1、第六章 圆中考数学教材基础练 第19节 圆的基本性质 知识点68 垂径定理及其推论 教材变式 1.北师九下P76习题第2题,2022武汉江汉区期中如图,O的半径为5,弦AB的长为8,P为弦AB上的动点,则线段OP长的取值范围是()A.3OP5B.3OP5C.4OP5D.4OP5答案1.B 如图,过点O作OHAB于点H,连接OB,则AH=HB=12AB=4.在RtOBH中,OH=22=5242=3,线段OP长的取值范围是3OP5.教材变式 2.人教九上P122第1题如图,已知OB为O的半径,且OB=10 cm,弦CDOB于点M,连接OC.若OMMB=41,则CD的长为()A.12 cmB.6 c
2、mC.8 cmD.16 cm答案2.A OMMB=41,OB=10 cm,OM=45OB=8 cm,CM=22=10282=6(cm).弦CDOB,CD=2CM=12 cm.故选A.教材变式 3.人教九上P89第8题,2022福州晋安区期中圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显中国元素的韵味.如图是一款拱门屏风的示意图,其中拱门屏风最下端AB=18分米,C为AB的中点,D为拱门屏风最高点,圆心O在线段CD上,CD=27分米,则拱门屏风所在圆的半径是 分米.答案3.15 连接AO,CD过圆心,C为AB的中点,CDAB.AB=18,AC=BC=9.设O的半径为x分米,则OA
3、=OD=x.CD=27,OC=27-x.在RtOAC中,AC2+OC2=OA2,92+(27-x)2=x2,x=15,拱门屏风所在圆的半径是15分米.【关键】利用勾股定理构造方程教材变式 4.人教九上P90第9题如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.(1)求证:AC=BD;(2)连接OA,OC,若OA=6,OC=4,OCD=60,求AC的长.答案4.【参考答案】(1)证明:如图,过点O作OHCD于点H.OHCD,CH=DH,AH=BH,AH-CH=BH-DH,AC=BD.(2)如图,连接OD.OC=OD,OCD=60,OCD是等边三角形,CD=OC=4,CH=12
4、CD=2,OH=22=4222=2 3,AH=22=2 6,AC=AH-CH=2 6-2.【关键】垂直于弦的直径平分弦一题多练 5.2022杭州西湖区期中改编如图(1),在O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EGAB于点C,FHAB于点D,点E,G,F,H在O上.【基础设问】(1)(计算圆的半径)若EG=8,AC=2,求O的半径.(2)(证明弧相等)求证:=.(3)若C,D分别为OA,OB的中点,则=成立吗?请说明理由.(4)(求弓形面积)若 所对的圆心角度数为45,CO=2,求弓形GAE的面积.【补充设问】(5)如图(2),AB,CD分别是O的两条弦,=.求证:ABCD.一题多练
5、答案5.【参考答案】(1)如图(1),连接EO.设O的半径为r,EGAB,CE=CG=12EG=4.AC=2,OC=r-2.在RtCEO中,OE2=CE2+OC2,r2=42+(r-2)2,解得r=5,O的半径为5.(2)如图(1),连接OF.AC=BD,OA=OB,OC=OD.在RtCOE和RtDOF中,OE=OF,OC=OD,RtCOERtDOF,AOE=BOF,=.【点拨】在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等一题多练 答案(3)=成立.理由:连接OE,OF,C,D分别为OA,OB的中点,OC=12OA=12OE,cosAOE=12,AOE=60.同理可得BOF=60,EOF=60,=.(4
6、)如图(1),连接OG,由题意得,COE=45,EOG=90.CO=2,EC=GC=CO=2,EO=2 2,S弓形GAE=S扇形EOG-SEOG=90(2 2)2360 1242=2-4.【技巧】和差法一题多练 答案(5)如图(2),过点O向AB作垂线,交AB于点E,交CD于点F,交O于点G,连接OC,OD.OEAB,=.=,=,=,COG=DOG.OC=OD,OCFODF,OFD=OFC=12180=90.OEB=90,OFD=OEB,ABCD.快解妙解(5)如图,连接AD.=,ADC=BAD,ABCD.【提示】同圆中,等弧所对的圆周角相等知识点69 圆周角定理及其推论 教材变式 1.华师九
7、下P45第6题,2022大连期末如图,O是ABC的外接圆,BOC=120,则BAC的度数是()A.70B.60C.50D.30答案1.B O是ABC的外接圆,BOC=120,BAC=12BOC=12120=60.教材变式 2.人教九上P89第5题,2022十堰期末如图,点A,B,C,D都在O上,OABC,OBC=40,则ADC的度数为()A.40B.30C.25D.50答案2.C OABC,=.OBC=40,AOB=50,ADC=12AOB=1250=25.教材变式 3.华师九下P45第2题已知O的直径是4,O上两点B,C分O所得的劣弧与优弧长度之比为13,则弦BC的长为 .答案3.2 2 结
8、合题意,得劣弧所对的圆心角的度数90,优弧所对的圆心角度数是270.O的直径是4,O的半径是2,BC=2 2.教材变式 4.北师九下P82议一议(1),2022大同期中如图,AB为O的直径,C为O上一点,ACB的平分线CD交O于点D,连接AD,BD,判断ABD的形状,并说明理由.答案4.【参考答案】ABD是等腰直角三角形.理由:AB是直径,ADB=90.CD平分ACB,ACD=BCD,=,AD=DB,ADB是等腰直角三角形.【注意】等弧所对的弦相等一题多练 5.如图,BC是O的直径,P为O上一点,点A是 的中点,ADBC,垂足为D,PB分别与AD,AC相交于点E,F,连接AB.【基础设问】(1
9、)若BAD=36,则ACB=,ABP=.(2)若AE=3,求BE的长.(3)判断BE与EF是否相等,并说明理由.【创新设问】(4)(证明等积式)求证:AB2=BDBC.答案5.【参考答案】(1)36 36解法提示:BC是O的直径,CAB=90,ABD+ACB=90.ADBC,ABD+BAD=90,ACB=BAD=36.一题多练 答案点A是 的中点,=,ABP=ACB=36.(2)由(1)得,ABP=ACB,BAD=ACB,ABP=BAD,BE=AE=3.(3)BE=EF.理由:BAC=90,BAF是直角三角形.BAD=ABP,且BAD+EAF=ABP+AFB=90,BE=AE,FAD=AFB,
10、EF=AE,BE=EF.(4)ACB=BAD,ABD=CBA,ADBCAB,=,AB2=BDBC.【题眼】证明等积式,联想相似知识点70 圆内接四边形的性质 教材变式 1.北师九下P83第3题如图,四边形ABCD内接于O,AC=12,则A的度数为()A.60B.45C.30D.80答案1.A 四边形ABCD内接于O,A+C=180.AC=12,A=60.教材变式 2.人教九上P90第14题,2022厦门集美中学一模如图,四边形ABCD内接于O,AB为直径,BC=CD,连接AC.若DAB=40,则D的度数为()A.70B.120C.140D.110答案2.D BC=CD,=.DAB=40,BAC
11、=12DAB=20.AB为O的直径,ACB=90,B=90-BAC=70.四边形ABCD内接于O,D=180-B=110.一题多解 连接OC,OD.BC=CD,=,BOC=DOC.DAB=40,OA=OD,ADO=DAB=40,DOB=DAB+ADO=80,DOC=12DOB=40.又OD=OC,ODC=OCD=12(180-DOC)=70,ADC=ADO+ODC=110.【提示】圆内接四边形的对角互补教材变式 3.人教九上P88第5题,2022北京西城区期中如图,四边形ABCD内接于O,点M在AD的延长线上,若CDM=71,则AOC=.答案3.142 四边形ABCD内接于O,B=CDM=71
12、,AOC=2B=142.教材变式 4.北师九下P84第3题,2022聊城期中如图,O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.(1)若E=F,求证:ADC=ABC.(2)若E=F=42,求A的度数.(3)若E=,F=,且,请你用含有,的代数式表示A的大小.教材变式 答案4.【参考答案】(1)证明:E=F,DCE=BCF,CDE=CBF,ADC=ABC.(2)ADC=ABC,ADC+ABC=180,ADC=ABC=90,A=90-F=90-42=48.(3)如图,连接EF,四边形ABCD为O的内接四边形,ECD=A.ECD=1+2,A=1+2.A+1+2+AEB+AFD=180,2A
13、+=180,即A=90-12(+).一题多练 5.原创如图,四边形ABCD是O的内接四边形,连接AC,BD.【基础设问】(1)(求角度)若=,ABD=33,ACB=44,则BAC=;求BAD的度数.(2)若ADB=60,=,请判断ABC的形状,并说明理由.(3)若AB=AC,BDAC,垂足为E,求证:BAC=2DAC.【补充设问】(4)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,DB平分ADC,连接OC,OCBD.若A=66,求ADB的度数.一题多练 答案5.【参考答案】(1)70=,CBD=ABD=33.DAC=CBD=33,BAD=BAC+DAC=70+33=103.(2)ABC是等边三角形.理
14、由:=,AC=BC.ADB=60,ACB=ADB=60,ABC是等边三角形.(3)证明:BDAC,AEB=BEC=90,ACB=90-CBD.AB=AC,ABC=ACB=90-CBD,一题多练 答案BAC=180-2ABC=2CBD.DAC=CBD,BAC=2DAC.(4)OCBD,=,BC=CD,BDC=CBD.四边形ABCD是O的内接四边形,BCD=180-A=114,BDC=12(180-114)=33.DB平分ADC,ADB=BDC=33.第20节 点、直线与圆的位置关系 知识点71 点、直线与圆的位置关系 教材变式 1.人教九上P92问题,2022金华期中已知O的半径为10 cm,点
15、P到点O的距离是8 cm,那么点P与O的位置关系是()A.点P在O的内部B.点P在O的外部C.点P在O上D.以上三种都有可能答案1.A O的半径为10 cm,点P到点O的距离是8 cm,83,直线与O相交,故直线l4符合题意.教材变式 3.北师九下P91习题第1题已知在RtABC中,C=90,AC=3 cm,BC=4 cm,给出下列结论:以点C为圆心,2.3 cm长为半径的圆与AB相离;以点C为圆心,2.4 cm长为半径的圆与AB相切;以点C为圆心,2.5 cm长为半径的圆与AB相交.则上述结论中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案3.D 由勾股定理,得AB=5 cm,由三角形的面
16、积公式可得,AB边上的高为2.4 cm.2.32.42.5,中的结论都正确.教材变式 4.人教九上P101第2题,2022南京六合区期中已知O的半径为3,点P是直线l上的一点,OP=3,则直线l与O的位置关系是 .答案4.相切或相交图示速解(分类讨论思想)如图(1),此时直线l与O的位置关系是相切;如图(2),此时直线l与O相交.综上,直线l与O的位置关系是相切或相交.【易错】易忽略相交的情况教材变式 5.人教九上P93思考,2022张掖甘州区期末如图,已知直线a和直线a外的两点A,B,经过点A,B作一个O,使它的圆心O在直线a上.答案5.【参考答案】连接AB,作出AB的垂直平分线交直线a于点
17、O,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,作图如下.一题多练 6.原创如图,RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,点O是AB的中点.【基础设问】(1)若以点O为圆心,以R为半径作O,且点A,B,C都在O上,则R=;(2)(点与圆的位置关系)若以点B为圆心,以R1为半径作B,且O,A,C三点中有两个点在B内,有一个点在B外,则R1的取值范围为 .(3)若以点C为圆心,r为半径画C.当C与斜边AB只有1个公共交点时,求r的取值范围;当C与斜边AB有2个公共交点时,直接写出r的取值范围;当C与斜边AB没有公共交点时,直接写出r的取值范围.【补充设问】(4)(与一次函数结合)在平面直角坐标系中,
18、点A(3,4),以点A为圆心,5为半径画圆,在同一坐标系中直线y=-x与A的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上情况都有可能一题多练 答案6.【参考答案】(1)2.5解法提示:如图,连接OC.ACB=90,AC=3,CB=4,AB=2+2=32+42=5.点A,B,C都在O上,R=OC=12AB=2.5.(2)4R15(3)(分类讨论思想)C=90,AC=3,BC=4,AB=32+42=5.当C与斜边AB相切时,12ABr=12ACBC,解得r=2.4;当点A在C内部,点B在圆上或圆外时,3r4.【技巧】等面积法一题多练 答案综上,3r4或r=2.4.2.4r3.0r4.(4)C图示
19、速解(4)如图,点A(3,4),AO=5.点A到直线y=-x的距离为AB的长,ABEQF,EPFEQF.故当球员在点P处射门时,进球的可能性最大.任务:(1)上面的证明过程中“依据1”和“依据2”分别是指.依据1:;依据2:.(2)如图(3),已知足球球门宽EF为5 2米,一名球员从距F点5 2米的L点(点L在直线EF上)出发,沿LR方向带球前进(0FLR90).求当球员到达最佳射门点P时,他前进的距离.答案7.【参考答案】(1)同弧所对的圆周角相等三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)如图,过点E,F作O,O与直线LR相切于点P,连接PO并延长交O于点W,连接PE,PF,WF.PL是O的切线,WPL=90,WPF+FPL=90.PW是O的直径,WFP=90,WPF+FWP=90,FPL=FWP.又PEF=FWP,FPL=PEF.又FLP=ELP,FLPPLE,=,即5 2=5 2+5 2,LP2=5 210 2=100,LP=10,即当球员到达最佳射门点P时,他前进了10米.
