1、山西大学附中20212022学年高三年级第一学期期中考试数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CA CBDBADCBCA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15 16三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 【解答】解：（1）由，得2 分平均数为；岁；4分设中位数为，则，岁 6分（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人， 8分分别记为，设从5人中随机抽取3人，为：，共10个基本事件，
2、10分第2组中抽到2人的情况有，共6种情况 11分从而第2组中抽到2人的概率 12分18【解答】解：（）由，可得，所以，即， 2分又因为，所以， 3分因为，所以， 4分所以； 6分（）假设能成立，所以， 7分由余弦定理，所以，所以，故，解得或（舍，10分此时，不满足， 11分所以假设不成立，故不成立 12分19【解答】 （1）证明：因为四棱柱为直四棱柱，所以，所以平面. 2分又，所以点为的中点，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面. 4分又在平面中，由面面平行的判定定理可知，平面平面， 5分又平面，所以平面； 6分（2）解：由（1）可知，为的中点，在梯形中，所以为等边三角形，所
3、以，又，所以，所以的面积，则， 8分在中，在中，由余弦定理可得，所以的面积为， 9分设点到平面的距离为，由等体积法有，则有，即，解得，故所求点到平面的距离为12分20【解答】 解：（）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，则圆的半径为；又，1分所以，解得；3分所以圆的方程为；4分（）证明：由（1）知，当直线的斜率为0时，易知，即；6分当直线的斜率不为0时，设直线，将代入，整理得；8分设，所以，9分则；综上，可得12分21【解答】解：（1）当时，函数，2分可得函数在上单调递增，在上单调递减因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为4分（2）证明：当时，令，5分由，解得，则，函数在上单调递增，无极值
4、，不满足题意，舍去6分由，解得，设方程的两个实数根分别为，则，则，则，可得函数在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增8分可得的极大值点为，令，函数在上单调递增，在，上单调递减10分11分12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22【解答】解：（1）由参数），消去参数，可得，直线的普通方程为2分由得，将，代入，得，曲线的直角坐标方程为；4分（2）根据题意，设点，对应的参数分别为，将直线的参数方程代入，得故，6分点到直线的距离7分当且仅当，即时取等号9分面积的最大值为10分23. 【解答】解：（）当时，所求不等式即为，1分当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为；当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为；当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为，综上，不等式的解集为，；5分（）由于，当时等号成立，又，的最小值为1，则，7分，当且仅当“”时取等号，7分的最小值为10分
