1、指导五 回扣溯源查缺补漏高考总复习大二轮 数 学 集合、复数与常用逻辑用语方法结论记熟用活1集合(1)集合的运算性质：ABABA；ABBBA；ABUAUB；交集的补集等于补集的并集，即U(AB)(UA)(UB)；并集的补集等于补集的交集，即U(AB)(UA)(UB)(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n1,2n1,2n2.2复数(1)复数的相等：abicdi(a，b，c，dR)ac，bd.(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数(3)运算：(abi)(cdi)(ac
2、)(bd)i，(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i，(abi)(cdi)acbdc2d2 bcdac2d2 i(cdi0)(4)复数的模：|z|abi|r a2b2(r0，rR)3四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 pq，则 p，q 互为充要条件5全(特)称命题及其否定(1)全称命题 p：xM，p(x)它的否定 p：x0M，p(x0)(2)特称命题 p：x0M，p(x0)它的否定 p：xM，p(x)警示易错跳出陷阱1遇
3、到 AB时，注意“极端”情况：A或 B；同样在应用条件 ABBABAAB 时，不要忽略 A的情况2区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定3“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，但 A 不能推出 B；而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，但 B 不能推出 A.4复数 z 为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0(zabi(a，bR)还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧习题回扣保温必胜1设 UR，Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB(2,3，AB1,4)AUB(，34，)2已知(12i)z 43i，则 z2i
4、，zz 3545i.3已知 p：x0R，x20 x010，则pxR，x2x10.4已知条件 p：x22x30，条件 q：xa，且 p 是q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为1，)函数图象与性质、函数与方程方法结论记熟用活1函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：若 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(x)；若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则 f(0)0；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；(3)周期性：
5、若 yf(x)对 xR，f(xa)f(xa)或 f(x2a)f(x)(a0)恒成立，则 yf(x)是周期为 2a 的周期函数；若 yf(x)是偶函数，其图象又关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数；若 yf(x)是奇函数，其图象又关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数；若 f(xa)f(x)或fxa 1fx，则 yf(x)是周期为 2|a|的周期函数2函数与方程(1)零点定义：x0 为函数 f(x)的零点f(x0)0(x0,0)为 f(x)的图象与 x 轴的交点(2)确定函数零点的三种常用方法解方程判定法：解方程 f(x)0.零点定理法：根据连续
6、函数 yf(x)满足 f(a)f(b)0，判断函数在区间(a，b)内存在零点数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解警示易错跳出陷阱1解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围2求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替3判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响4准确理解基本初等函数的定义和性质如函数 yax(a0，a1)的单调性容易忽视字母 a 的取值讨论，忽视 ax0；对数函数 ylogax(a0，a1)
7、容易忽视真数与底数的限制条件5易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化习题回扣保温必胜1若函数 f(x)x2mxm2 是偶函数，则 m0.2若函数 f(x)x2mx2 在区间(，2)上是单调减函数，则实数 m 的取值范围为(，43已知函数 yloga(xb)的图象如图所示，则 a3；b3.4若方程 7x2(m13)xm20 的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，则实数 m 的取值范围是(4，2)导数及其应用方法结论记熟用活1导数的几何意义(1)f(x0)的几何意义；曲线 yf(x)在点 xx0 的导数就是曲线 yf(
8、x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，该切线的方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(2)切点的两大特征：在曲线 yf(x)上；在切线上2利用导数研究函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤：求函数 f(x)的定义域；求导函数 f(x)；由 f(x)0 的解集确定函数 f(x)的单调增区间，由f(x)0 的解集确定函数 f(x)的单调减区间3利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：确定函数的定义域；解方程f(x)0；判断 f(x)在方程 f(x)0 的根 x0 两侧的符号变化；若左正右负，则 x0 为极大值点；若左负右正，则 x0 为极小值点；若不变号，则 x0 不是极
9、值点(2)求函数 f(x)在区间a，b上的最值的一般步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；比较函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4与不等式有关的恒成立与存在性问题(1)f(x)g(x)对一切 xI 恒成立I 是 f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI)(2)存在 x0I 使 f(x)g(x)成立I 与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI)(3)对x1，x2D 使得 f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1D1，x2D2 使得 f(x1)g(x
10、2)f(x)ming(x)min，f(x)定义域为 D1，g(x)定义域为 D2.5证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键警示易错跳出陷阱1曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”是不同的前者只有一条，后者则可能有多条2利用导数研究函数的单调性，首先确定函数的定义域3已知单调性求参数时，应明确 f(x)0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上是增函数的充分条件当 f(x)在(a，b)上是增函数时，应有f(x)0 恒成立(其中满足 f(x
11、)0 的 x 只有有限个)，否则答案不全面4可导函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)0 是 yf(x)在 xx0 处取得极值的必要不充分条件5求定积分时应明确定积分结果可负，但曲边形的面积非负习题回扣保温必胜1曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则 ab2.2函数 f(x)2x36x27 的单调递增区间是(，0)，(2，)3函数 f(x)13x34x13在 x2处取极大值，其值是173.4已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，其导函数为 f(x)，当 x(0，)时，恒有 xf(x)f(x)若 g(x)xf(x)，则满足 g(1)g(12x)的实数 x 的取值
12、范围是(，0)(1，)三角函数、解三角形方法结论记熟用活1“牢记”四组公式(1)同角三角函数关系式平方关系：sin2cos21；商数关系：tan sin cos.(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin；cos()cos cos sin sin；tan()tan tan 1tan tan.(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2 2tan 1tan2；cos21cos 22，sin21cos 22.(4)辅助角公式asin bcos a2b2sin()tan ba.2三种三
13、角函数的性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在22k，22k(kZ)上单调递增；在22k，32 2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：x2k(kZ)对称中心：2k，0(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：k2，0(kZ)3.三角函数的图象变换4正弦定理及其变形asin A bsin Bcsin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R.abc
14、sin Asin Bsin C.5余弦定理及其推论、变形a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.警示易错跳出陷阱1在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略 x 的取值范围2求函数 f(x)Asin(x)的单调区间时，要注意 A 与 的符号，当 0 时，需把 的符号化为正值后求解3三角函数图象变换中，注意由 ysin x 的图象变换得到 ysin(x)时，平
15、移量为，而不是.4在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解习题回扣保温必胜1函数 f(x)tan xcos x 的值域是(1,1)2已知函数 f(x)sin2x4，为了得到函数 g(x)cos 2x 的图象，只要将 yf(x)的图象()A向左平移8个单位长度B向右平移8个单位长度C向左平移4个单位长度D向右平移4个单位长度解析：A g(x)sin2x2sin2x8 4，yf(x)的图象向左平移8个单位长度即可得到 yg(x)的图象3在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a1，c 3.(1)若角 C3，则角 A6；(2)若角 A6，则 b
16、2 或 1.平面向量、算法、合情推理方法结论记熟用活1平面向量(1)平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab(b0)x1y2x2y10.abab0 x1x2y1y20.(2)平面向量的三个性质若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.|ab|a|b|.(3)三点共线的判定三个点 A，B，C 共线AB，AC共线；向量PA，PB，PC中三终点 A，B，
17、C 共线存在实数，使得PAPBPC，且 1.2程序框图程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示；(2)条件结构：如图(2)和(3)所示；(3)循环结构：如图(4)和(5)所示3合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程实验、观察 联想、类推 猜测新的结论警示易错跳出陷阱1ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab.2ab0 是两个向量 a，b 夹角为锐角的必要不充分条件3在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件注意理解循环条件中“”与“”的区别4解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其
18、上文字“是”“否”的对应5类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比习题回扣保温必胜1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3,4，则输出 v 的值为()A6 B25C100 D400解析：C 输入 n3，x4，v1，i312；v1426；i211；v64125，i110；v254100，i0110.程序结束，输出的 v100.故选 C.2已知甲、乙、丙三人恰好都去过青岛、三亚中的一个城市，三人分别给出了以下说法：甲
19、说：我去过三亚，乙去过三亚，丙去过青岛；乙说：我去过三亚，甲说的不完全对；丙说：我去过青岛，乙说的对已知甲、乙、丙三人中恰好有一人说的不对，则去过青岛的是()A甲、乙 B乙、丙C甲、丙D甲、乙、丙解析：C 若甲说的不对，则乙、丙说的对，即乙一定去过三亚，丙一定去过青岛，甲只可能去过青岛；若乙、丙说的不对，则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有一人说的不对”矛盾，所以去过青岛的是甲、丙3已知正方形 ABCD，点 E 在边 BC 上，且满足 2BEBC，设向量AE，BD 的夹角为，则 cos _.解析：通解：因为 2BEBC，所以 E 为 BC 中点设正方形的边长为 2，则|AE|5，|BD|2 2，A
20、EBD AB12AD(AD AB)12|AD|2|AB|212AD AB1222222，所以 cos AEBD|AE|BD|252 2 1010.优解：因为 2BEBC，所以 E 为 BC 中点设正方形的边长为 2，建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则点 A(0，0)，B(2,0)，D(0,2)，E(2,1)，所以AE(2,1)，BD(2,2)，所以AEBD 2(2)122，故 cos AEBD|AE|BD|252 2 1010.答案：1010 数列方法结论记熟用活1等差数列(1)基本公式：通项公式、前 n 项和公式(2)项的性质：mnpq(m，n，p，qN*)时，amanapaq，当 p
21、q 时，aman2ap.(3)基本方法：基本量法；定义法证明数列an为等差数列，其他证明方法均为定义法的延伸；函数方法处理等差数列的前 n项和问题2等比数列(1)基本公式：通项公式、前 n 项和公式(公比等于 1 和不等于 1)(2)项的性质：mnpq(m，n，p，qN*)时，amanapaq，当pq 时，amana2p.(3)基本方法：基本量法；定义法证明数列an为等比数列，其他证明方法均为定义法的延伸3数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和(2)形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和(3)通项公式形如 ancanb1anb2
22、(其中 a，b1，b2，c 为常数)用裂项相消法求和(4)通项公式形如 an(1)nn 或 ana(1)n(其中 a 为常数，nN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论警示易错跳出陷阱1已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n1 的情形，直接用 SnSn1 表示事实上，当 n1 时，a1S1；当 n2 时，anSnSn1.2运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论一定分q1 和 q1 两种情况进行讨论3利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项4裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如1nn21n 1n2，而是1nn21
23、21n 1n2.习题回扣保温必胜1已知数列an的前 n 项和为 Snn2n1，则数列an的通项公式为an3，n1，2n，n2.2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3S6S9，则数列an的公比 q1 或1.3等差数列an中，已知|a6|a11|，且公差 d0，则其前 n 项和取最小值时 n 的值为()A6 B7C8 D9解析：C 由 d0 可得等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以 a115d2，则 a8d20，a9d20，所以前 8 项和为前 n 项和的最小值，故选 C.不等式方法结论记熟用活1一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤
24、：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断 的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：二次项系数，它决定二次函数的开口方向；判别式，它决定根的情形，一般分 0，0，0 三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小2一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.3基本不等式(1)ab2 ab(a，b(0，)，当且仅当 ab 时取等号(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“
25、定”、“等”的条件4线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个警示易错跳出陷阱1求解形如 ax2bxc0(a0)的一元二次不等式时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，应分 a0，a0 进行讨论在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式2求解线性规划问题时应明确：“直线定界，特殊点定域”，定界时注意是否包含边界3使用基本不等式ab2 ab时应注意“一正、二定、三相等”的条件，在多次使用基本不等式求最值时，应注意取“等号”的条件是否一致习题回扣保温
26、必胜1若 x，y 满足约束条件5x3y15，yx1，x5y3，则 z3x5y 的最大值为17，最小值为11.2若关于 x 的一元二次方程 mx2(1m)xm0 没有实数根，则 m 的取值范围为(，1)13，.3函数 f(x)x1x的值域是(，22，)立体几何方法结论记熟用活1三视图排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高2平行、垂直关系的转化示意图1(2)两个结论ab ab，aba b.3(理)用空间向量证明平行垂直设直
27、线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则有：(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.4(理)用向量求空间角(1)直线 l1，l2 的夹角 有 cos|cosl1，l2|(其中 l1，l2 分别是直线 l1，l2 的方向向量)(2)直线 l 与平面 的夹角 有 sin|cosl，n|(其中 l 是直线l 的方向向量，n 是平面 的法向量)(3)平面，的夹角 有 c
28、os|cosn1，n2|，则 l 二面角的平面角为 或(其中 n1，n2 分别是平面，的法向量)警示易错跳出陷阱1在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主2不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由，l，ml，易误得出 m 的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m 的限制条件3注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去
29、探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系4(理)几种角的范围：两条异面直线所成的角 090；直线与平面所成的角 090；二面角 0180；两条相交直线所成的角(夹角)090；直线的倾斜角 0180；两个向量的夹角 0180；锐角 090.5(理)空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错习题回扣保温必胜1一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为()解析：D 分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面 ACD平面 BCD，故其侧(左)
30、视图应为 D.2已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，mn，则 nC若 m，mn，则 nD若 m，n，则 mn解析：D 在正方体 ABCDABCD中，令底面 ABCD为平面.A令 mAB，nBC，满足 m，n，但 mn 不成立，A项错误；B令 mAA，nAB，满足 m，mn，但 n 不成立，B 项错误；C令 mAB，nAD，满足 m，mn，但 n 不成立，C项错误D 正确3三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则V1V2_.解析：由题意，知 VDABEVAB
31、DEV1，VPABCVAPBCV2.因为 D，E 分别为 PB，PC 中点，所以SBDESPBC14.设点 A 到平面 PBC 的距离为 d，则V1V213SBDEd13SPBCdSBDESPBC14.答案：144(理)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为_解析：以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2 2)点 C1 在侧面 ABB1A1 内的射影为点 C232，32，2 2，所以AC1(2,0,2 2)，AC2 12，32，2 2，设 直 线 AC1 与 平 面
32、ABB1A1 所 成 的 角 为 ，则 cos 1082 33 32.又 0，2，所以 6.答案：6解析几何方法结论记熟用活1直线：直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式2圆：圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(三种，距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法)3圆锥曲线定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线拋物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF|PM|定点 F 不在直线 l上，PMl
33、于 M标准方程x2a2y2b21(ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)图形轴长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b离心率eca1b2a2(0e1)eca1b2a2(e1)e1几何性质渐近线ybax4.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|1k2x1x224x1x2或|P1P2|11k2 y1y224y1y2.5拋物线 y22px(p0)，过焦点的弦 AB 有如下结论：(1)xAxBp24；(2)yAyBp2；(3)|AB|2psin2(是直线 AB 的倾斜角)；(4)
34、|AB|xAxBp.警示易错跳出陷阱1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0 的情况，直接设为xaya1；再如，过定点 P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为 yy0k(xx0)等3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0.4圆的标准方程中，易误把 r2 当成 r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件5易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致
35、漏解6利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支7已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解习题回扣保温必胜1已知直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)24相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a 的值为()A4 15B4 5C4 15D4 5解析：C 依题意，圆 C 的半径是 2，圆心 C(1，a)到直线 axy20 的距离等
36、于 32 2 3，于是有|1aa2|a21 3，即 a28a10，解得 a4 15.2在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为()A.x28y2161 B.x216y281C.x24 y22 21 D.y24 x22 21解析：B 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，因为 AB 过 F1 且 A，B在椭圆上，如图，则ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，解得 a4.又离心率 eca 22，故
37、 c2 2.所以 b2a2c28，所以椭圆 C 的方程为x216y281.3已知点 F(c,0)(c0)是双曲线x2a2y2a21(a0，b0)的左焦点，过 F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 x2y2c2 交于点 F 和另一个点 P，且点 P 在拋物线 y24cx 上，则该双曲线的离心率是()A.5B.3 52C.512D.512解析：C 本题主要考查圆锥曲线间知识的综合应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算如图，由 x2y2c2 与 y24cx 及题意可取 P(52)c,252c)，又 P 在过 F 且与渐近线平行的直线 yba(xc)上，所以 252cba(52
38、)cc，又 a2b2c2 且 eca，所以 e512.故选 C.4已知离心率为 e 52 的双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，且 O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O，A 两点，若AOF 的面积为 4，则 a 的值为_解析：因为 e1ba2 52，所以ba12，|AF|OA|ba12，设|AF|m，则|OA|2m，所以 SAOF12m2m4，解得 m2.由勾股定理，得 c m22m22 5.又ca 52，所以 a4.答案：4概率与统计方法结论记熟用活1概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)事件A包含的基本事件数m基本事件
39、总数n.(2)互斥事件的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(3)对立事件的概率计算公式P(A)1P(A)(4)几何概型的概率计算公式P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样(1)从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量3统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均
40、数作为中位数(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x 1n(x1x2xn)(4)方差与标准差方差：s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2标准差：s1nx1 x 2x2 x 2xn x 2.4频率分布直方图的三个结论(1)小长方形的面积组距频率组距频率(2)各小长方形的面积之和等于 1.(3)小长方形的高频率组距，所有小长方形高的和为 1组距.5线性回归方程线性回归方程ybxa一定过样本点的中心(x，y)6独立性检验利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是根据观测数据计算，由公式 K2nadbc2abacbdcd所给出的检验随机
41、变量 K2 的观测值 k，并且 k 的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性就越大7(理)排列数、组合数的公式及性质公式Amnn(n1)(n2)(nm1)n！nm！CmnAmnAmmnn1n2nm1m！n！m！nm！性质0！1；Annn！CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n8.(理)二项式定理(1)二项式定理二项式定理(ab)nC0nanC1nan1b1CknankbkCnnbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cknankbk，它表示第 k1 项二项式系数二项展开式中各项的系数 Ckn(k0,1,2，n)(2)二项式系数的性质0kn 时，Ckn与 Cnkn 的关系是 CknCnk
42、n.二项式系数先增后减中间项最大当 n 为偶数时，第n21 项的二项式系数最大，最大值为 Cn2n；当 n 为奇数时，第n12 项和n32项的二项式系数最大，最大值为 Cn12n 和 Cn12n.各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n，C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1.9(理)八组公式(1)离散型随机变量的分布列的两个性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.(2)数学期望公式E(X)x1p1x2p2xnpn.(3)数学期望的性质E(aXb)aE(X)b；若 XB(n，p)，则 E(X)np；若 X 服从两点分布，则 E(X)p.(4)方差公式D(X)(x1E(X)2p1(x
43、2E(X)2p2(xnE(X)2pn，标准差 DX.(5)方差的性质D(aXb)a2D(X)；若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p)；若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p)(6)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(7)独立重复试验的概率计算公式Pn(k)Cknpk(1p)nk.(8)条件概率公式P(B|A)PABPA.10(理)正态分布如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 XN(，2)满足正态分布的三个基本概率的值是：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.警示易错跳出陷阱1正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是
44、互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件2混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错3(理)要注意概率 P(A|B)与 P(AB)的区别(1)在 P(A|B)中，事件 A，B 发生有时间上的差异，B 先 A 后；在P(AB)中，事件 A，B 同时发生(2)样本空间不同，在 P(A|B)中，事件 B 成为样本空间；在 P(AB)中，样本空间仍为，因而有 P(A|B)P(AB)4(理)二项式(ab)n 与(ba)n 的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分
45、还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同5(理)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的数学期望和方差公式计算致误(理)习题回扣保温必胜1一组数据共有 7 个数，记得其中有 10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为()A9 B3C17 D11解析：A 设这个数为 x，则平均数为25x7，众数为 2，若 x2，则中位数为 2，此时 x11；若 2x4，则中位数为 x，此时 2x25x72，x3；若 x4，则中位数为 4.2425x72，x17.所有可能值为1
46、1,3,17，故其和为113179.2某数学兴趣小组有男生 3 名，记为 a1，a2，a3；有女生 2 名，记为 b1，b2，现从中任选 2 名学生去参加学校数学竞赛，则(1)参赛学生中恰好有 1 名男生的概率为35.(2)参赛学生中至少有 1 名男生的概率为910.3某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于 10 分钟的概率为16.4天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内至少有一个地方降雨的概率是_解析：事件 A：甲地降雨，事件 B：乙地降雨，则至少有一个地方降雨的
47、概率为 P(AB)P(A B)P(A B)0.20.30.2(10.3)(10.2)0.30.44.答案：0.445现要发行 10 000 张彩票，其中中奖金额为 2 元的彩票 1 000张，10 元的彩票 200 张，50 元的彩票 50 张，100 元的彩票 50 张，1 000 元的彩票 5 张，1 张彩票可能中奖金额的均值是_元解析：设 X 表示 1 张彩票的中奖金额，则它的分布列为X0210501001 000P0.869 50.10.020.0050.0050.000 5EX00.869520.1100.02500.0051000.0051000.0051.65答案：1.65(文)
48、习题回扣保温必胜1一组数据共有 7 个数，记得其中有 10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为()A9 B3C17 D11解析：A 设这个数为 x，则平均数为25x7，众数为 2，若 x2，则中位数为 2，此时 x11；若 2x4，则中位数为 x，此时 2x25x72，x3；若 x4，则中位数为 4.2425x72，x17.所有可能值为11,3,17，故其和为113179.2某数学兴趣小组有男生 3 名，记为 a1，a2，a3；有女生 2 名，记为 b1，b2，现从中任选 2 名学生去参加学校数学竞赛，则(1)参赛学
49、生中恰好有 1 名男生的概率为35.(2)参赛学生中至少有 1 名男生的概率为910.3某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于 10 分钟的概率为16.4有人收集了 10 年中某城市的居民收入 x 亿元与某种商品的销售额 y 万元的有关数据，由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程是y1.447x15.843.若这座城市居民的年收入达到 40 亿元，则这种商品的销售额估计是_万元解析：当 x40 时，y1.4474015.84342.037.答案：42.0375为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：患病未患病总计服用药104555没服
50、用药203050总计3075105通 过 计 算 K2 说 明 可 有 _ 的 把 握 认 为 药 物 有 效(P(K25.024)0.025)解析：K2 的观测值 k105103045202555030756.109 15.024，所以有 97.5%的把握认为药物有效答案：97.5%选修 4 系列方法结论记熟用活1坐标系与参数方程(选修 44)(1)直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yxx0.(2)圆的极坐标方程若圆
51、心为 M(0，0)，半径为 r，则圆的方程为 220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：当圆心位于极点，半径为 r：r；当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：2acos；当圆心位于 Ma，2，半径为 a：2asin.(3)直线的极坐标方程若直线过点 M(0，0)，且与极轴所成的角为，则它的方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：直线过极点：0 和 0；直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cos a；直线过 Mb，2 且平行于极轴：sin b.(4)几种常见曲线的参数方程直线经 过 点 P0(x0，y0)，倾 斜 角 为 的 直 线 的 参 数 方 程 是
52、xx0tcos，yy0tsin，其中 t 是参数圆以O(a，b)为 圆 心，r 为 半 径 的 圆 的 参 数 方 程 是xarcos，ybrsin，其中 是参数当圆心为(0,0)时，方程为xrcos，yrsin，其中 是参数椭圆椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程是xacos，ybsin，其中 是参数椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是xbcos，yasin，其中 是参数2不等式选讲(选修 45)(1)绝对值不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0时，等号成立定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)
53、0 时，等号成立(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c(c0)caxbc.|axb|c(c0)axbc 或 axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想(4)证明不等式的基本方法比较法；综合法；分析法；反证法；放缩法(5)二维形式的柯西不等式若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时，等号成立警示易错跳出陷阱1将曲线的参数方程化为普通方程
54、主要消去参数，简称为“消参”把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性2“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为 n1 个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集习题回扣保温必胜1(选修 44)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xacos t，y1asin t(t 为参数，a0)在以
55、坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；曲线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解析：消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2(y1)2a2.C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆将 xcos，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组22sin 1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由 tan
56、 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a1(舍去)，或 a1.a1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上所以 a1.2(选修 45)设函数 f(x)|x1|xa|.若 a1，解不等式 f(x)3；如果xR，f(x)2，求 a 的取值范围解析：当 a1 时，f(x)|x1|x1|.由 f(x)3 得|x1|x1|3.()当 x1 时，不等式化为 1x1x3，即2x3，不等式组x1，fx3的解集为，32.()当1x1 时，不等式化为 1xx13，不可能成立，不等式组1x1，fx3的解集为.()当 x1 时，不等式化为 x1x13，即 2x3，不等式组x1，fx3 的解集为32，.综上得 f(x)3 的解集为，32 32，.若 a1，则 f(x)2|x1|不满足题设条件若 a1，f(x)2xa1，xa，1a，ax1，2xa1，x1，f(x)的最小值为 1a.由题意有 1a2，即 a1.若 a1，f(x)2xa1，x1，a1，1xa，2xa1，xa，f(x)的最小值为 a1，由题意有 a12，故 a3.综上可知，a 的取值范围为(，13，)
