1、第3讲 圆锥曲线的综合问题 第二编 讲专题专题五 解析几何考情研析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.1 核心知识回顾 PART ONE 1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值2范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”不等式的来源可以是 0 或圆锥曲线的有界
2、性或题目条件中的某个量的范围等3定点问题在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题4定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题5存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在2 热点考向探究 PART TWO 考向 1 最值与范围问题角度 1 最值问题例 1 已知抛物线 C 的方程为 y22px(p0)，点 R(1，2)在抛物线 C 上(1)求
3、抛物线 C 的方程；(2)过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A，B，若直线 AR，BR 分别交直线 l：y2x2 于 M，N 两点，求|MN|最小时直线 AB 的方程解(1)点 R(1,2)在抛物线 C：y22px(p0)上，42p，解得 p2，抛物线 C 的方程为 y24x.(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 xm(y1)1，m0，由xmy11，y24x，消去 x 并整理得 y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)，设直线 AR 的方程为 yk1(x1)2，由yk1x12，y2x2，解得点 M 的横坐标 xM k1k
4、12，又 k1y12x11y12y21414y12，xM k1k122y1，同理点 N 的横坐标 xN2y2，|y2y1|y2y124y1y24 m2m1，|MN|5|xMxN|52y1 2y22 5y2y1y1y28 5m2m14|m1|2 5m2m1|m1|，令 m1t，t0，则 mt1，|MN|2 51t12234 15，当 t2，即 m1 时，|MN|取得最小值 15，此时直线 AB 的方程为 xy20.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代
5、数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的(2019湘赣十四校高三联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，左焦点为 F1，点 A 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的一个动点，当直线 AF1的斜率为 1 时，|AF1|2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 AF1 与椭圆 C 的另外一个交点为 B，点 A 关于 x 轴的对称点为A，求F1AB 面积的最大值解(1)解法一：eca 22，a22c2，又 a2b2c2，bc.当直线 AF1 的斜率为 1 时，直线 AF1 通过椭圆上的顶点，|AF1|b2c
6、2a 2.又 a22c2，bc，b1，椭圆 C 的方程为x22y21.解法二：设椭圆的右焦点为 F2，在AF1F2 中，|AF1|2，|AF2|2a 2，|F1F2|2c，(2a 2)22(2c)22 22ccos45，即 a2 2ac2c.又eca 22，a 2c.联立，得 a 2，c1，又 a2b2c2，b1.椭圆 C 的方程为x22y21.解法三：eca 22，a22c2，又 a2b2c2，a 2b 2c.椭圆 C 的方程可化为 x22c2y2c21，即 x22y22c2.又直线 AF1 的方程为 yxc.联立，得 x22(xc)22c2，即 3x24cx0，x0 或 x43c.直线 A
7、F1 的斜率为 1 且 A 在 x 轴上方，xA0，A 的坐标为(0，b)|AF1|c2b2a，a 2，又 a 2b 2c，bc1.椭圆 C 的方程为x22y21.(2)如图，A 在 x 轴上方，直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 xmy1.F1，A，B 三点能构成三角形，直线 AB 不垂直于 x 轴，m0，设 A 的坐标为(x1，y1)，B 的坐标为(x2，y2)，则 A的坐标为(x1，y1)联立xmy1，x22y21，得(my1)22y22，即(2m2)y22my10，y1y2 2m2m2，y1y212m2.解法一：SF1ABSBAASF1AA12|AA|x2xF1|y1|
8、x21|y1|my2|my1y2|m|2m212|m|m|122|m|m|24，当且仅当 2|m|m|即|m|2时取等号F1AB 面积的最大值为 24.解法二：直线 AB 的方程为 yy1y2y1x2x1(xx1)，令 y0，则 xy1x2x1y1y2 x1y1x2x1y2y1y2y1my21my11y2y1y22my1y2y1y212m12m22m2m212，直线 AB 过定点(2,0)，设定点为 T，则 SF1AB|SF1TBSF1TA|12|F1T|y2|12|F1T|y1|12|y2y1|m|2m212|m|m|122|m|m|24，当且仅当 2|m|m|即|m|2时取等号F1AB 面
9、积的最大值为 24.角度 2 范围问题例 2(2019广东高三联考)已知椭圆 C1，抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上，C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，2 3)，(2,0)，(4，4)，2，22.(1)求 C1，C2 的标准方程；(2)过点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C1 交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解(1)由题意，抛物线的顶点为原点，所以点(2,0)一定在椭圆上，且 a2，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于 2，所以2，22 也在椭圆上，24222b2 1，
10、b21，故椭圆 C1的标准方程为x24y21，所以点(3，2 3)，(4，4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其抛物线C2 的方程为 y22px,126p，p2，所以抛物线 C2的方程为 y24x.(2)当直线 l 斜率不存在时，易知 A，O，B 三点共线，不符合题意当 l 斜率存在时，设 l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24y21，ykx2，得 x24(kx2)240，即(4k21)x216kx120，令(16k)248(4k21)0，即 256k2192k2480，得 64k248，即 k 32，x1x2 16k4k21，x1x2124k21，y1y2(kx1 2)(k
11、x2 2)k2x1x2 2k(x1 x2)4 12k24k21 32k24k2116k244k21 4k244k21，AOB 为锐角，OA OB x1x2y1y2164k24k21 0，即 4k216，得2kb0)的长轴长为 2 2，P 为椭圆 C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A2 为椭圆 C 的右顶点，点 M 为线段 PA2 的中点，且直线 PA2 与直线 OM 的斜率之积恒为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 N，点 N 的横坐标的取值范围是14，0，
12、求线段 AB 长的取值范围解(1)由已知 2a2 2，a 2，设点 P(x0，y0)，Mx0 22，y02，直线 PA2 与 OM 的斜率之积恒为12，y02x0 22y0 x0 212.x202y201，b1.故椭圆 C 的方程为x22y21.(2)设直线 l：yk(x1)，联立直线与椭圆方程ykx1，x22y21，得(2k21)x24k2x2k220，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1x2 4k22k21，x1x22k222k21，可得 y1y2k(x1x22)2k2k21，故 AB 中点 Q 2k22k21，k2k21，QN 直线方程：yk2k211kx 2
13、k22k211kx2k2k21，Nk22k21，0，由已知条件得，14k22k210，02k21，|AB|1k2 4k22k21242k222k21 1k22 21k22k21 2112k21，1212k21|EF|，故 Q 点的轨迹 T 为以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，则 a2，c1，所以 b 3，所以点 Q 的轨迹 T 的方程为x24y231.(2)证明：分别设直线 AB 和 CD 的中点为 M，N，当直线 AB 斜率不存在或为 0 时，分析可知直线 MN 与 x 轴重合，当直线 AB 的斜率为 1 时，此时M47，37，N47，37，直线 MN 的方程为 x47，联立解得直线
14、 MN 经过定点47，0.下面证明一般性：当直线 AB 的斜率存在且不为 0,1 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，则直线 CD 的方程为 y1k(x1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x24y23 1，ykx1，消去 y 得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x2 8k24k23，所以 y1y26k4k23，即 M4k24k23，3k4k23，同理，N43k24，3k3k24，于是直线 MN 的斜率为kMN3k3k243k4k2343k24 4k24k237k41k2，故直线 MN 的方程为y3k3k247k41k2x43k24，显然 x47时，y0，故直线经
15、过定点47，0.过定点问题的两大类型及解法(1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点(2019白银市靖远县高三联考)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，下顶点为 A，O 为坐标原点，点 O 到直线 AF2 的距离为 22，AF1F2 为等腰直角三角形(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直
16、线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2，证明：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意可知，直线 AF2 的方程为xc yb1，即bxcybc0，则bcb2c2bca 22.因为AF1F2 为等腰直角三角形，所以 bc，又 a2b2c2，解得 a 2，b1，c1，所以椭圆 C 的标准方程为x22y21.(2)证明：由(1)知 A(0，1)，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxt(t1)，代入x22y21，得(12k2)x24ktx2t220，所以 16k2t24(12k2)(2t22)0，即 t22k2b0)的离心率为 22，点 A(2，2)在椭圆上，O 为坐标
17、原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求出该定值解(1)由题有 ca 22，4a2 2b21，c2b2a2，a28，b24，椭圆 C 的方程为x28y241.(2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时，直线 PN 的方程为 x 2或 x 2，从而有|PN|2 3，所以四边形 OPMN 的面积S12|PN|OM|122 32 22 6.当直线 PN 的斜率 k 存在时，设直线 PN 的方程为 ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线 PN 的方程代入椭圆 C 的
18、方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，所以 x1x24km12k2，x1x22m2812k2，y1y2k(x1x2)2m 2m12k2，由OM OP ON，得 M4km12k2，2m12k2.将 M 点的坐标代入椭圆 C 的方程得 m212k2.又点 O 到直线 PN 的距离为 d|m|1k2，|PN|x1x22y1y22 1k2|x1x2|，四 边 形OPMN的 面 积S d|PN|m|x1 x2|12k2 x1x224x1x248k2242k21 2 6.综上，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6.定值问题的两种解法(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证
19、明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值已知抛物线 E：y22px(p0)，直线 xmy3 与 E 交于 A，B 两点，且OA OB6，其中 O 为坐标原点(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 C 的坐标为(3,0)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证明：1k211k222m2 为定值解(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，xmy3，y22px，整理得 y22pmy6p0，由根与系数的关系可知，y1y22pm，y1y26p，则 x1x2y1
20、y224p2，由OA OB x1x2y1y2y1y224p2 y1y296p6，解得 p12，所以 y2x.(2)证明：由题意得 k1 y1x13y1my16，k2 y2x23y2my26，所以1k1m6y1，1k2m6y2，所 以 1k21 1k22 2m2 m 6y12 m 6y22 2m2 2m2 12m1y11y2 361y211y22 2m22m212my1y2y1y2 36y1y222y1y2y21y222m2，由(1)可知，y1y22pmm，y1y26p3，所以1k211k222m22m212mm3 36m2692m224，所以1k211k222m2为定值考向 3 探索性问题例
21、5 如图，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)经过点 P1，32，离心率 e12，直线 l 的方程为 x4.(1)求椭圆 C 的方程；(2)线段 AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P)，设直线 AB 与直线 l相交于点 M，记直线 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得 k1k2k3？若存在，求 的值；若不存在，说明理由解(1)由 P1，32 在椭圆上，得 1a2 94b21，因为 e12，所以 a2c，则b23c2，a24c2，代入解得 c21，a24，b23.故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)由题意可设直线 AB 的斜率为 k，则直线
22、AB 的方程为 yk(x1)，代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x21，则有x1x2 8k24k23，x1x24k234k23，在方程中令 x4 得，M 的坐标为(4,3k)从而 k1y132x11，k2y232x21，k33k3241 k12.因为 A，F，B 三点共线，所以 kkAFkBF，即有 y1x11 y2x21k.所以 k1k2y132x11y232x21 y1x11 y2x21321x111x212k32x1x22x1x2x1x212k328k24k2324k234k23 8k24k2312k1，又 k3
23、k12，所以 k1k22k3.故存在常数 2 符合题意解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2019南通市高三阶段测试)已知 A(2,0)，B(2,0)，点 C，D 依次满足|AC|2，AD 12(ABAC)(1)求点 D 的轨迹；(2)过点 A 作直线 l 交以 A，B 为焦点的椭圆于 M，N 两点，线段 MN 的中点
24、到 y 轴的距离为45，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设点 Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点 P 及以 Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线 PA，PB 都相切，若存在，求出 P 点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)设 C(x0，y0)，D(x，y)，则AC(x02，y0)，AB(4,0)，AD 12(ABAC)x023，y02(x2，y)，则有x02x2，y02y，代入|AC|2(x02)2y204 得 x2y21.点 D 的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的圆(2)由题意可知直线 l 斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)，椭
25、圆的方程x2a2 y2a241(a24)，由 l 与圆相切得|2k|1k21，即 k213，将代入得(a2k2a24)x24a2k2x4a2k2a44a20，又 k213，可得(a23)x2a2x34a44a20，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，|x1x2|a2a23 245，解得 a28 或 a22413(舍去)，椭圆方程为x28y241.(3)假设存在椭圆上的一点 P(x0，y0)，使得直线 PA，PB 与以 Q 为圆心的圆相切，则 Q 到直线 PA，PB 的距离相等，又 A(2,0)，B(2,0)，则直线 PB 的方程为(x02)yy0 x2y00，直线 PA 的方程为(x02)
26、yy0 x2y00.设 d1 为 Q 到直线 PB 的距离，d2 为 Q 到直线 PA 的距离，则d1|y0|x022y20|3y0|x022y20d2，化简整理得 x205x04y200.P 点在椭圆上，x202y208.解得 x02 或 x08(舍去)x02 时，y0 2，r1.椭圆上存在点 P，其坐标为(2，2)或(2，2)，使得直线 PF1，PF2 与以 Q 为圆心的圆(x1)2y21 相切3 真题VS押题 PART THREE 真题模拟1(2019全国卷)已知曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；
27、(2)若以 E0，52 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积解(1)证明：设 Dt，12，A(x1，y1)，则 x212y1.因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1t x1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点0，12.(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由 ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|1t2|x1x2|1t2x1x224
28、x1x22(t21)设 d1，d2 分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，则 d1 t21，d22t21.因此，四边形 ADBE 的面积S12|AB|(d1d2)(t23)t21.设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t212.因为EM AB，而EM(t，t22)，AB与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1.当 t0 时，S3；当 t1 时，S4 2.因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.2(2019天津市高三 4 月联考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B，过右焦点 F2 且垂直于长轴的直线
29、交椭圆于 G，H 两点，|GH|3，F1GH 的周长为 8.过 A 点作直线 l 交椭圆于第一象限的 M 点，直线 MF2 交椭圆于另一点 N，直线 NB 与直线 l 交于点 P.(1)求椭圆的标准方程；(2)若AMN 的面积为18 27，求直线 MN 的方程；(3)证明：点 P 在定直线上解(1)由题意知|GH|2b2a 3,4a8，解得 a2，b 3，所以椭圆方程为x24y231.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)当直线 MN 斜率 k 存在时，设直线 MN 方程为 yk(x1)，代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4k2120，144(k21)0，x1x28k24k2
30、3，x1x24k2124k23，|MN|x1x22y1y22 1k2x1x22 1k2x1x224x1x212k214k23.A(2,0)到直线 MN：kxyk0 的距离为 d3|k|k21，SAMN12d|MN|18|k|k214k2318 27，化简得 17k4k2180，解得k1.当 k1 时，直线 MN 过点 F2(1,0)，直线 MN 与椭圆的交点不在第一象限(舍去)所以直线 MN 的方程为 xy10.当直线 MN 斜率 k 不存在时，则直线 MN 的方程为 x1，SAMN122b2a(ac)9218 27(舍去)综上，直线 MN 的方程为 xy10.(3)证明：设直线 AM：yk1
31、(x2)(k10)，与椭圆方程联立得(4k213)x216k21x16k21120，xAxM16k21124k213，xA2，xM68k214k213，yM 12k14k213同理设直线 BN：yk2(x2)(k20)，可得 xN8k2264k223，yN12k24k223，所以直线 MN 的方程为yyMxxMyNyMxNxM，以及直线 MN 方程过点 F2(1,0)，将 F2，M，N 坐标代入可得，(4k1k23)(k23k1)0，k1k20，k23k1.又因为直线 AM 与直线 NB 交于 P 点，即yPk1xP2，yPk2xP2，xP2k1k2k2k1，将 k23k1 代入得 xP4，所
32、以点 P 在定直线 x4 上3(2019江西省八所重点中学高三 4 月联考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，F1，F2 为其左、右焦点，B1，B2 为其上、下顶点，四边形 F1B1F2B2的面积为 2.(1)求椭圆 E 的长轴 A1A2 的最小值，并确定此时椭圆 E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆 E，设过定点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于P，Q 两点，若MP MQ，当 13，12 时，求OPQ 面积 S 的取值范围解(1)依题意，四边形 F1B1F2B2 的面积为 2bc，2bc2，长轴 A1A22a2 b2c22 2bc2 2，此时 bc1，a 2，故长轴
33、A1A2的最小值为 2 2，此时椭圆 E 的方程为x22y21.(2)依题意，可设 l：xty2，联立xty2，x22y21得(t22)y24ty20，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 16t242(t22)8t2160，可得 t22，且 y1y2 4tt22，y1y22t22，且已知 M(2,0)，由MP MQ，可得 y1y2，1y2 4tt22，y222t22，12 8t2t22，13，12，1292，163，92 8t2t22163，187 t20，SS OMQS OMP12|OM|y1 y2|y1 y2|y1y224y1y22 2 t22t22，设 m t22，m2 77，2
34、，t2m22，S2 2mm24 2 2m4m，m4m在 m2 77，2 单调递减，故 S 关于 m 在2 77，2 上单调递增，S148，23.4(2019玉溪市第一中学高三下学期第五次调研)已知抛物线 x22py(p0)，准线方程为 y20，直线 l 过定点 T(0，t)(t0)，且与抛物线交于A，B 两点，O 为坐标原点(1)求抛物线方程；(2)OA OB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当 t1 时，设ATTB，记|AB|f()，求 f()的最小值及取最小值时对应的.解(1)p22，p4，抛物线方程为 x28y.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据
35、题意知直线 l 的斜率存在，设 l：ykxt(t0)，联立得 x28kx8t0，x1x28k，x1x28t.y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2t2，OA OB x1x2y1y2t28t.由于 T(0，t)为定点，故 t 为定值，OA OB 为定值(3)T(0,1)，AT(x1,1y1)，TB(x2，y21)，ATTB，x1x2,1y1(y21)，x1x2，由(2)知 x1x28t8，x228，x228，且 0，又 x1x2(1)x28k，(1)2x2264k2，当 k0 时，1，x22 64k212，64k2128，k2128.当 k0 时，1，符合上式，且|AB
36、|4 2.|AB|1k2 64k2321128812322612211612，令 m1，则 m2，|AB|m28m12，当 m2 即 1 时，|AB|min4 2.金版押题5已知直线 l1：axy10，直线 l2：x5ay5a0，直线 l1 与 l2 的交点为 M，点 M 的轨迹为曲线 C.(1)当 a 变化时，求曲线 C 的方程；(2)已知点 D(2,0)，过点 E(2,0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，求ABD面积的最大值解(1)由axy10，x5ay5a0 消去 a，得曲线 C 的方程为x25y21.y1，即点(0，1)不在曲线 C 上，此步对考生不作要求(2)设 A(x1，y
37、1)，B(x2，y2)，l 为 xmy2，由xmy2，x25y21，得(m25)y24my10，则 y1y2 4mm25，y1y21m25，ABD 的面积 S2|y2y1|2 y2y124y2y12 16m2m2524m254 5 m21m25，设 t m21，t1，)，则 S4 5tt244 5t4t 5，当 t4t(t1，)，即 t2，m 3时，ABD 的面积取得最大值 5.6已知抛物线 C：y22px(p0)与直线 x 2y40 相切(1)求该抛物线的方程；(2)在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，使得1|AM|21|BM
38、|2为定值如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由解(1)联立方程有x 2y40，y22px，有 y22 2py8p0，由于直线与抛物线相切，得 8p232p0，p4，所以 y28x.(2)假设存在满足条件的点 M(m,0)(m0)，直线 l：xtym，有xtym，y28x，整理得 y28ty8m0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，有 y1y28t，y1y28m，|AM|2(x1m)2y21(t21)y21，|BM|2(x2m)2y22(t21)y22，1|AM|21|BM|21t21y211t21y22 1t21y21y22y21y22 1t214t2m4m2，当 m4
39、时，1|AM|21|BM|2为定值，所以 M(4,0)4 配套作业 PART FOUR 1已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，直线 x4 与 x 轴的交点为 P，与抛物线的交点为 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A，D 两点，与圆 x2(y1)21 相交于 B，C 两点(A，B 两点相邻)，过 A，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 M，求ABM 与CDM 面积之积的最小值解(1)由已知 P(4,0)，Q4，8p，|QF|8pp2.|QF|54|PQ|，8pp2548p，得 p2.抛物线方程为 x24y.(
40、2)由题意可知，l 斜率存在设 l：ykx1.A(x1，y1)，D(x2，y2)设 M(x0，y0)，则过 A，D 的弦方程可设为：xx02y02y 即 yx02xy0，kx02，1y0，x02k，y01，即 M(2k，1)M 到 l 的距离 d2k221k22 1k2.SABMSCDM14|AB|CD|d214(|AF|1)(|DF|1)d214y1y2d214x21x2216 d2，又由ykx1，x24y，联立得，x24kx40，x1x24.SABMSCDM141616(2 1k2)21k21.当且仅当 k0 时取等号当 k0 时，ABM 与CDM 面积之积的最小值为 1.2(2019福建
41、省高三 3 月质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 F：(x1)2y21 外的点 P 在 y 轴的右侧运动，且点 P 到圆 F 上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离，记点 P 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)如图，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 D 与平行于 y 轴的直线相切于点 M，线段 DM 交 E 于点 N，证明：AMB 的面积是AMN 的面积的 4 倍解 解法一：(1)设 P(x，y)，依题意 x0，F(1，0)因为点 P 在圆 F 外，所以点 P 到圆 F 上的点的最小距离为|PF|1，依题意得|PF|1x，即 x12y21x，化简得
42、点 P 的轨迹 E 的方程为 y24x(x0)(2)证明：设 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 Dx1x22，y1y22.依题意可知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程 yk(x1)(k0)，由ykx1，y24x得 k2x2(2k24)xk20.因为(2k24)24k416k2160，所以 x1x22k24k2，x1x21，则有 y1y24k，故 Dk22k2，2k，由抛物线的定义知|AB|x1x224k24k2.设 M(xM，yM)，依题意得 yM2k，所以|MD|k22k2 xM.又因为|MD|AB|2，所以k22k2 xM2k22k2，解得 xM1，所以
43、M1，2k，因为 Nx0，2k 在抛物线上，所以 x01k2，即 N1k2，2k，所以 SAMB12|MD|y1y2|k21k2|y1y2|，SAMN12|MN|y1yD|121k21 12|y1y2|k214k2|y1y2|，故 SAMB4SAMN.解法二：(1)设 P(x，y)，依题意 x0.因为点 P 在圆 F 外，所以点 P 到圆F 上的点的最小距离为|PF|1.依题意得，点 P 到圆 F(1,0)的距离|PF|等于 P 到直线 x1 的距离，所以点 P 在以 F(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线上所以 E 的方程为 y24x(x0)(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2
44、)，因为直线 AB 过 F(1,0)，依题意可设其方程 xty1(t0)，由xty1，y24x得 y24ty40，因为 16t2160，所以 y1y24t，则有 x1x2(ty11)(ty21)4t22.因为 D 是 AB 的中点，所以 D(2t21,2t)由抛物线的定义得|AB|(x11)(x21)4t24，设圆 D 与 l：xm 相切于 M，因为 DM 与抛物线相交于 N，所以 mb0)上两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，M 为椭圆 C 上一动点，点 P(3,0)，线段 PM 的垂直平分线交 y 轴于点 Q，求|OQ|的最小值解(1)代入 A，B 两点坐标，得 2
45、b21，3a2 1b21，解得 a26，b22，所以椭圆 C 的标准方程为x26y221.(2)设点 M 的坐标为(x0，y0)，则x206y2021，可得 x2063y20，线段 PM 的中点 Nx032，y02，kQNkPM1，可得 kQN3x0y0，所以 lQN：yy023x0y0 xx032.令 x0，并结合式得 yQy02x2092y0 y0233y202y032y202y0，|OQ|yQ|32y202y0 32|y0|y0|232|y0|y0|6，当且仅当 32|y0|y0|，y0 62 时取等号，所以|OQ|的最小值为 6.4(2019郴州市高三第二次教学质量监测)已知抛物线 C
46、：x22py(p0)的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点(1)若以 A，B 为直径的圆的方程为(x2)2(y3)216，求抛物线 C 的标准方程；(2)过 A，B 分别作抛物线的切线 l1，l2，证明：l1，l2 的交点在定直线上解(1)设 AB 的中点为 M，A 到准线的距离为 d1，B 到准线的距离为 d2，M 到准线的距离为 d.则 dyMp2.由抛物线的定义可知，d1AF，d2BF，所以 d1d2AB8，由梯形中位线定理可得 dd1d224，所以 yMp24，而 yM3，所以 3p24，可得 p2，所以抛物线 C：x24y.(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y
47、2)，由 x22py 得 yx22p，则 yxp，所以直线 l1 的方程为 yy1x1p(xx1)，直线 l2 的方程为 yy2x2p(xx2)，联立得 xx1x22，yx1x22p，即 l1，l2 交点坐标为x1x22，x1x22p，因为 AB 过焦点 F0，p2，所以设直线 AB 的方程为 yp2kx，代入抛物线 x22py 中得，x22pkxp20，所以 x1x2p2，所以x1x22p p22pp2，所以 l1，l2 的交点在定直线 yp2上5已知动圆 C 与圆 x2y22x0 外切，与圆 x2y22x240 内切(1)试求动圆圆心 C 的轨迹方程；(2)过定点 P(0,2)且斜率为 k
48、(k0)的直线 l 与(1)中的轨迹交于不同的两点M，N，试判断在 x 轴上是否存在点 A(m,0)，使得以 AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数 m 的范围；若不存在，请说明理由解(1)由 x2y22x0 得(x1)2y21，由 x2y22x240 得(x1)2y225，设动圆 C 的半径为 R，两圆的圆心分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，则|CF1|R1，|CF2|5R，所以|CF1|CF2|6，根据椭圆的定义可知，点 C 的轨迹为以 F1，F2为焦点的椭圆，所以 c1，a3，所以 b2a2c2918，所以动圆圆心 C的轨迹方程为x29y281.(2)存在直线 l
49、的方程为 ykx2，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 E(x0，y0)假设存在点 A(m，0)，使得以 AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AEMN，由ykx2，x29y281，得(89k2)x236kx360，x1x2 36k9k28，所以 x0 18k9k28，y0kx02169k28，因为 AEMN，所以 kAE1k，即169k28018k9k28m1k，所以 m 2k9k28 29k8k，当 k0 时，9k8k2 9812 2，所以 212m0；当 k0 时，9k8k12 2，所以 0b0)，抛物线 x28 3y 的焦点为 F(0,2 3)，b2 3，方程
50、2x23x200 即(2x5)(x4)0，2c4，即 c2，a2b2c216，椭圆 C 的方程为x216y2121.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 方程为 y12xt，由y12xt，x216y2121，得 x2txt2120，t24(t212)0，4tb0)，F1，F2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线与此椭圆相交于 D，E两点，且F2DE 的周长为 8，椭圆 C 的离心率为 22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(0,1)与点 Q(0,2)，过 P 的动直线l(不与 x 轴平行)与椭圆相交于 A，B 两点，点 B1 是点
51、B 关于 y 轴的对称点求证：Q，A，B1 三点共线；|QA|QB|PA|PB|.解(1)F2DE 的周长为 8，4a8，即 a2，eca 22，c 2，b2a2c22，故椭圆 C 的方程为x24y221.(2)证明：当直线 l 的斜率不存在时，A，B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q，A，B1三点共线当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx1，联立ykx1，x24y221，得(12k2)x24kx20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 B1(x2，y2)，x1x24k12k2，x1x2212k2，QA(x1，y12)，QB1(x2，y22)，x1(y22)x2(y12)x1(k
52、x21)x2(kx11)2kx1x2(x1x2)4k12k24k12k20.QA 与QB1 共线，则 Q，A，B1三点共线由可知 Q，A，B1 三点共线，当直线 l 的斜率存在时，|QA|QB|QA|QB1|x1|x2|PA|PB|，当直线 l 的斜率不存在时，易知 A，B 两点坐标为(0，2)，有|QA|QB|PA|PB|，综上，|QA|QB|PA|PB|.解析几何类解答题(12 分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1 和 F2，由M(a，b)，N(a，b)，F2 和 F1 四个点构成了一个高为 3，面积为 3 3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点 F1 的直
53、线和椭圆交于 A，B 两点，求F2AB 面积的最大值解题思路(1)由梯形的高得出椭圆的基本量 b 的值，由梯形的面积得出ac，利用 a2c2b2 求出 a，c，写出椭圆的方程；(2)先依题判断过点 F1的直线 AB 的斜率不为 0，设出直线的方程，将直线方程代入椭圆方程，消去x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，即可得到 y1y2 和 y1y2，将F2AB 的面积表示为SF2AB12|F1F2|y1y2|，构造函数，利用函数的单调性即可求最大值解(1)由条件，得 b 3，且2a2c2 33 3，ac3.(2 分)又 a2c23，解得 a2，c1.(4 分)椭圆的方程为x24y231.(5
54、 分)(2)显然，直线 AB 的斜率不能为 0，设直线 AB 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得x24y231，xmy1，消去 x 得，(3m24)y26my90，(6 分)36m236(3m24)0，y1y26m3m24，y1y293m24，(8 分)SF2AB12|F1F2|y1y2|y1y2|y1y224y1y212m213m2424m21m2113241m212319m21.(10 分)令 tm211，设 f(t)t 19t(t1)，易知函数 f(t)在1，)上单调递增，当 tm211，即 m0 时，f(t)min109，此时 SF2AB 取得最大值为
55、3.(12 分)1由梯形的面积得到 a 与 c 的关系给 2 分2由 a2c2b2 得到 a 与 c 的值给 2 分3正确写出椭圆方程给 1 分4联立方程消元得到一元二次方程给 1 分5写出“0”和根与系数的关系给 2 分6构建目标变量的函数关系给 2 分7通过求解函数的值域，确定面积的最值给 2 分1写全得分步骤，直线方程和曲线方程联立后，要写出 0 和根与系数的关系，这是解题过程中的得分点2写明得分关键，在求解函数的最值时，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件，不指明最值取得的条件扣 1 分跟踪训练(2019福建省高三模拟)(12 分)已知椭圆 C：x2a2 y2b21(ab0)过点3
56、，12，且它的焦距是短轴长的 3倍(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 A，B 是椭圆 C 上的两个动点(A，B 两点不关于 x 轴对称)，O 为坐标原点，OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，问是否存在非零常数，使当 k1k2时，AOB 的面积 S 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点3，12，所以 3a2 14b21，(1 分)又因为该椭圆的焦距是短轴长的 3倍，所以 c 3b，从而 a2b2c24b2.联立方程组 3a2 14b21，a24b2，(2 分)解得a24，b21，所以椭圆 C 的方程为x24y21.(3 分)(2)
57、设存在这样的常数，使 k1k2，AOB 的面积 S 为定值(4 分)设直线 AB 的方程为 ykxm，点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)，则由 k1k2知 y1y2x1x20，(kx1m)(kx2m)x1x20，所以(k2)x1x2km(x1x2)m20.(5 分)联立方程组x24y21，ykxm，消去 y 得(14k2)x28kmx4m240.所以x1x28km14k2，x1x24m2414k2.(7 分)点 O 到直线 AB 的距离 d|m|1k2，AOB 的面积 S12|AB|d|m|2|x1x2|2 4k21m2m44k21.(8 分)将代入得(k2)(4m24)8k2m2m2(14k2)0，化简得 m24k214，(10 分)将代入得S224k214k21416k221424k21264k46424k2416k48k211142，(11 分)要使上式为定值，只需6416 6424841，即需(41)20，从而 14，此时S2214，S1，所以存在这样的常数 14，此时 SAOB1.(12 分)本课结束
