合时，所求异面直线所成角为PBC，设正方体的棱长为 2，在PBC 中，PBPC 6，BC2，所以 cosPBC6464 666，所以
39、动点 Q 从 D 点出发，沿着 DP 移动，所求异面直线所成角越来越大，当到达点 P 时达到最大，所以 cos 66.【答案】66线、面角(1)(2016唐山模拟)已知正三棱锥 SABC 中，E 是侧棱 SC的中点，且 SABE，则 SB 与底面 ABC 所成角的余弦值为()A.63B.33C.23D.36【审题】先作出满足条件的直线与平面所成的角，再计算其大小【解析】如图，在正三棱锥 SABC 中，作 SO平面 ABC，连接 OA、OB，则O是ABC的中心，OABC，由此可得 SABC，又SABE，所以 SA平面 SBC，故正三棱锥 SABC 的各侧面是全等的等腰直角三角形方法一：由上述可知
40、 cosSBAcosABOcosSBO，即 cos45cos30cosSBO，所以 cosSBO 63.故选 A.方法二：因为 SO平面 ABC，所以 SB 与平面 ABC 所成的角为SBO，令 AB2，则 OB2 33，SB 2，所以 cosSBOOBSB2 332 63.【答案】A【回顾】(1)求解直线与平面所成的角，关键是找平面的一条垂线，对应一个直角三角形模型本题在计算直线与平面所成的角中，用到了下面一个常用结论：如图，若 PA 是平面 的斜线，PO 是平面 的垂线，且 OBAB，记PAO，OAB，PAB，则 coscoscos.这个结论和构成这个结论的几何体是高考命制考题时常用的模型
41、图，特别是在解答涉及与本模型图相关的三个角的选择题或填空题时，应用本公式可以快速得出答案(2)求解直线和平面所成角的常用方法：直接法，根据定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这也是解决此类问题首先要考虑采用的方法；间接法，当直接法不便于求解时，利用已知条件进行间接求解或证明，包括平移法，公式法和向量法等(2)(2016吉林一中月考)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角为_【解析】记点 B 到平面 AB1C1 的距离为 d，BB1 与平面AB1C1 所成角为，连
42、接 BC1，利用等体积法，VABB1C1VBAB1C1，即13 3122313d1222 3，得 d32，则 sin dBB112，所以 6.【答案】61求异面直线所成的角方法 其解决方法常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解 2求线面角的方法 求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角；回答 求线面角的技巧：在上述
43、步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，垂足一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等1(2016新课标全国)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案 A解析 因为过点 A 的平面 与平面 CB1D1 平行，平面ABCD平面 A1B1C1D1，所以 mB1D1BD，又 A1B平面CB1D1，所以 nA1B，则 BD 与 A1B 所成的角为所求角，所以 m，n 所成角的正弦值为 32，选 A.2.(2016石家庄
44、一模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2的正三角形，侧棱长为 3，则 BB1 与平面 AB1C1所成的角的大小为()A.6 B.4 C.3 D.2 答案 A解析 取 B1C1 中的点 D，连接 AD，A1D，BB1AA1，AA1 与平面 AB1C1 所成的角等于 BB1 与平面 AB1C1 所成的角侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正三角形，三棱柱 ABCA1B1C1是正三棱柱，则 B1C1A1D，B1C1AA1，B1C1平面 AA1D，平面AA1D平面 AB1C1，AA1 与平面 AB1C1 所成的角为A1AD.A1AD6，BB1 与平面 AB1C1
45、所成的角为6.3(2016辽宁沈阳质量监测)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 BCAC，A3，AC4，M 为AA1 的中点，点 P 为 BM 的中点，Q 在线段 CA1 上，且 A1Q3QC，则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为_答案 2 3913解析 如图，过 P 作 PDAB 交 AA1 于 D，连接 DQ，D 为 AM 的中点，PD12AB4.A1QA1CA1DA1A34，DQAC，PDQ3，DQ34AC3，在PDQ 中，PQ4232243cos3 13，cosPQDPQ2QD2PD22PQQD 113，sinPQD 1cos2PQD2 3913.4(2016浙江杭州二中月考)已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为94，底面边长为 3.若 P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为_答案 3解析 因为 AA1底面 A1B1C1，所以APA1为 PA 与平面 A1B1C1 所成的角因为平面 ABC平面 A1B1C1，所以APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角因为正三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为94，底面边长为 3，所以 VSABCAA194，可得 AA1 3，A1P1，所以 tanAPA1AA1A1P 3，即APA13，故答案为3.请做：小题专练作业（十四）
