1、第二篇 知 识 专 题 透视考情报告,函数、导数与不等式是历年高考的重点和热点,在高考中常以“三小一大”的形式呈现,命题角度多样,形式多变.本知识板块的高考命题有如下特点:高考对函数的考查:(1)以分段函数、二次函数、指数函数与对数函数为载体,考查函数的定义域、最值、值域、奇偶性、单调性;(2)利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解,综合性强;(3)以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理及函数的应用,数形结合是高考考查函数零点或方程的根的基本方式.高考对不等式的考查:(1)利用不等式的性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点,主要以选
2、择题、填空题为主;(2)在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时,常利用不等式进行求解,难度较大.高考对导数的考查:(1)以指数、对数式为载体,考查函数单调性的求法,以及考查函数极值、最值的求法,综合考查与范围有关的问题;(2)在压轴题中,以含指数、对数函数为载体,函数零点问题、与方程的根相关的问题及函数图象的交点问题是高考命题的热点;(3)函数与不等式的交汇是高考压轴题的考查热点,常以含指数、对数函数为载体,考查不等式的证明、比较大小、范围以及不等式的恒成立与能成立等问题.一、函数的图象及性质 1.函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素,是一个整体
3、,研究函数问题时必须“定义域优先”.(2)对于函数的图象要会画图、识图和用图,画函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法.其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(3)有关函数图象对称性的常用结论:若函数 f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称;若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的图象关于直线x=+2 对称;若函数 f(x)满足 f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)中心对称.(4)在研究函数的性质(特别是单调性、值域、零点)时,要注意结合其图象进行研究.2.
4、函数的性质(1)单调性()单调性定义的等价形式:设 x1,x2a,b,那么(x1-x2)f(x1)-f(x2)0(1)-f(2)1-20f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0(1)-f(2)1-20,忽视 ln x0 这一限制条件.(2)函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质,而函数的奇偶性及周期性都是函数在定义域上的整体性质,只有当函数的定义域关于原点对称时,才能研究这个函数的奇偶性.(3)若函数 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数,则f(x1)f(x2)x10(0(0(或0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数
5、图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.(2)解含有参数的一元二次不等式时,要注意对参数的取值进行讨论:对二次项系数与 0 的大小关系进行讨论;在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与 0 的大小关系进行讨论;当判别式大于 0,但两个根的大小关系不确定时,对两个根的大小关系进行讨论;讨论根与定义域的关系.(3)两个常用结论:ax2+bx+c0(a0)恒成立的条件是 0,0;ax2+bx+c0(a0)恒成立的条件是 0,g(x)对一切 xa,b恒成立a,b是 f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xa,b);f(x)g(x)对 xa,b能成立a,b与 f(x)
6、g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xa,b);对x1,x2a,b使 f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min;对x1a,b,x2a,b使 f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.注意:1.解含有参数的不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准.2.多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错.因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误的一种方法.3.解决线性规划问题先要画出可行域,再注意目标函数表示的几何意义,通
7、过数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意画图一定要准确,整点问题要验证解决.四、导数及其应用 1.导数的几何意义:函数 y=f(x)在 x=x0处的导数 f(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,即 k=f(x0),故曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).求曲线的切线时,要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”.2.导数的四则运算法则(1)(x)v(x)=(x)v(x);(2)(x)v(x)=(x)v(x)+(x)v(x);(3)()()=()()-()()2(x)(v(x)
8、0).3.复合函数求导法则:复合函数 y=f(g(x)的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为 yx=f(u)g(x).4.导数与函数单调性的关系(1)函数单调性的判定方法:设函数 y=f(x)在某个区间内可导,若 f(x)0,则 y=f(x)在该区间上为增函数;若 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 f(x)0,那么 f(x0)是极小值.也就是说 x0是极值点的充分条件是点 x0两侧导数异号,而不是f(x0)=0.(2)函数不可导的点也可能是函数的极值点,而且极值是一个局部概念,极值的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小.6.函数
9、的最值 在闭区间上连续的函数,一定有最大(小)值,其最大(小)值是区间的端点处的函数值或在这个区间内函数的所有极大(小)值中的最大(小)者;开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.7.利用定积分求曲边梯形的面积 由直线x=a,x=b(ab),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积 S=(x)d.(1)微积分基本定理:一般来说,如果 f(x)是区间a,b上的连续函数,并且 F(x)=f(x),那么(x)d=()-().(2)定积分的性质:(x)d=(x)d;1(x)2(x)d=1(x)d 2(x)d;(x)d=(x)d+(x)d(其中 g(x)
10、(f(x)0(f(x)-g(x)0)的问题,进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x).构造“形似”函数:对原不等式进行同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左右两边是相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数.适当放缩后再构造:若所构造函数最值不易求解,则可将有关不等式进行放缩,再重新构造函数.构造双函数:若直接构造函数求导,难以判断符号,导数的零点也不易求得,单调性和极值点都不易获得,则可以构造 f(x)和 g(x),利用其最值求解.(3)导数在综合应用中,有关转化与化归思想的常见类型 把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题;把证明不等式问题转化为函数的单调性问题;把方程解的
11、问题转化为函数的零点问题.注意:1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式y-y0=f(x0)(x-x0),它的难点在于分清“过点 P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处,在过点 P(x0,y0)的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上;而在点P(x0,y0)处的切线,必以点P为切点,则此时切线的方程是 y-y0=f(x0)(x-x0).2.求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.求函数单调区间时,在多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接;单调区间不能用集合或不等式表示.对可导函数而言,某点导数等于零是函数在
12、该点取得极值的必要不充分条件.考点一 函数的表示及定义域、值域 高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.这些知识点都有相对固定的解法,解答时对问题进行准确定位很关键.对分段函数的考查也是高考重点考查的内容,常结合函数的性质、图象,考查分段函数的求值、性质等.1(1)(2017 年山东卷)设函数 y=4-2的定义域为 A,函数 y=ln(1-x)的定义域为 B,则 AB=().A.(1,2)B.(1,2 C.(-2,1)D.-2,1)(2)(2016 年全国卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lg 的定义域和值域相同的是().A.y=x B.y=
13、lg x C.y=2x D.y=1 (3)(2017 年山东卷)设 f(x)=,0 x 0 得 x1.故 AB=x|-2x2x|x1=x|-2x1.(2)函数 y=10lg 的定义域与值域均为(0,+);函数 y=x 的定义域与值域均为 R;函数 y=lg x 的定义域为(0,+),值域为 R;函数 y=2x的定义域为 R,值域为(0,+);函数 y=1 的定义域与值域均为(0,+).(3)由 x1,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若 a1,则 f(a)f(a+1),所以 0a1.由 f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),解得 a=14,则f(1)=f(4)=2(4-1)=6.故选
14、C.【答案】(1)D(2)D(3)C 1.求函数定义域的实质是解不等式或不等式组,求解过程注意相关不等式的解法.研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则.2.分段函数求值,首先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现 f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值;当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.(1)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为().A.(-1,1)B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,
15、1)(2)(2016 年山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x12时,f(x+12)=f(x-12).则 f(6)=().A.-2 B.-1 C.0 D.2(3)已知函数 f(x)=sin2,-1 x 0,log2(x+1),0 x 1,且 f(x)=-12,则 x的值为 .【解析】(1)由已知得-12x+10,解得-1x12时,f(x+12)=f(x-12),即 f(x)=f(x+1),所以 T=1,所以f(6)=f(1).当 x0 时,f(x)=x3-1,且当-1x1 时,f(-x)=-f(x),所以 f(6)=f(1)=-f(-1)=2.(3)(法一)当-1x0 时,由 f(x
16、)=sin2=-12,解得 x=-13;当0 x1 时,由 f(x)=log2(x+1)=-12,解得 x=22-1,不符合题意,舍去.故 x 的值为-13.(法二)当-1x0 时,由 f(x)=sin2=-12,解得 x=-13;当 0 x1时,f(x)=log2(x+1)(0,1),此时 f(x)=-12无解.故 x 的值为-13.【答案】(1)B(2)D(3)-13 考点二 函数的性质及其应用 高考对函数性质的考查,常从以下几个方面进行:单调性的确定,应用单调性求最值、比较大小、求参数的取值范围等;奇偶性、周期性与函数其他性质的综合;求函数的最值或应用函数的最值问题等.2(1)(2017
17、 年北京卷)已知函数 f(x)=3x-(13)x,则f(x)().A.是奇函数,且在 R 上是增函数 B.是偶函数,且在 R 上是增函数 C.是奇函数,且在 R 上是减函数 D.是偶函数,且在 R 上是减函数(2)(2017 年天津卷)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数,g(x)=xf(x).若 a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则 a,b,c 的大小关系为().A.abc B.cba C.bac D.bca(3)(2017 年山东卷)若函数 exf(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质.下列
18、函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 .f(x)=2-x;f(x)=3-x;f(x)=x3;f(x)=x2+2.【分析】(1)是考查函数的奇偶性和单调性,问题比较简单,利用函数奇偶性、单调性的定义可直接进行解答;(2)是比较大小,实质是考查函数 g(x)、指数函数、对数函数的单调性及其应用;(3)是新定义问题,考查函数的单调性,由题意可利用导数的方法进行研究.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-(13)-x=(13)x-3x=-f(x),函数 f(x)是奇函数.函数 y=(13)x在 R 上是减函数,函数 y=-(13)x在 R 上是增函数.又y=3x在 R 上是增
19、函数,函数 f(x)=3x-(13)x在 R 上是增函数.故选 A.(2)f(x)在 R 上是增函数,可设 0 x1x2,则 f(x1)f(x2),从而 x1f(x1)x2f(x2),即 g(x1)0,20.80,30,且 log25.1log28=3,20.8213,而 20.821=log24log25.120.80,cab.(3)设 g(x)=exf(x).对于,g(x)=ex2-x(xR),g(x)=ex2-x-ex2-xln 2=(1-ln 2)ex2-x0,函数 g(x)在 R 上单调递增,故中的 f(x)具有 M 性质.对于,g(x)=ex3-x(xR),g(x)=ex3-x-e
20、x3-xln 3=(1-ln 3)ex3-x0,函数 g(x)在 R 上单调递减,故中的 f(x)不具有 M 性质.对于,g(x)=exx3(xR),g(x)=exx3+ex3x2=(x+3)exx2,当 x-3 时,g(x)0,函数 g(x)在 R 上单调递增,故中的 f(x)具有 M 性质.综上所述,具有 M 性质的函数的序号为.【答案】(1)A(2)C(3)在研究函数的性质时,要注意运用函数性质与图象的关系,结合函数的图象进行解答,灵活运用数形结合思想解题.(1)(2016 年四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0 xf(-2),则 a 的取值范围是 .
21、(3)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,且在区间-1,1上,f(x)=+1,-1 0,(),f(2),所以 2|a-1|2=212,所以|a-1|12,即-12a-112,即12a32.(3)因为 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,所以 f(32)=f(-12),且 f(-1)=f(1).又 f(12)=f(32),故 f(12)=f(-12),从而12b+212+1=-12a+1,即 3a+2b=-2.由 f(-1)=f(1),得-a+1=+22,即 b=-2a.由得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10.(4)对于,因为 f(x+3)=f(x)且 f(-x)
22、=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1)=f(1)=1,f(-4)=f(-1)=f(1)=1,故f(2)+f(-4)=2,正确.对于,因为 f(x+1)f(x)=2017,所以f(x+1)=2017(),f(x+2)=2017(+1)=f(x).所以 f(x)是周期为 2 的周期函数,正确.对于,令 x0,g(-x)=-x-1.又 g(x)为偶函数,所以g(x)=g(-x)=-x-1,即 f(x)=-x-1,不正确.对于,要使函数有意义,需满足 log13|2x-3|0,|2-3|0,即00,f()=sin 21-cos =0,排除选项 A,D.由 1-cos x0 得 x2k(k
23、Z),故函数 f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=sin(-2)1-cos(-)=-sin 21-cos=-f(x),f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项 B.故选 C.(2)当 x+时,sin 2 0,1+x+,y=1+x+sin 2+,故排除选项 B.当 0 x0,故排除选项 A,C.故选 D.【答案】(1)C(2)D 识别函数图象的常用方法:(1)直接法;(2)特例排除法;(3)性质(单调性、奇偶性、过定点等)验证法;(4)较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.(1)函数 y=33-1的部分
24、图象大致是().(2)(2016 年全国卷)函数 y=2x2-e|x|在-2,2上的图象大致为().(3)已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是().A.f(x)=12-1-x3 B.f(x)=12-1+x3 C.f(x)=12+1-x3 D.f(x)=12+1+x3【解析】(1)由 3x-10 得 x0,函数 y=33-1的定义域为x|x0,可排除选项 A;当 x=-1 时,y=(-1)313-1=320,可排除选项 B;当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y=45,但从选项 D 中的函数图象可以看出函数在(0,+)上是单调递增函数,两者矛盾,可排除选项 D.故选
25、C.(2)f(x)=2x2-e|x|,x-2,2是偶函数,且 f(2)=8-e2(0,1),可排除选项 A,B.设 g(x)=2x2-ex,则 g(x)=4x-ex.又g(0)0,g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除选项 C.故选 D.(3)由图象可知,函数的渐近线为 x=12,故排除选项 C,D.又函数 f(x)在(-,12),(12,+)上单调递减,而函数 y=12-1在(-,12),(12,+)上单调递减,y=-x3在 R 上单调递减,f(x)=12-1-x3在(-,12),(12,+)上单调递减,故选 A.【答案】(
26、1)C(2)D(3)A 考点四 函数与方程 函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体,考查函数零点的存在区间、确定零点的个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题.函数与方程不仅考查考生计算、画图等方面的能力,还考查考生函数与方程、数形结合及转化化归等数学思想的综合应用.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来.4(2017 年江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间0,1)上,f(x)=2,xD,其中集合 D=x|x=-1,nN*,则方程 f(x)-lg x=0 的
27、解的个数是 .【分析】本题考查方程的解的个数问题,利用数形结合将问题转化为图象的交点个数问题.【解析】由于 f(x)0,1),故只需考虑 1x10 的情况.在此范围内,当 xQ 且 xZ 时,设 x=,p,qN*,p2,且 p,q 互质.若 lg xQ,则由 lg x(0,1),可设 lg x=,m,nN*,m2,且 m,n互质,因此 10=,则 10n=()m.此时等式左边为整数,等式右边为非整数,矛盾,所以 lg xQ.因此 lg x 不可能与每个周期内 xD对应的部分相等,只需考虑 lg x 与每个周期 xD 的部分的交点即可.画出函数图象(如图),图中交点(1,0)除外,其他交点的横坐
28、标均为无理数,属于每个周期 xD 的部分,且当 x=1 时,(lg x)=1ln10=1ln10,其中 m0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 .(3)(2016 年天津卷)已知函数f(x)=2+(4a-3)x+3a,x 0,且 a1)在 R 上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是().A.(0,23 B.23,34 C.13,2334 D.13,23)34【解析】(1)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1的零点的个数即2x|log0.5x|-1=0的解的个数,即|log0.
29、5x|=(12)x的解的个数,画出函数g(x)=|log0.5x|和函数 h(x)=(12)x的图象,如图所示.由图象可知,两个函数图象共有 2 个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1 有 2 个零点.(2)如图,当 xm 时,f(x)=|x|;当 xm 时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+)上为增函数.若存在实数 b,使得方程 f(x)=b 有三个不同的根,则m2-2mm+4m0,所以 m2-3m0,解得 m3.(3)由 y=loga(x+1)+1 在0,+)上单调递减,得 0a2,即 a23时,由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x0),得 x2+(4a-2)
30、x+3a-2=0(其中x0),则=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得 a=34或 a=1(舍去);当 13a2,即13a23时,由图象可知,符合条件.综上所述,a13,2334.故选 C.【答案】(1)B(2)(3,+)(3)C 考点五 导数的概念及其运算 导数的概念及其运算主要是考查导数的几何意义,是每年高考的重点和热点内容.高考对导数几何意义的考查主要从以下三个方面:(1)已知切点求切线方程;(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标;(3)已知切线方程求参数值.此类问题的解答须熟记常见函数的导数公式及导数的运算法则,明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率,其中切点既在曲线上又在切线
31、上是解题的关键.5(1)(2017 年北京卷)已知函数 f(x)=excos x-x.求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;求函数 f(x)在区间0,2 上的最大值和最小值.(2)(2017 年山东卷)已知函数 f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中 e=2.71828是自然对数的底数.求曲线 y=f(x)在点(,f()处的切线方程;令 h(x)=g(x)-af(x)(aR),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【分析】本例是求曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线方程问题.其步骤为:求出函数 y=
32、f(x)在点 x=x0处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处切线的斜率;由点斜式方程求得切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).【解析】(1)因为 f(x)=excos x-x,所以 f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=1.设 h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则 h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当 x(0,2)时,h(x)0,所以 h(x)在区间0,2 上单调递减.所以对任意 x(0,2 有
33、 h(x)h(0)=0,即 f(x)0 时,m(x)0;当 x0 时,m(x)0,当 x0 时,h(x)0 时,h(x)0,h(x)单调递增.所以当 x=0 时,h(x)取到极小值,极小值是 h(0)=-2a-1.当 a0 时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),由 h(x)=0 得 x1=ln a,x2=0.a.当 0a1 时,ln a0,当 x(-,ln a)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当 x(ln a,0)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当 x=ln a 时,h(x)取到极大值,极大值是 h(ln a)=-aln2a-2
34、ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2;当 x=0 时,h(x)取到极小值,极小值是 h(0)=-2a-1.b.当 a=1 时,ln a=0,所以当 x(-,+)时,h(x)0,函数 h(x)在 R 上单调递增,无极值.c.当 a1 时,ln a0,所以当 x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当 x(0,ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当 x=0 时,h(x)取到极大值,极大值是 h(0)=-2a-1;当 x=ln a 时,h(x)取到极小值,极小值是 h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+
35、cos(ln a)+2.综上所述,当 a0 时,函数 h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数 h(x)有极小值,极小值是 h(0)=-2a-1;当 0a1 时,函数 h(x)在(-,0)和(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数 h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是 h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.1.导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点 A(x0,f(x0),求切线斜率 k,即求该点处的导数值k=f(x0);(2)已知切线
36、斜率 k,求切点 A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k;(3)若求过点 P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由 1=f(1),0-1=f(1)(0-1)求解即可;(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.2.导数运算的技巧:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.遇到函数的商的形式时,能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.(1)(
37、2016 年全国卷)已知 f(x)为偶函数,当 x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .(2)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=.(3)若函数 f(x)=12x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .(4)给出定义:若函数 f(x)在区间 D 上可导,即 f(x)存在,且导函数 f(x)在区间 D 上也可导,则称 f(x)在区间 D 上存在二阶导函数,记 f(x)=(f(x).若 f(x)0,则-x0 时,f(x)=ex-1+x,f(x)=ex-1+1
38、,f(1)=2.故所求切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x.(2)(法一)令 f(x)=x+ln x,则 f(x)=1+1,f(1)=2.故曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1.设直线 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 的切点为 P(x0,y0),则y|=0=2ax0+a+2=2,得 a(2x0+1)=0,a=0 或 x0=-12.又a02+(a+2)x0+1=2x0-1,即 a02+ax0+2=0,当 a=0 时,显然不满足此方程,x0=-12,此时 a=8.(法二)求出 y=x+ln x 在点(1,1)处的切
39、线方程为 y=2x-1,由 =2-1,=2+(a+2)x+1,得 ax2+ax+2=0,=a2-8a=0,a=8 或a=0(显然不成立,舍去).(3)f(x)=12x2-ax+ln x,定义域为(0,+),f(x)=x-a+1.f(x)存在垂直于 y 轴的切线,f(x)存在零点,即 x+1-a=0有解,a=x+12.(4)中,f(x)=cos x-sin x,f(x)=-sin x-cos x=-2sin(x+4),f(x)0),f(x)=-12,f(x)0 在区间(0,2)上恒成立;中,f(x)=-3x2+2,f(x)=-6x,f(x)0 在区间(0,2)上恒成立,故不是凸函数.【答案】(1
40、)y=2x(2)8(3)2,+)(4)考点六 导数的简单应用 导数作为工具,为研究函数的性质提供了一般性的解题方法.利用导数研究函数的极值、最值等问题是高考重点考查的内容,难度较大.求函数的极值、最值问题,一般需要求导,借助函数的单调性,转化为方程或不等式问题来解决.6(1)(2017 年浙江卷)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是().(2)(2017 年全国卷)若 x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为().A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1【分析】(1)是考查原函数与导函数图象
41、间的关系,可根据导函数的符号与原函数单调性的关系进行判断;(2)是求函数的极值,根据求极值的方法,需要研究可导函数 y=f(x)的单调性.【解析】(1)由导函数图象可知,原函数先递减,后递增,再递减,最后递增,且 x=0 位于增区间内,故选 D.(2)f(x)=(x2+ax-1)ex-1,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=ex-1x2+(a+2)x+a-1.由x=-2 是函数 f(x)的极值点得,f(-2)=e-3(4-2a-4+a-1)=(-a-1)e-3=0,解得 a=-1.f(x)=(x2-x-1)ex-1,f(x)=ex-1(x2+x-2).由 ex-10 恒
42、成立,得当 x=-2 或 x=1 时,f(x)=0.当 x0;当-2x1 时,f(x)1 时,f(x)0.x=1 是函数 f(x)的极小值点,极小值为 f(1)=-1.故选 A.【答案】(1)D(2)A 利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f(x)0,f(x).若 a=0,则 f(x)的最大值为 ;若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是 .(2)(2016 年四川卷)已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a=().A.-4 B.-2 C.4 D.2【解析】(1)由当 xa 时,f(x)=3x2-3=0,得 x=1.如图所示的是函数 y
43、=x3-3x 与 y=-2x 在没有限制条件时的图象.若 a=0,则 f(x)max=f(-1)=2.当 a-1 时,f(x)有最大值;当 aa 时无最大值,且-2a(x3-3x)max.所以a-1.(2)由题意得f(x)=3x2-12,令f(x)=0得x=2,所以当x2 时,f(x)0;当-2x2 时,f(x)0,则满足f(x)+f(x-12)1 的 x 的取值范围是 .【分析】(1)可转化为二次函数的值域问题,解答时要注意变量的取值范围;(2)是分段函数的求值问题,注意分段区间.【解析】(1)x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x0,1,所以当x=0 或 1 时,x2+y2取
44、得最大值 1;当 x=12时,x2+y2取得最小值12.因此x2+y2的取值范围为12,1.(2)由题意得,当 x12时,2x+2-121 恒成立,即 x12;当 01 恒成立,即 01x-14,即-14y0,则().A.1-10 B.sin x-sin y0 C.(12)x-(12)y0(2)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x13,则 f(ex)0 的解集为().A.x|-1x13 B.x|-ln 3x-ln 3 D.x|xy0,所以11,即1-1y0,所以(12)x(12)y,即(12)x-(12)yy0时,xy 不一定大于 1,即不一定有 ln(xy)0,D 错.(2)设-1
45、 和13是方程 x2+ax+b=0 的两个实数根,所以 a=-(-1+13)=23,b=(-1)13=-13.因为一元二次不等式f(x)0 的解集为x|x13,所以 f(x)=-m(x2+23x-13)(m0),所以 f(x)0 的解集为(-1,13).不等式 f(ex)0 可化为-1ex13,解得 xln13,即 x0 的解集为x|x0恒成立,所以一次函数 g(k)=k(x-2)+x2-4x+40 在-1,1上恒成立,所以(-1)0,(1)0,即(-1)(-2)+2-4x+4 0,1 (-2)+2-4x+4 0,解得x3,所以 x 的取值范围为(-,1)(3,+).【答案】(1)C(2)D(
46、3)(-,1)(3,+)考点九 基本不等式及其应用 在高考中,利用基本不等式求最值,主要是用来解决求最值、判断不等式、解不等式等有关问题.基本不等式的考查形式有两种:一是不等式的证明;二是求函数或数列的最值问题.在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得)的条件才能应用,否则会出现错误.9(1)(2017 年江苏卷)某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 .(
47、2)(2017 年山东卷)若 ab0,且 ab=1,则下列不等式成立的是().A.a+12log2(a+b)B.2log2(a+b)a+1 C.a+1log2(a+b)2 D.log2(a+b)a+10,则4+44+1的最小值为 .【分析】(1)是考查基本不等式的实际应用,问题抽象后转化为基本不等式,利用基本不等式的知识进行解答;(2)是借助基本不等式比较大小;(3)是利用基本不等式求最值.【解析】(1)一年的总运费与总存储费用之和为 4x+600 6=4(x+900)万元.因为 4(x+900)42 900=240,当且仅当x=900,即 x=30 时等号成立,所以当 x=30 时,一年的总
48、运费与总存储费用之和最小.(2)因为 ab0,且 ab=1,所以 a1,0b1,所以2log22=1,2+1a+1a+ba+1log2(a+b).(3)4+44+1422+1=4ab+12 41=4.(前一个等号成立的条件是 a2=2b2,后一个等号成立的条件是 ab=12,则当且仅当a2=22,b2=24 时,两个等号可以同时取得)【答案】(1)30(2)B(3)4 利用基本不等式求最值的方法:(1)在应用基本不等式求最值时,要把握三个方面,即“一正各项都是正数,二定和或积为定值,三相等等号能取得”,这三个方面缺一不可;(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注
49、意取等号的条件是否一致.在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.(1)函数 y=loga(x+3)-1(a0,且 a1)的图象恒过定点A,若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,其中 m0,n0,则2+1的最小值为().A.2 2 B.4 C.52 D.92(2)(2015 年陕西卷)设 f(x)=ln x,0ab,若p=f(),q=f(+2),r=12(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是().A.q=rp B.p=rp D.p=rq(3)已知 x0,y0,若2+8 m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .【解析
50、】(1)由函数 y=loga(x+3)-1(a0,且 a1)的解析式知,当 x=-2 时,y=-1,所以点 A 的坐标为(-2,-1).又点 A 在直线mx+ny+2=0 上,所以-2m-n+2=0,即 2m+n=2.所以2+1=2+2+2=2+1252+2 =92,当且仅当 m=n=23时等号成立.所以2+1的最小值为92.(2)(法一)由题意知,p=f()=ln,q=f(+2)=ln(+2),r=12(f(a)+f(b)=12(ln a+ln b)=12ln ab=ln.又ba0,+2 0.函数 f(x)=ln x 在(0,+)上为增函数,p=rq.(法二)(特值法)令 a=1,b=2,则
51、 p=f(2)=ln 2,q=f(+2)=f(32)=ln32,r=12(ln 1+ln 2)=ln 2.232,ln 2ln 32,p=r0,y0,则2 0,8 0,所以2+8 2 2 8=8,当且仅当 y2=4x2时等号成立,即2+8 的最小值为 8.若2+8 m2+2m 恒成立,则 m2+2m8,即 m2+2m-80,解得-4m1,即 a0(舍去).当-a-1,即 a1 时,z 在点 A(2,0)处取得最大值,2a+0=4,a=2.当-1-a0,即 0a1(舍去).综上可得,a=2.(3)设生产产品 A、产品 B 分别为 x 件、y 件,利润之和为 z元,由题意得,x,y 满足的关系是
52、1.5+0.5 150,+0.3 90,5+3 600,0,N*,0,N*.目标函数 z=2100 x+900y.二元一次不等式组等价于 3+300,10+3 900,5+3 600,0,N*,0,N*.如图所示,画出二元一次不等式组表示的平面区域(阴影部分),即可行域.将 z=2100 x+900y 变形,得 y=-73x+900,平移直线 y=-73x,当直线y=-73x+900经过点 M 时,z 取得最大值.解方程组 10+3=900,5+3=600,得点 M 的坐标(60,100).【答案】(1)A(2)B(3)216000 考点十一 函数、不等式和导数的综合应用 从近年高考命题情况来
53、看,在能力立意的思想指导下,作为“平台”,导数与函数、方程、不等式等相结合,利用导数这一工具求函数的极值、最值问题,解决、证明不等式问题,研究函数的零点、方程的根的问题,求字母参数取值范围等综合性问题,试题难度较大.在求解过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论等思想的应用.1.利用导数研究函数的极值、最值问题 11(2017 年浙江卷)已知函数 f(x)=(x-2-1)e-x(x12).(1)求 f(x)的导函数;(2)求 f(x)在区间12,+)上的取值范围.【分析】第(2)问可转化为求 f(x)在区间12,+)上的最值,则需要先研究 f(x)的单调性.【解析】(1)f(x)
54、=(1-1 2-1)e-x-(x-2-1)e-x=(1-1 2-1-x+2-1)e-x=(1-x)(1-2 2-1)e-x(x12).(2)令 g(x)=x-2-1,则 g(x)=1-1 2-1.当12x1时,g(x)1 时,g(x)0.则 g(x)在 x=1 处取得最小值,即最小值为 0.又 e-x0,所以 f(x)在区间12,+)上的最小值为 0.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如表所示:x(12,1)1(1,52)52(52,+)f(x)-0+0-f(x)又 f(12)=12 e-12,f(1)=0,f(52)=12 e-52,综上可知,f(x)在区间12,+)上的取值范围是
55、0,12 e-12.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程 f(x)=0的根,再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程 f(x)=0 根的大小或存在情况来求解;(3)求函数 f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值 f(a),f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(2015 年全国卷)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+)
56、,f(x)=1-a.若 a0,则 f(x)0,所以 f(x)在(0,+)上单调递增.若 a0,则当 x(0,1)时,f(x)0;当 x(1,+)时,f(x)0 时,f(x)在 x=1处取得最大值,最大值为 f(1)=ln 1+a(1-1)=-ln a+a-1.因此 f(1)2a-2 等价于 ln a+a-10.令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当 0a1 时,g(a)1 时,g(a)0.因此,a 的取值范围是(0,1).2.导数在不等式问题中的应用 12(2017 年全国卷)已知函数 f(x)=ax2-ax-xln x,且 f(x)0.(1
57、)求 a.(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e-2f(x0)2-2.【分析】第(2)问判断函数极值点的存在,可根据其图象进行解答,故需要对函数的单调性进行研究.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+).设 g(x)=ax-a-ln x,则 f(x)=xg(x),f(x)0 等价于 g(x)0.因为 g(1)=0,g(x)0,所以 g(1)=0,而 g(x)=a-1,g(1)=a-1,得 a=1.若 a=1,则 g(x)=1-1.当 0 x1 时,g(x)1 时,g(x)0,g(x)单调递增.所以 x=1 是 g(x)的极小值点,故 g(x)g(1)=0.综上可得,a=1.(2
58、)由(1)知 f(x)=x2-x-xln x,f(x)=2x-2-ln x.设 h(x)=2x-2-ln x,则 h(x)=2-1.当 x(0,12)时,h(x)0.所以 h(x)在(0,12)上单调递减,在(12,+)上单调递增.又 h(e-2)0,h(12)0;当 x(x0,1)时,h(x)0.因为 f(x)=h(x),所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点.由 f(x0)=0 得 ln x0=2(x0-1),故 f(x0)=x0(1-x0).由 x0(0,12)得 f(x0)f(e-1)=e-2.所以 e-2f(x0)2-2.利用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查利用导数判定
59、函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.(2016 年全国卷)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求 a 的取值范围.(2)设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当 x(-,1)时,f(x)0.所以 f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b0 且 b2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)0,故 f(x)存在两个零点.若 a0,则由 f(x)=0 得 x=1 或 x=ln(-2a).若-e2a0,因此 f(x)在(1,+)上单调递增.又当 x1 时,f(x
60、)0,所以 f(x)不存在两个零点.若 a1,故当 x(1,ln(-2a)时,f(x)0,因此 f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(ln(-2a),+)上单调递增.又当 x1 时,f(x)0,所以 f(x)不存在两个零点.综上可得,a 的取值范围为(0,+).(2)不妨设 x1x2,由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),f(x)在(-,1)上单调递减,所以 x1+x2f(2-x2),即 f(2-x2)1时,g(x)1 时,g(x)0,从而g(x2)=f(2-x2)0,故 x1+x22.3.导数在研究函数零点中的应用 13 已知函数 f(x)=aln-+2.(
61、1)若函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线过点(0,4),求函数f(x)的最大值;(2)当 a0,f(x)在(0,1e)上单调递增;当 x(1e,+)时,f(x)0,f(x)在(1e,+)上单调递减.当 x=1e时,f(x)取得最大值 f(1e)=2ln1e-1e+21e=2e-2.(2)g(x)=xf(x)+x2-2x+2=a(ln x-x+2)+x2-2x+2,g(x)=a(1-1)+2x-2=(2-)(-1).令 g(x)=0,得 x1=2,x2=1,显然 x1=212,在(12,1)上,g(x)0.故 g(x)在(12,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.要使 g(x)在(12
62、,2)上只有一个零点,则函数 g(x)的极小值 g(1)=a+1=0,即 a=-1;(12)0,(2)0,即(ln12+32)+54 0,ln2+2 0,即 54ln2-6,-2ln2,由 ln 20.7,可知-2ln254ln2-6,-2ln2 0,(2)0,得 54ln2-6,-2ln2,a 不存在.综上可得,实数 a 的取值范围为(-2ln2,54ln2-6-1.函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,则通过解方程即可得出参数的范围;若方程不易解或不可解,则需构造两个新的函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题更直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.已知函数
63、f(x)=ln-+1(),e-1+(a-2)x(x 0).(1)若 a=1,证明:y=f(x)在 R 上单调递减.(2)当 a1 时,讨论 f(x)零点的个数.【解析】(1)当 x1 时,f(x)=1-10,f(x)在1,+)上单调递减,f(x)f(1)=0;当 x1 时,f(x)=ex-1-10.所以 y=f(x)在 R 上单调递减.(2)若 xa,则 f(x)=1-a1-a1),此时 f(x)单调递减.令 g(a)=f(a)=ln a-a2+1(a1),则 g(a)=1-2a0,g(a)在(1,+)上单调递减,所以f(a)=g(a)g(1)=0.所以 f(x)f(a)0,故 f(x)在a,
64、+)上无零点.若 x2 时,f(x)0,f(x)单调递增,又 f(0)=e-10,f(12-)0,此时 f(x)在(12-,0)上有一个零点.当 a=2 时,f(x)=ex-1,此时 f(x)在(-,2)上没有零点.当 1a2 时,令 f(x0)=0,解得 x0=ln(2-a)+110,此时 f(x)没有零点.综上可得,当 12 时,f(x)有一个零点.【视角拓展 1】利用导数研究函数的极值、最值问题 函数的极值、最值是高考的热点内容,考查函数的极值和最值的同时必然涉及函数的单调性、方程和不等式.高考中经常考查的函数零点,方程根,不等式恒成立、能成立,参数的取值范围等问题,最终还是转为利用导数
65、探求函数的极值或最值问题.1 已知函数 f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x(aR).(1)求 f(x)的单调区间;(2)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1(0,2,均存在 x2(0,2,使得 f(x1)0).当 a0 时,x0,ax-10,当 x(2,+)时,f(x)0.故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+).当 0a2,则当 x(0,2)(1,+)时,f(x)0,当 x(2,1)时,f(x)12时,010,当 x(1,2)时,f(x)0.故 f(x)的单调递增区间是(0,1)和(2,+),单调递减区间是(1,2).(2)由已知得,在区间(0,2上
66、有 f(x)maxg(x)max.由已知得,g(x)max=0.由(1)可知,当 a12时,f(x)在(0,2上单调递增,故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,所以-2a-2+2ln 2ln 2-1.所以 ln 2-112时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2上单调递减,故 f(x)max=f(1)=12-1(2a+1)+2ln1=-12-2-2ln a12时,12+2ln a12+2ln e-1-2,故 a12时满足题意.综上可知,a 的取值范围为(ln 2-1,+).求函数 f(x)在区间a,b上的最值的方法:(1)若函数 f(x)
67、在区间a,b上单调递增或递减,则 f(a)与 f(b)一个为最大值,一个为最小值;(2)若函数在闭区间a,b内有极值,则先求出a,b上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)若函数 f(x)在区间(a,b)上有唯一极值点,则这个极值点就是最大(或小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.对于求函数在闭区间上的最值,应先判断函数的单调性,一般情况下是利用导数求出单调区间,要注意单调区间与已知区间的关系.含有参数时,常需要分类讨论,分类时要做到不重不漏.已知函数 f(x)=12ax2-(a2+1)x+aln x.(1)若函数 f(x)在1e,e上单调
68、递减,求实数 a 的取值范围;(2)当 a(0,35时,求 f(x)在1,2上的最大值和最小值.(参考:ln 20 时,不等式等价为 x+1a+1在1e,e上恒成立.当 x0 时,h(x)=x+1在(0,1)上是减函数,在1,+)上是增函数.所以要使函数 h(x)h(a)在1e,e上恒成立,则 0a1e或 ae.综上可得,a1e或 ae.(2)f(x)=ax-(a2+1)+=2-(2+1)x+a=(-1)(-).由 f(x)=0 得 x=a 或1.当 0a12时,f(x)0,f(x)在1,2上单调递减,所以 f(x)min=f(2)=2a-2(a2+1)+aln 2,f(x)max=f(1)=
69、12a-(a2+1).当12a35时,1x1,f(x)0;10.所以f(x)min=f(1)=-a-12-aln a,f(2)-f(1)=32a-(a2+1)+aln 2.设 h(x)=32x-(x2+1)+xln 2,12x35,则 h(x)=32-2x+ln 2.因为120,所以 h(x)在(12,35上单调递增.所以 h(x)max=h(35)=3235-(35)2+1+35ln 2=910-3425+35ln 2-1250,所以 f(2)f(1),所以 f(x)max=f(1)=12a-(a2+1).综上可得,当 0a12时,f(x)min=2a-2(a2+1)+aln 2,f(x)m
70、ax=12a-(a2+1);当12a35时,f(x)min=-a-12-aln a,f(x)max=12a-(a2+1).【视角拓展 2】利用导数研究函数的零点 方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,刻画出函数的图象,通过数形结合直观求解.2 已知函数 f(x)=ax-1+ln x,其中 a 为常数.(1)当 a(-,-1e)时,若 f(x)在区间(0,e)上的最大值为-4,求 a 的值;(2)当 a=-1e时,若函数 g(x)=|f(x)|-ln-2存在零点,求实数 b的取值范围.【解析】(1)由题意得 f(x)
71、=a+1,令 f(x)=0,解得 x=-1,因为 a(-,-1e),所以 0-10 解得 0 x-1,由f(x)0 解得-1x0,当 a=-1e时,f(x)=-e-1+ln x,所以 f(x)=-1e+1=-ee.当 0 x0;当 xe 时,f(x)0.所以 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+),所以 f(x)max=f(e)=-1,所以|f(x)|1.令 h(x)=ln+2,则 h(x)=1-ln2.当 0 x0;当 xe 时,h(x)0),则f(x)=-e2(x0),当 x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(e,+)上单调递增.当 x=e 时,f(x)取得极小值
72、f(e)=ln e+ee=2,f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)=f(x)-3=1-2-3(x0),令 g(x)=0,得 m=-13x3+x(x0).设(x)=-13x3+x(x0),则(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).当 x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当 x(1,+)时,(x)23时,函数 g(x)无零点;当 m=23时,函数 g(x)有且只有一个零点;当 0m23时,函数 g(x)无零点;当 m=23或 m0 时,函数 g(x)有且只有一个零点;当 0m0,f(x)e-2+12+x 恒成立.【解析】(1)由f(x)=ln+2e 得f(x)=1
73、-2-lne,x(0,+),曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 f(1)=-1e.f(1)=2e,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-2e=-1e(x-1),即 y=-1ex+3e.(2)由 f(x)=0 得 k=1-ln,令 F(x)=1-ln,则 F(x)=-+12.0 x1,F(x)0,g(x)e-2+1 等价于 1-x-xln x0,h(x)单调递增;当 x(e-2,+)时,h(x)0,(x)单调递增,(x)(0)=0,故当 x(0,+)时,(x)=ex-(x+1)0,即e+11,1-x-xln xe-2+10,f(x)0.当 2a+10,即 a-12
74、时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当 02a+11,即-12a1,即 a0 时,函数 f(x)在(1,2a+1)上单调递减,在(0,1),(2a+1,+)上单调递增.(3)由(2)可得,当 a32,52时,函数 f(x)在1,2上单调递减.若 x1=x2,则不等式|f(x1)-f(x2)|11-12|对任意正实数恒成立,此时(0,+).若 x1x2,不妨设 1x1f(x2),1112,原不等式即为 f(x1)-f(x2)(11-12),即 f(x1)-1f(x2)-2对任意的 a32,52,x1,x21,2恒成立.设 g(x)=f(x)-,则对任意的 a32,5
75、2,x1,x21,2,不等式g(x1)g(x2)恒成立,即函数 g(x)在1,2上为增函数.故 g(x)0 对任意的 a32,52,x1,2恒成立.g(x)=x-(2a+2)+2+1+20,即 x3-(2a+2)x2+(2a+1)x+0,即(2x-2x2)a+x3-2x2+x+0 对任意的 a32,52恒成立.由于x1,2,2x-2x20,故只要(2x-2x2)52+x3-2x2+x+0,即 x3-7x2+6x+0 对任意的 x1,2恒成立.令 h(x)=x3-7x2+6x+,x1,2,则 h(x)=3x2-14x+6log3b”是“(12)alog3b,得 ab0,从而(12)a(12)b,
76、故为充分条件;又由(12)ab,但当a0,b 0,且 f(a)=-2,则 f(7-a)=().A.-log37 B.-34 C.-54 D.-74【解析】当 a0 时,2a-2=-2 无解;当 a0 时,由-log3a=-2,解得 a=9.所以 f(7-a)=f(-2)=2-2-2=-74,故选 D.【答案】D 4.已知二次函数 f(x)=x2-bx+a 的部分图象如图所示,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的区间是().A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】由函数 f(x)的图象可知,0f(0)=a1,f(1)=1-b+a=0,所以 1b0,即 g(x)在
77、R 上单调递增.又g(0)=1-b0,故由函数的零点存在性定理可知,函数 g(x)的零点所在的区间是(0,1).【答案】B 5.若存在正数 x 使 2x(x-a)1 成立,则实数 a 的取值范围是().A.R B.(-2,+)C.(0,+)D.(-1,+)【解析】2x(x-a)x-12.令 f(x)=x-12,则f(x)=1+2-xln 20,f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)f(0)=0-1=-1,实数 a 的取值范围是(-1,+).【答案】D 6.若 x,y 满足约束条件 +1,-1,2-2,且目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是().A.-4
78、,2 B.(-4,2)C.-4,1 D.(-4,1)【解析】画出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示.直线 z=ax+2y的斜率为 k=-2,从图中可看出,当-1-22,即-4a2时,仅在点(1,0)处取得最小值.【答案】B 7.函数 f(x)=2|log2x|-|x-1|的图象大致为().【解析】由题设条件,当 x1 时,f(x)=2log2x-(x-1)=1;当0 x1 时,f(x)=2-log2x-(1-x)=1-(1-x)=x.故 f(x)=1,x 1,0 0,b0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,若t=ab,则 t 的最大值为().A.2 B.3
79、C.6 D.9【解析】f(x)=4x3-ax2-2bx+2,f(x)=12x2-2ax-2b.又f(x)在 x=1 处有极值,f(1)=12-2a-2b=0a+b=6.a0,b0,a+b2,ab9,当且仅当 a=b=3 时等号成立.【答案】D 9.直线 y=a 分别与直线 y=2(x+1),曲线 y=x+ln x 交于点 A,B,则|AB|的最小值为().A.3 B.2 C.3 24 D.32【解析】解方程 2(x+1)=a,得 x=2-1.设方程 x+ln x=a 的根为 t(t0),则 t+ln t=a,则|AB|=|t-2+1|=|t-+ln2+1|=|2-ln2+1|.设 g(t)=2
80、-ln2+1(t0),则 g(t)=12-12=-12(t0).令 g(t)=0,得 t=1.当 t(0,1)时,g(t)0.所以 g(t)min=g(1)=32,所以|AB|32,所以|AB|的最小值为32.【答案】D 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分.10.若函数 f(x)=2-5x,x 0,-2+ax,x 0 时,0f(x)=2+1-12(当且仅当 x=1 时,等号成立),其值域为0,2,故正确.【答案】三、解答题:本题 12 分.13.已知函数 f(x)=ln x-ax+,对任意的 x(0,+),满足f(x)+f(1)=0,其中 a,b 为常数.(1)若 f
81、(x)的图象在 x=1 处的切线经过点(0,-5),求 a 的值.(2)已知 0a0.(3)当 f(x)存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围.【解析】(1)在 f(x)+f(1)=0 中,取 x=1,得 f(1)=0.又 f(1)=ln 1-a+b=-a+b=0,所以 b=a.从而 f(x)=ln x-ax+,f(x)=1-a(1+12),所以 f(1)=1-2a.又 f(1)=-5-(1)0-1=5,所以 1-2a=5,所以 a=-2.(2)f(22)=ln22-32+2=2ln a+2-32-ln 2,0a1.令 g(x)=2ln x+2-32-ln 2,则 g(x)=2-22-322
82、=-34+4(x-1)22.所以当 x(0,1)时,g(x)g(1)=2-12-ln 21-ln e=0,所以当 0a0.(3)f(x)=1-a(1+12)=-2+x-a2.当 a0 时,在(0,+)上,f(x)0,f(x)单调递增,所以 f(x)至多只有一个零点,不合题意;当 a12时,在(0,+)上,f(x)0,f(x)单调递减,所以 f(x)至多只有一个零点,不合题意;当 0a12时,令 f(x)=0,得 x1=1-1-4221.此时,f(x)在(0,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,+)上单调递减,所以 f(x)至多有三个零点.因为 f(x)在(x1,1)上单调递
83、增,所以 f(x1)0,所以x0(22,x1),使得 f(x0)=0.因为 f(10)=-f(x0)=0,f(1)=0,所以 f(x)恰有三个不同的零点:x0,1,10.综上所述,当 f(x)存在三个不同的零点时,a 的取值范围是(0,12).限时训练卷 2(满分:60 分 时间:40 分钟)一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 4 分,共 36 分.1.如果12(12)b(12)a1,那么().A.aaabba B.aabaab C.abaaba D.abbaaa【解析】当 0a1 时,函数 y=ax在 R 上单调递减,可知函数y=(12)x在 R 上单调递减,故由12(12)b(12)a
84、1,可得 0ab1,从而有abaaba.【答案】C 2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且 x(-1,0)时,f(x)=2x+15,则 f(log220)=().A.1 B.45 C.-1 D.-45【解析】由 f(x-2)=f(x+2)可得 f(x)=f(x+4).因为4log2205,所以 0log220-41,-14-log2200,所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log245)=-1.【答案】C 3.曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a的
85、值为().A.2 B.-2 C.12 D.-12【解析】依题意得 y=1+ln x,y|x=e=1+ln e=2,所以(-1)2=-1,解得 a=2.【答案】A 4.若 S1=211 d,2=21ln+1)d,3=21d,则 S1,S2,S3的大小关系为().A.S1S2S3 B.S2S1S3 C.S1S3S2 D.S3S1S2【解析】如图,分别画出对应图形,比较围成图形的面积,易知选 A.【答案】A 5.已知当 x0 恒成立,则 m 的取值范围为().A.2 2,+)B.(-,2 2 C.(-2 2,+)D.(-,-2 2)【解析】由 2x2-mx+10,得 mx2x2+1.因为 x22+1
86、=2x+1.而 2x+1=-(-2x)+1(-)-2(-2)1(-)=-2 2,当且仅当-2x=-1,即 x=-22 时取等号.所以 m-2 2.【答案】C 6.若 x,y 满足不等式组 +2-2 0,-+1 0,3+-6 0,则 2+2的最小值是().A.2 35 B.2 55 C.45 D.1 【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,2+2表示原点(0,0)到此区域内的点 P(x,y)的距离.显然该距离的最小值为原点到直线 x+2y-2=0 的距离,故最小值为|0+0-2|12+22=2 55.【答案】B 7.对于函数 f(x),使 f(x)n 成立的所有常数 n 中,我们把
87、n 的最小值 G 叫作函数 f(x)的上确界.则函数 f(x)=2-,x 0,log12(12-x),x 0,故可排除 A 选项.由于函数f(x)在区间(0,2)上先增后减,而函数 y=xsin x 在(0,2)上单调递增(因为 y=x 及 y=sin x 均在(0,2)上单调递增,且函数取值恒为正),故排除 C 选项.对于函数 y=x2-16x4,y=2x-23x3=23x(3-x2),当 x(0,2)时,y=23x(3-x2)0,故 y=x2-16x4在区间(0,2 上单调递增,与图象不符,故排除 D 选项.【答案】B 9.已知偶函数 f(x)(x0)的导函数为 f(x),且满足 f(1)
88、=0,当x0 时,xf(x)0 成立的 x 的取值范围是().A.(-,-1)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-1,0)(0,1)【解析】根据题意,设函数 g(x)=()2(x0),当 x0时,g(x)=()-2()3 0,(13),x 0,则不等式 f(x)1 的解集为 .【解析】当 x0 时,由 log3x1 得 x3;当 x0 时,由(13)x1 得 x0.不等式 f(x)1 的解集为(-,03,+).【答案】(-,03,+)12.已知函数 f(x)=x-1+1,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意 x10,1,存在 x21,2,使 f(x1)g(x
89、2),则实数 a 的取值范围是 .【解析】由于 f(x)=1+1(+1)20,因此函数 f(x)在0,1上单调递增,所以当 x0,1时,f(x)min=f(0)=-1.由题意可知,存在x1,2,使得 g(x)=x2-2ax+4-1,即 x2-2ax+50,即 a2+52能成立.令 h(x)=2+52,则要使 ah(x)在 x1,2上能成立,只需使ah(x)min.又函数 h(x)=2+52在 x1,2上单调递减,所以h(x)min=h(2)=94,故只需 a94.【答案】94,+)三、解答题:本题 12 分.13.已知函数 f(x)=e-x-ax(xR).(1)当 a=-1 时,求函数 f(x
90、)的最小值;(2)若当 x0 时,f(-x)+ln(x+1)1,求实数 a 的取值范围.【解析】(1)当 a=-1 时,f(x)=e-x+x,则 f(x)=-1e+1.令 f(x)=0,得 x=0.当 x0 时,f(x)0 时,f(x)0.函数 f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.当 x=0 时,函数 f(x)取得最小值,其最小值为 f(0)=1.(2)当 x0 时,f(-x)+ln(x+1)1,即 ex+ax+ln(x+1)-10.(*)令 g(x)=ex+ax+ln(x+1)-1,则 g(x)=ex+1+1+a.若 a-2,由(1)知 e-x+x1,即 e-x1-x,故
91、 ex1+x.g(x)=ex+1+1+a(x+1)+1+1+a2(+1)1+1+a=2+a0(当且仅当 x+1=1,即 x=0 时取等号).函数 g(x)在0,+)上单调递增.g(x)g(0)=0.(*)式成立.若 a-2,令(x)=ex+1+1+a,x0,则(x)=ex-1(+1)2=(+1)2e-1(+1)20.函数(x)在0,+)上单调递增.由于(0)=2+a0,故x0(0,-a),使(x0)=0.则当 0 xx0时,(x)(x0)=0,即 g(x)0.函数 g(x)在(0,x0)上单调递减.g(x0)g(0)=0,即(*)式不恒成立.综上所述,实数 a 的取值范围是-2,+).(满分:
92、150 分 时间:120 分钟)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.1.已知集合 A=x|lg(x-2)1,集合 B=x|122x8,则 AB 等于().A.(2,12)B.(-1,3)C.(2,3)D.(-1,12)【解析】A=x|lg(x-2)1=x|2x12,B=x|122x8=x|-1x3,AB=x|2x3.【答案】C 2.若复数 z=a2-1+(a+1)i(aR)是纯虚数,则1+的虚部为().A.-25 B.-25i C.25 D.25i【解析】由题意得 2-1=0,+1 0,所以 a=1,所以1+=11+2i=1-2i(1+2i)(1-2i)=15-25
93、i.由虚部的概念,可知1+的虚部为-25.【答案】A 3.登山族为了了解某山不同高度 y(km)处与气温 x()之间的关系,随机统计了 4 次不同高度与相应的气温,并制作了对照表:气温 x()18 13 10-1 高度 y(km)24 34 38 64 由表中数据,得到线性回归方程y=-2x+a(aR),由此请估计出高度为 72 km 处气温的度数为().A.-10 B.-8 C.-4 D.-6【解析】由题意可得x=10,y=40,所以a=y+2x=40+210=60.所以y=-2x+60.当y=72 时,有-2x+60=72,解得 x=-6.【答案】D 4.已知 O 为坐标原点,A(1,2)
94、,点 P 的坐标(x,y)满足约束条件 +|1,0,则 z=的最大值为().A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】画出点 P 满足的可行域(图略),z=x+2y,显然在点(0,1)处,z 取得最大值,zmax=2.【答案】D 5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出 k 的值是 6,则满足条件的整数 S0的个数是().A.31 B.32 C.63 D.64【解析】输出 k 的值为 6 说明最后一次参与运算的 k 的值为 5,所以 S=S0-20-21-22-23-24-25=S0-63,上一个循环S=S0-20-21-22-23-24=S0-31,所以 310 且 a1)的图象恒过定点
95、P,若角的终边过点 P,则 cos2+sin 2的值等于().A.-12 B.12 C.710 D.-710【解析】由条件可知,点 P 的坐标为(-1,3),则 sin=3 10,cos=-1 10,故 cos2+sin 2=cos2+2sin cos=110-610=-12.【答案】A 7.设椭圆的方程为22+22=1(ab0),右焦点为 F(c,0)(c0),方程ax2+bx-c=0 的两个实根分别为 x1,x2,则 P(x1,x2)所表示的区域是().A.圆 x2+y2=2 内部 B.圆 x2+y2=2 外部 C.圆 x2+y2=1 外部 D.圆 x2+y2=1 与圆 x2+y2=2 形
96、成的圆环之间【解析】由已知得x1+x2=-,x1x2=-,12+22=(x1+x2)2-2x1x2=22+22 2+22=1+e21.又22+22 2+2+22=2,所以 112+2212),当 x(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于().A.14 B.13 C.12 D.1【解析】f(x)是奇函数,f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当 x(0,2)时,f(x)=1-a.令 f(x)=0 得 x=1.又a12,010,则 x1,f(x)在(0,1)上单调递增;令 f(x)1,f(x)在(1,2)上单调递减.f(x)max=f(1)=ln1-a1=-1,ln1=0,得 a
97、=1.【答案】D 11.已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且F1PF2=3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为().A.4 33 B.2 33 C.3 D.2【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1和 e2.由(2c)2=12+22-2r1r2cos3,得 4c2=12+22-r1r2.由 1+2=21,1-2=22,得 1=1+2,2=1-2,11+12=1+2=1.令 m=122=41212+22-12=41+(21)2-21=4(21
98、-12)2+34,当21=12时,mmax=163,(1)max=4 33,即11+12的最大值为4 33.【答案】A 12.已知 a,bR,且 ex+1ax+b 对 xR 恒成立,则 ab 的最大值是().A.12e3 B.22 e3 C.32 e3 D.e3【解析】由题意知 a0.当 a=0 时,b0,此时,ab 的最大值为0.当a0时,由题意得axex+1-b对xR恒成立,设直线y=ax与曲线 y=ex+1-b 相切的切点为(x0,e0+1-b).又 y=ex+1,则a=e0+1x0=ln a-1,所以 a-b=a(ln a-1)b=2a-aln a,所以ab=2a2-a2ln a.设f
99、(a)=2a2-a2ln a,则f(a)=3a-2aln a.令f(a)=0,得a=e32,可判断 f(a)在 a=e32处有最大值,所以 ab 的最大值是 2(e32)2-(e32)2ln(e32)=2e3-32e3=12e3.综上所述,ab 的最大值是12e3.【答案】A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知平面向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,ab=-3,则|a+2b|=.【解析】|a+2b|=2+4ab+42=7.【答案】7 14.已知抛物线 y2=2px(p0)上一点 M(1,m)到其焦点的距离为 5,双曲线x2-2=1(a0)的左顶点为A
100、,若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直,则实数 a=.【解析】根据抛物线的焦半径公式得 1+2=5,p=8.y2=16x.点 M 在抛物线上,m=4.当 m=4 时,M(1,4).由题意知 A(-1,0),则直线 AM 的斜率为 2.由已知得(-)2=-1,解得a=14.同理可得,当 m=-4 时,a=14.【答案】14 15.一个几何体的三视图如图所示,其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积等于 .【解析】观察三视图可知,该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体,圆锥底面半径为 2,四棱锥底面边长分别为 3,4,它们的高均为 42-(42)2=2 3,所以该几何体的体积为123
101、222 3+13432 3=4 33+8 3.【答案】4 33+8 3 16.设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0D,使f(x0)=-x0,则称 x0是 f(x)的一个“次不动点”,也称 f(x)在区间 D上存在“次不动点”.若函数 f(x)=ax2-3x-a+52在区间1,4上存在“次不动点”,则实数 a 的取值范围是 .【解析】设 g(x)=f(x)+x,依题意,存在 x1,4,使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+52=0.当 x=1 时,g(1)=120;当 x1 时,由ax2-2x-a+52=0,得 a=4-52(2-1).记 h(x)=4-52(2-1
102、)(10;当 x(2,4)时,h(x)0).依题意有D(0,0,0),C(0,0,m),P(0,2,0),Q(1,1,0),B(1,0,m),则 =(1,0,0),=(-1,2,-m),=(1,-1,0).设 n1=(x1,y1,z1)是平面 PBC 的法向量,则 1 =0,1 =0,即 1=0,-1+21-m1=0,可取 n1=(0,m,2).设 n2=(x2,y2,z2)是平面 PBQ 的法向量,则 2 =0,2 =0,即-2+22-m2=0,2-2=0,可取 n2=(m,m,1).又二面角 Q-BP-C 的余弦值为-35,|cos|=|-35|.2+2 2+4 22+1=35,整理得 m
103、4+7m2-8=0.m0,m=1,因此,所求的值为 1.20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 过点 M(1,62),点 F(-2,0)是椭圆的左焦点,点 P,Q 是椭圆 C 上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一定点 A.【解析】(1)设椭圆 C 的方程为22+22=1(ab0).由已知得 12+642=1,2-2=2,解得 2=4,2=2.椭圆 C 的标准方程为24+22=1.(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由椭圆 C 的标准方程为24+22=1,可知|PF|=(1+2)2+12=(
104、1+2)2+2-122=2+22 x1.同理可得,|QF|=2+22 x2.|MF|=(1+2)2+(62)2=2+22.2|MF|=|PF|+|QF|,2(2+22)=4+22(x1+x2),x1+x2=2.当 x1x2时,由 12+212=4,22+222=4,得12-22+2(12-22)=0,1-21-2=-121+21+2.设线段 PQ 的中点为 N(1,n),由 kPQ=1-21-2=-12,得线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1),即(2x-1)n-y=0,则该直线恒过一定点 A(12,0).当 x1=x2时,P(1,-62),Q(1,62)或 P(1,62),Q
105、(1,-62).线段 PQ 的垂直平分线是 x 轴,也过点 A(12,0).综上可得,线段 PQ 的垂直平分线过定点 A(12,0).21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex-ax(aR,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)若 a=1,函数 g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x 在(2,+)上为增函数,求实数 m 的取值范围.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为 R,f(x)=ex-a.当 a0 时,f(x)0,f(x)在 R 上为增函数;当 a0 时,由 f(x)=0 得 x=ln a,则当 x(-,ln a)时,f(x)0,函数 f(x)
106、在(ln a,+)上为增函数.(2)当 a=1 时,g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x.g(x)在(2,+)上为增函数,g(x)=xex-mex+m+10 在(2,+)上恒成立,即 me+1e-1 在(2,+)上恒成立.令 h(x)=e+1e-1,x(2,+),则 h(x)=(e)2-xe-2e(e-1)2=e(e-x-2)(e-1)2.令 L(x)=ex-x-2,则 L(x)=ex-10 在(2,+)上恒成立,L(x)=ex-x-2 在(2,+)上为增函数,L(x)L(2)=e2-40,h(x)0.即 h(x)=e+1e-1 在(2,+)上为增函数,h(x)h(2)=2e2+1
107、e2-1,m2e2+1e2-1.请在第 22 题、第 23 题中任选一题作答,若多做,则按第一题计分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C(2,4),半径 r=3.(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)若0,4,直线 l 的参数方程为 =2+cos,=2+sin(t 为参数),直线 l 交圆 C 于 A、B 两点,求弦长|AB|的取值范围.【解析】(1)由 C(2,4),得圆心 C 的直角坐标为(1,1),所以圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.由 =cos,=sin,得圆 C 的极坐标方程为2-2cos-2sin
108、-1=0.(2)将 =2+cos,=2+sin 代入圆 C 的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,得 t2+2(cos+sin)t-1=0,则0.设 A,B 对应参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=-2(cos+sin),t1t2=-1,|AB|=|t1-t2|=(1+2)2-412=8+4sin2.因为0,4,所以 sin 20,1,所以 8+4sin 28,12,所以|AB|的取值范围为2 2,2 3.23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|2x+1|-|x-1|log2a(其中 a0).(1)当 a=4 时,求不等式的解集;(2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.【解析】(1)当 a=4 时,原不等式为|2x+1|-|x-1|2.当 x-12时,-x-22,解得-4x1 时,x0,此时 x 不存在.不等式的解集为x|-4x23.(2)由题意知 f(x)=|2x+1|-|x-1|=-2,1.故 f(x)-32,+),即 f(x)的最小值为-32.若 f(x)log2a 有解,则 log2a-32,解得 a 24,即 a 的取值范围是 24,+).
