1、第4讲 函数 yAsin(x)的图象 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响考纲要求考点分布考情风向标2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题2011年新课标卷第11题考查三角函数的单调性与对称性；2012年新课标卷第9题考查正弦函数的图象与性质；2013年新课标卷第9题考查三角函数图象(知式求图)及函数的奇偶性等；2014年新课标卷第7题考查三角函数的周期性；2015年新课标卷第8题考查余弦函数的图象与单调性从近几年的高考试题来看，函数yAsin(x)的图象的平移和伸缩变换以及根据
2、图象确定A，的值等问题是高考的热点，复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握解决问题的通性yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相ATfx1yAsin(x)的有关概念21T2xx0_2yAsin(x)0A0A02五点法画 yAsin(x)用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表：022322323函数 ysinx 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的步骤A1y2sin2x4 的振幅、频率和初相分别为()A2，1，4 B2，12，4C2，1，8 D2，12，82(2014 年四川)为了得到函数 ysin(x
3、1)的图象，只需把函数 ysinx 的图象上所有的点()AA向左平行移动 1 个单位长度B向右平行移动 1 个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度解析：只需把函数 ysinx 的图象上所有的点向左平行移动1 个单位长度，便得到函数 ysin(x1)的图象故选 A.3函数 ysin2x4 的图象可由函数 ysin2x 的图象()A向左平移8个单位长度而得到B向右平移8个单位长度而得到C向左平移4个单位长度而得到D向右平移4个单位长度而得到解析：要得到 ysin2x4 的图象，可由函数 ysin2x 的图象向左平移8个单位长度而得到A)的部分图象如图 3-4-1，则，的值分别是
4、(图 3-4-14(2013 年四川)已知函数 f(x)2sin(x)0，20，0)(xR)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同 时，原图象沿 x 轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平|考点 2“五点法”作函数 yAsin(x)的图象例 2：已知函数 y2sin2x3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 y2sin2x3 的图象可由 ysinx 的图象经过怎样的变换而得到列表，并描点画出图象如图 D13.解：(1)y2sin2x3 的振幅 A2，周期 T22，初相3
5、.(2)令 X2x3，则 y2sin2x3 2sinX.xX02ysinX01010y2sin 02020图 D1361237125623223x(3)方法一，把 ysinx 的图象上所有的点向左平移3个单位，得到 ysinx3 的图象，再把 ysinx3 的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x3 的图象，最后把 ysin2x3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3 的图象方法二，先把 ysinx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x 的图象，再把 ysin2x 的图象上所有的点向左
6、平移6个单位，得到ysin2x3 的图象，最后把 ysin2x3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3 的图象【规律方法】(1)函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法.(2)用“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的图2，求出对应的 x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标.象，关键是点的选取，通常令 x 分别等于 0，2，32，【互动探究】1已知函数 f(x)sinx4(0，xR)的最小正周期为.(1)求 f6；(2)在图 3-4-2 给定的平面直角坐标系中，画出函数 yf(x)在区间2，2 上的图象，并根据图
7、象写出其在2，2 上的单调递减区间图 3-4-2解：(1)依题意得2，解得 2，所以 f(x)sin2x4，所以 f6 sin34sin3cos4cos3sin4 32 22 12 22 6 24.画出函数 yf(x)在区间2，2 上的图象如图 D14.(2)因为2x2，所以54 2x434，列表如下：x238883822x45420234y22010122图 D14由图象可知函数 yf(x)在2，2 上的单调递减区间为2，8，38，2.考点 3 求函数 yAsin(x)的解析式例 3：已知曲线 yAsin(x)(A0，0)上的一个最高点的坐标为2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于
8、点32，0，若 2，2.(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间解：(1)依题意，A 2，T432 2 4，T2|4，0，12.y 2sin12x.又曲线上的最高点为2，2，sin122 1.42k2，kZ.20)来确定；即令x0，x 来确定.的确定：利用“代点法”求 的值时，应尽量选择图象的最高点或最低点，选择函数值为零的点要尽量由函数yAsin(x)k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标【互动探究】2(2015 年陕西)如图 3-4-3，某港口一天 6 时到 18 时的水)C这段时间水深(单位：m)的最大值为(图 3-4-3A5B6C8D10解析：由图象知：ymi
9、n2，因为ymin3k，所以3k2，解得 k5，所以这段时间水深的最大值是 ymax3k358.故选 C.深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k，据此函数可知，难点突破 函数 yAsin(x)的图象的应用例题：函数 f(x)6cos2sinx3(0)在一个周期内的图象如图 3-4-4，A 为图象的最高点，B，C 为图象与 x 轴的交点，且ABC 为正三角形(1)求的值及函数 f(x)的值域；(2)若，求 f(x01)的值图 3-4-4f(x0)8 35，且 x0103，232x3解：(1)由已知，得 f(x)6cos2x2 3sinx361cosx2 3sinx33cosx 3sinx2
10、3sinx3(0)函数 f(x)的值域为2 3，2 3正三角形 ABC 的高为 2 3，则 BC4.函数 f(x)的周期 T428，即28，得 4.(2)f(x0)8 35，由(1)，有f(x0)2 3sinx04 3 8 35，即 sinx04 3 45.由 x0103，23，得x04 32，2.cosx04 3 145235.【规律方法】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数的关系、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、转化等数学思想.故 f(x01)2 3sinx04 432 3sinx04 3 42 3sinx04 3 cos4cosx04 3 sin42 345
11、 22 35 227 65.【互动探究】零点，则 m 的取值范围是_.1,2)3已知 f(x)2sin2x6 m 在 x0，2 上有两个不同的解析：f(x)在0，2 上有两个不同的零点，即方程 f(x)0 在0，2 上有两个不同的实数解，y2sin2x6，x0，2 与ym 有两个不同的交点又 2x66，56，1m2.1由图象确定函数解析式由函数 yAsin(x)的图象确定 A，的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置要善于抓住特殊量和特殊点2解决三角函数的对称问题，特别应注意：函数 yAsin(x)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象坐标为(x，A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)3在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少4求一个关于 sinx、cosx 二次齐次式的周期、值域及单调区间的确定等问题时，首先要降次化为 yAsin(x)函数问题其基本思想是把x 看作一个整体，若0，要先根据诱导公式进行转化
