1、正切函数的性质与图象 A 级 新教材落实与巩固 一、选择题 1函数 f(x)tan x25 的一个对称中心是(C)A(0，0)B25，0 C35，0 D(，0)【解析】因为 f35 tan 35 25 tan 0，所以35，0 是 f(x)的一个对称中心 2下列各式中正确的是(B)Atan 135tan 80 Btan 5 tan 6 Ctan 7 tan 8 Dtan 25 0，tan 1350，所以选项 A 错误；由 ytan x 在2，2 上单调递增知，选项 B 正确，选项 C 错误；tan 85 tan 35 tan 35 ，由 tan 35 0tan 85 ，所以选项 D 错误 3下
2、列函数中，在0，2 上单调递增，且以为周期的偶函数是(B)Aytan|x By|tan x Cy|sin 2x Dycos 2x【解析】作出 ytan|x|的图象(图略)，可知 ytan|x 不是周期函数；y|sin 2x 在0，2 上不单调递增；ycos 2x 在0，2 上单调递减；根据 y|tan x|的图象可知，y|tan x 符合题意 4方程 tan 2x3 3 在区间0，2)上的解的个数是(B)A5 B4 C3 D2【解析】由 tan 2x3 3，得 2x3 3 k，kZ，所以 xk2 ，kZ，又 x0，2)，所以 x0，2 ，32 ，故选 B.5下列关于函数 ytan x3 的说法
3、正确的是(B)A在区间6，56 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于点4，0 成中心对称 D图象关于直线 x6 成轴对称【解析】令 k2 x3 k2 ，解得 k56 xk6 ，kZ，显然6，56 不满足上述关系式，故选项 A 错误；易知该函数的周期为 T1 ，故选项 B 正确；令 x3 k2 ，解得 xk2 3 ，kZ，任取 k 的值不能得到 x4 ，故选项 C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数 ytan x3 的图象也没有对称轴，故选项 D 错误 6【多选题】已知函数 f(x)tan x，对任意 x1，x22，2 (x1x2)，给出下列结论，正确的是(AC)Af(x1)f(x1)Bf
4、(x1)f(x1)Cf（x1）f（x2）x1x2 0 Dfx1x22 f（x1）f（x2）2(x1x20)【解析】对于 A，由于 f(x)tan x 的周期为，所以 A 项正确；对于 B，函数 f(x)tan x 为奇函数，所以 B 项不正确；对于 C，式子f（x1）f（x2）x1x2 0 说明函数单调递增，而 f(x)tan x 在区间2，2 上单调递增，所以 C 项正确；对于 D，由函数 f(x)tan x 的图象可知，函数在区间2，0 上有 fx1x22 f（x1）f（x2）2，在区间0，2 上有 fx1x22 f（x1）f（x2）2，所以 D 项不正确综上可知，正确的为 AC.二、填空
5、题 7函数 ytan 2x4 的最小正周期为_2 _，图象的对称中心为_k4 8，0 (kZ)_【解析】周期 T2 ；由 2x4 k2 (kZ)得 xk4 8 (kZ)，对称中心为k4 8，0 (kZ).8函数 y tan x cos x 的定义域为_x2k2 x2k，kZ _.【解析】由题意得tan x0，cos x0，所以 2k2 x2k，kZ，所以函数 ytan x cos x 的定义域为x2k2 x2k，kZ.9函数 ytan 2x3 的单调递增区间是_k2 512，k2 12 (kZ)_.【解析】令 k2 2x3 k2 (kZ)，解得k2 512 xk2 12，kZ 10已知函数 y
6、tan2x4tanx1，x4，4 ，则当 x_4 _时，函数取得最大值为_4_【解析】因为4 x4 ，所以1tan x1.令 tan xt1，1，所以 yt24t1(t2)25，故当 t1，即 x4 时，ymax4.11函数 y|tan x|，ytan x，ytan(x)，ytan|x|在32，32 上的大致图象依次是_(填序号).【解析】|tan x|0，图象在 x 轴上方，y|tan x|对应；tan|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，ytan|x|对应；而 ytan(x)与 ytan x 的图象关于y 轴对称，ytan(x)对应；ytan x 对应，故四个图象依次是.三、解答题 12设
7、函数 f(x)tan x23 .(1)求函数 f(x)的定义域；(2)求不等式 f(x)3 的解集 解：(1)由函数 f(x)tan x23 ，得x2 3 k2 ，kZ，解得 x2k53 ，kZ，故函数 f(x)的定义域为xx2k53，kZ.(2)因为 f(x)3，即 tan x23 3，所以 k2 x2 3 k3 ，kZ，解得 2k3 x2k43 ，kZ，故不等式 f(x)3 的解集为2k3，2k43，kZ B 级 素养养成与评价 13函数 ytan xsin x|tan xsin x|在区间2，32 内的图象是(D)【解析】当2 x时，tan xsin x，y2tan x0；当 x时，y0
8、；当x32 时，tan xsin x，y2sin x故选 D.14若 tan xtan 5 ，且 x 在第三象限，则 x 的取值范围是_2k65，2k32(kZ)_【解析】因为 tan xtan 5 tan 65 ，又 x 为第三象限角，所以 2k65 x2k32 (kZ).15已知函数 f(x)tan x4 .(1)求 f(x)的定义域；(2)设(0，)，且 f()2cos 4 ，求 的值 解：(1)由 x4 k2 ，kZ 得 xk4 ，kZ 所以函数 f(x)的定义域是xxk4，kZ.(2)依 题 意 得tan 4 2cos 4 2cos 4 2cos 2 4 ，所以sin 4cos 4
9、2sin 4 ，整理得 sin 4 2cos 4 1 0，所以 sin 4 0 或 cos 4 12.因为(0，)，所以4 4，54，由 sin 4 0，得 4 ，34 ，由 cos 4 12，得 4 3 ，12，所以 12 或 34.16已知函数 f(x)tan 2x3 .(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)是奇函数，则 应满足什么条件？求出满足|2 的 值 解：(1)方法一：因为正切函数的周期是.所以 ytan 2x3 的周期是 T2 .方法二：由诱导公式知，tan 2x2 3 tan 2x3 ，即 fx2 f(x)，所以 f(x)的周期是2 .(2)因为 f(x)tan 2x3 2 是奇函数，所以 f(x)f(x)，即 tan 2x3 2 tan 2x3 2 ，所以 tan 3 2 tan 3 2 ，即3 23 2k，kZ 所以 k4 6 (kZ).令k4 6 2 (kZ)，解得43 k83，kZ 所以 k1，0，1，2.从而得 512 ，6 ，12，3 .
