1、第9讲 函数与导数 调研一 函数的性质 函数定义的注意问题(1)定义中最重要的是定义域和对应关系，值域是由两者确定，在求 f(x)类型的函数值时，应按先内后外的原则计算(2)判断两个函数是否相同，抓住两点：定义域是否相同，对应关系是否相同，解析式可以化简函数定义域(1)分式中，分母不为 0；(2)偶次方根中，被开方数非负；(3)对于 yx0，要求 x0；负指数的底数不为 0；(4)对数函数中，真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；(5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1；(6)正切函数 ytanx 要求 xk12，kZ.函数解析式根据函数结构掌握常见求解析式的方法：配凑法，待定系数法，换
2、元法，消元法分段函数的概念(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集(3)解决分段函数问题的注意事项：分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I，内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2定义当x1x2时，都有f(x1
3、)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图像描述(2)函数单调性的常用结论：若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y1f（x）的单调性相反；函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与yf（x）的单调性相同；奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反函数的奇偶性与对称性(1)偶函数和奇函数：偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有条件f(
4、x)f(x)f(x)f(x)定义结论函数f(x)叫作偶函数函数f(x)叫作奇函数图像特征图像关于y轴对称图像关于原点对称(2)奇偶函数的性质：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反在公共定义域内：A两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数B两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数C一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.(3)函数的对称性常见的结论：函数yf(x)关于x ab2对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊：函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；
5、函数yf(x)关于x0对称f(x)f(x)(即为偶函数)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函数yf(x)关于点(a，0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于(0，0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数)yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于点(a，0)对称函数周期性(1)周期函数的定义：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)常见的几个结论
6、：周期函数 yf(x)满足：若 f(xa)f(xa)，则函数的周期为 2a；若 f(xa)f(x)，则函数的周期为 2a；若 f(xa)1f（x），则函数的周期为 2a；函数 f(x)关于直线 xa 与 xb 对称，那么函数 f(x)的周期为 2|ba|；若函数 f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数 f(x)的周期是 2|ba|；若函数 f(x)关于直线 xa 对称，又关于点(b，0)对称，函数 f(x)的周期是 4|ba|；若函数 f(x)是偶函数，其图像关于直线 xa 对称，则其周期为 2a；若函数 f(x)是奇函数，其图像关于直线 xa 对称，则其周期为 4a.考
7、 向 调 研 考向一 函数三要素命题方向：1求定义域；2.求值域、函数值；3求范围、最值；4.求解析式(1)(2017济南一模)函数f(x)2x12 3x1 的定义域为_【审题】本题考查函数的定义域【解析】由题意得2x120，x10，解得x1，所以函数f(x)的定义域为(1，)【答案】(1，)【知识拓展】求解函数定义域问题主要注意偶次根号下的被开方数不小于零、对数的真数大于零，分式的分母不为零等(2)(2017上海十四校3月联考)函数f(x)2x234x，x(，1)的值域为_【审题】本题主要考查函数的值域【解析】f(x)2x234x322x42x3(2x23)243，因为x(，1)，所以2x(
8、0，2)，所以当2x23，即xlog223时f(x)取得最大值 43；当2x(0，23)，即x(，log223)时，f(x)0；当2x(23，2)，即x(log223，1)时，f(x)f(1)4，所以函数f(x)的值域为(4，43【答案】(4，43(3)(2016芜湖检测)设P(x，y)是函数f(x)图像上任意一点，且y2x2，则f(x)的解析式可以是()Af(x)x1x Bf(x)ex1Cf(x)x4xDf(x)tanx【解析】选项正误原因A当 x1 时，y0，y2x2 B当 x3 时，ye31，y2|x|，即|y|x|，故 y2x2 D当 x时，y2x2【答案】C(4)(2017山东)设
9、f(x)x，0 x1，2（x1），x1.若 f(a)f(a1)，则 f(1a)()A2 B4C6D8【解析】当0a1，f(a)a，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)，a 2a，解得a 14 或a0(舍去)f(1a)f(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解当a1时，a12，f(1)0，f(2)2，不符合题意，综上，f(1a)6.故选C.【答案】C1(1)(2017西城区二模)下列函数，值域为0，1的是()Ayx2BysinxCy1x21Dy 1x2答案 D解析 本题考查函数的值域A 中，yx20；B 中，1ysinx
10、1；C 中，00，则 f(14)_；方程 f(x)12的解是_答案 2 2或 1解析 f(14)log2142；当 x0 时，由 f(x)2x12，解得 x1.(3)(2017合肥质检二)对于函数 f(x)，如果存在 x00，使得f(x0)f(x0)，则称(x0，f(x0)与(x0，f(x0)为函数图像一组奇对称点若 f(x)exa(e 为自然对数的底数)的图像上存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是()A(，1)B(1，)C(e，)D1，)答案 B解析 因为存在实数 x0(x00)，使得 f(x0)f(x0)，则 ex0aex0a，即 ex0 1ex02a，又 x00，所以 2aex0 1e
11、x02ex0 1ex02，即 a1，故选 B.考向二 函数性质命题方向：1奇偶性；2.单调性；3周期、对称性(1)(2017东城区综合练习)下列函数中为奇函数的是()Ayxcosx ByxsinxCy xDye|x|【审题】本题考查奇函数【解析】在函数yxcosx中，当x3 时，y3 12，当x3 时，y3 12，所以函数yxcosx既不是奇函数也不是偶函数，排除A；函数yx 的定义域为0，)，所以函数yx 都既不是奇函数又不是偶函数，排除C；函数ye|x|是偶函数，排除D；函数yxsinx的定义域为R，且yx和ysinx均为奇函数，所以yxsinx是奇函数，故选B.【答案】B(2)(2017
12、山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x4)f(x)，当x2，0时，f(x)2x，则f(1)f(4)等于()A.32B32C1 D1【审题】本题考查函数的奇偶性、周期性等，意在考查考生的运算求解能力【解析】由f(x4)f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是定义在R上的偶函数，故f(4)f(0)1，f(1)f(1)，又12，0，所以f(1)21 12，所以f(1)12，f(1)f(4)32，选B.【答案】B(3)(2017课标全国)已知函数f(x)lnxln(2x)，则()Af(x)在(0，2)单调递增Bf(x)在(0，2)单调递减Cyf(x)的图像关于直线x1
13、对称Dyf(x)的图像关于点(1，0)对称【解析】方法1：由题易知，f(x)lnxln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性知，函数f(x)lnxln(2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(12)ln12ln(212)ln34，f(32)ln32ln(232)ln34，所以f(12)f(32)ln34，所以排除D，故选C.方法2：由题易知，f(x)lnxln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)1x 1x2 2（x1）x（x2），由f（x）0，0 x2，得0 x1；由f（x）0，0 x2，得1xf(2)，则
14、a的取值范围是()A(，3)B(0，3)C(3，)D(1，3)【审题】本题主要考查函数的奇偶性及单调性【解析】f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0上单调递增，f(x)在区间0，)上单调递减根据函数的对称性，可得f(2)f(2)，f(2log3a)f(2)2log3a0，f(x)在区间0，)上单调递减，02log3a2 log3a 12 0a 3，故选B.【答案】B(5)(2017郑州质量预测)设 x30.5，ylog32，zcos2，则()Azxy ByzxCzyx Dxz1，由对数函数 ylog3x 的单调性可知 log32log331，又 cos21log320cos2，故选 C.
15、【答案】C【技巧点拨】比较指数函数、对数函数、幂函数值的大小有三种方法：一是将不同的底数转化为相同的底数，然后根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值 0 或 1 等进行比较，常用的结论有，logaa1，a01，loga10；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较2(1)(2017江西五市联考)已知m0.83.1，n4.20.6，plog0.84.2，则m、n、p的大小关系为()Amnp BnpmCpnm Dpmn答案 D解析 由于0.81，所以0m0.83.11，14.20n4.20.6，plog0.84.2log0.810，则m、n、p的大小关系为pmn.(
16、2)(2017银川模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)f(x)对xR恒成立，当x0，1时，f(x)2x，则f(92)()A.12B.2C.22D1答案 B解析 本题考查函数的奇偶性与周期性、指数函数的运算由题意得 f(92)f(92)f(412)f(12)212 2，故选 B.(3)(2017福州八校联考)已知函数 f(x)3ln(x x21)a(7x7x)，xR，则“a0”是函数 f(x)为奇函数的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 C解析 由题意知 f(x)的定义域为 R，易知 yln(x x21)为奇函数，y7x7x 为偶函数当 a0
17、 时，f(x)3ln(x x21)为奇函数，充分性成立；当 f(x)为奇函数时，则 a0，必要性成立因此“a0”是“函数 f(x)为奇函数”的充要条件，故选 C.(4)(2017合肥质检一)已知函数 f(x)(x22x)sin(x1)x1 在1，3上的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm()A4 B2C1 D0答案 A解析 注意到 f(x)(x1)21sin(x1)x1，可令 tx1，g(t)(t21)sintt，则 yf(t)g(t)2，t2，2显然Mg(t)max2，mg(t)min2.又 g(t)为奇函数，则 g(t)maxg(t)min0，所以 Mm4，故选 A.(5)(2017西城区
18、二模)函数 f(x)x|x|.若存在 x1，)，使得 f(x2k)k0，则 k 的取值范围是()A(2，)B(1，)C(12)D(14，)答案 D解析 本题考查利用函数的单调性解不等式由题意，得 f(x)x2，x0，x2，x0，易知函数 f(x)在 R 上单调递增设 g(x)f(x2k)k，则函数 g(x)在 R 上也单调递增，从而只需 f(12k)k0，即(12k)|12k|k12时，(12k)|12k|k(12k)2k0 恒成立；当 k12时，(12k)|12k|k0 即(12k)(12k)k0，解得14k1，又 k12，14k12.综上所述，k 的取值范围(14，)，故选 D.1(201
19、7呼和浩特调研)已知a(2)43，b225，c913，则()Abac BabcCbca Dca25，所以a223225b；因为yx23在(0，)上为单调递增函数，所以a223323c，所以ba0得其定义域为(，0)(2，)，其增区间为(2，)，故p为假命题；函数y13x1 在R上为减函数，其值域为(0，1)，故q为真命题，故pq是真命题3(2017北京)已知函数f(x)3x(13)x，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数答案 A解析 首先，函数 f(x)的定义域为 R，其次，因为 f(x)3x(13)x(
20、13)x3xf(x)，所以函数 f(x)为奇函数易知 y3x在 R 上是增函数，y(13)x在 R 上是减函数由增函数减函数为增函数，可得函数 f(x)3x(13)x在 R 上为增函数故选 A.4(2017武汉 4 月调研)已知函数 f(x)exaex2(aR，e为自然对数的底数)，若 g(x)f(x)与 yf(f(x)的值域相同，则 a的取值范围是()Aa0 Ba1C0a4 Da0 或 00在 R 上恒成立，则 g(x)f(x)在 R 上单调递增，且 f(x)R，令 tf(x)，tR，则 yf(f(x)ef(x)12ef(x)2et12et2，故yR，符合题意，排除 B.故选 A.5(201
21、7马鞍山二中测试)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0，当且仅当 x1 m时，等号成立，所以 2 m13，解得 m1.调研二 图像与零点 图像的变换(1)平移变换：yf(xa)(a0)的图像，可由 yf(x)的图像沿 x 轴方向向左(a)或向右(a)平移 a 个单位得到；yf(x)b(b0)的图像，可由 yf(x)的图像沿 y 轴方向向上(b)或向下(b)平移 b 个单位得到(2)对称变换：yf(x)与 yf(x)的图像关于 y 轴对称；yf(x)与 yf(x)的图像关于 x 轴对称；yf(x)与 yf(x)的图像关于原点对称(3
22、)伸缩变换：ykf(x)(k0)的图像，可由 yf(x)的图像上每一个点的纵坐标伸长(k1)或缩短(0k0)的图像，可由 yf(x)的图像上每一个点的横坐标伸长(0k1)为原来的1k而得到(4)翻折变换：要得到 y|f(x)|的图像，可先画出 yf(x)的图像，然后“上不动，下翻上”即可得到；由于 yf(|x|)是偶函数，要得到 yf(|x|)的图像，可先画出yf(x)的图像，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到利用函数的性质确定函数图像的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图像上的特殊线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用
23、基本函数的图像确定所给函数的图像函数零点的等价关系零点存在性定理考 向 调 研 考向一 函数图像命题方向：1知式选图；2.知图选式；3图像变换；4.函数图像的应用(1)(2017广州综合测试)函数f(x)ln(|x|1)x的大致图像是()【审题】本题考查函数的图像【解析】函数 f(x)ln(|x|1)x，当 x1 时，f(x)ln(x1)x，易知函数 f(x)在(1)上单调递增，观察各选项只有 A选项符合题意，故选 A.【答案】A(2)(2017惠州调研)函数 f(x)(x1x)cosx(x且x0)的图像可能为()【审题】本题主要考查函数的图像，考查利用排除法解图像问题，考查考生分析问题、解决
24、问题的能力【解析】函数 f(x)(x1x)cosx(x且 x0)为奇函数，排除选项 A，B；当 x时，f(x)(1)cos 10，排除选项 C，故选 D.【答案】D【拓展结论】解决由解析式确定函数图像问题往往从以下几方面判断：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置，从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复(3)(2017武昌调研)已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)2x22x Bf(x)cosxx2Cf(x)cos2xxDf(x)cosxx
25、【审题】本题主要考查函数的图像，考查考生的推理判断能力、数形结合能力【解析】A 中，当 x时，f(x)，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当 x0时，f(x)0 时，ylnxx2，则 y1x2x，当 x(0，22)时，y1x2x0，ylnxx2 单调递增，排除 C.选 A.(2)(2017广州模拟)已知函数 f(x)x2，x0，1x，x0，g(x)的图像是选项D 中的图像(3)(2017贵州七校联考)已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)ln|x|xBf(x)exxCf(x)1x21Df(x)x1x答案 A解析 由函数图像可知，函
26、数f(x)为奇函数，应排除B、C项若函数为f(x)x 1x，则x时，f(x)，排除D，故选A.(4)(2016山西四校联考)已知函数f(x)x2ex 12(x0)与g(x)x2ln(xa)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.，1e B(，e)C.1e，eD.e，1e答案 B解析 由题意可得，存在x0(，0)，满足x02ex012(x0)2ln(x0a)，即ex012ln(x0a)0有负根yln(xa)ln(xa)(x0)的图像可由yln(x)(x0时)或向左(a0时)平移|a|个单位得到，由图易得，此时ex12ln(xa)0有负根的条件是lna12，解得a e，要保证ex01
27、2ln(x0a)0有负根，则必须a0，f(x)在 R 上单调递增，又f(12)e74 3740，零点在区间(12，1)上【答案】B(2)(2017江西五市联考)函数f(x)2x6x41的零点个数是()A4 B2C1 D3【审题】本题考查函数的零点个数，考查化归与转化思想【解析】方法1：f(x)12x54x34x3(3x21)，令f(x)0，则 33 x 33，所以f(x)在(33，0)，(33，)上单调递增；令f(x)0，则x33 或0 x33，所以f(x)在(，33)，(0，33)上单调递减又f(0)11，方程f(x)m恰好有4个实数根，则实数m的取值范围是()A(12，32 B(12，2C
28、(32，2)D(2，52【解析】由f(x)f(x)可得f(x)的图像关于y轴对称，结合x0时的解析式可知，f(x)在0，1上单调递增，在(1，)上单调递减，在x1时取得最大值2.又当x1时，f(x)32，再结合对称性可以画出函数yf(x)与ym的图像如图所示由图可知，当函数yf(x)与ym恰好有4个公共点时，32m2.【答案】C(4)(2017杭州质检)设方程xln(ax)(a0，e为自然对数的底数)，则()A当a0时，方程没有实数根B当0ae时，方程有两个实数根【审题】本题考查函数与方程【解析】由xln(ax)得exax，则函数yex，yax图像的交点个数是原方程根的个数当a0时，在第二象限
29、有一个根，A错误；设过原点的直线与yex相切的切点坐标为(x0，ex0)，则ex0 ex0 x0，x01，则切线斜率为e，所以当0ae时，方程有两个实数根，D正确，故选D.【答案】D4(1)(2017海淀区练习)已知函数f(x)1x2x，则f(12)_f(1)(填“”或“2解析 本题考查函数的零点、函数的单调性当 x0 时，函数 y1x与 y2x均为减函数，所以函数 f(x)在(0，)上单调递减，所以 f(12)f(1)；因为 f(12)2 20，f(23)322230，f（1）0，即2k10，3k20，解得12k0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，从而当x0时，f(x)exxf(0)1
30、，所以要使函数f(x)在(0，)上的图像与直线yk有唯一交点，只需k1，故所求实数k的取值范围是(1，)1(2017贵州统考)某地一年的气温 Q(t)(单位：)与时间 t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为 10，令 C(t)表示时间段0，t的平均气温，下列四个函数图像中，最能表示C(t)与 t 之间的函数关系的是()答案 A解析 本题考查函数图像的识别已知该年的平均气温是 10，所以 t12 时，C(12)10，所以排除选项 B；由图知，当 t0，6时，Q(t)的图像关于点(3，0)对称，则 C(6)0，所以排除选项 D；由图知当 t12 时，后几个月的气温是单调递减的，又平均气
31、温应大于 10，所以排除选项 C，故选 A.2(2016黄冈调研)在同一坐标系中画出函数 ylogax，yax，yxa 的图像，可能正确的是()答案 D解析 分 0a1 两种情形，易知 A、B、C 均错，选D.3(2017课标全国，文)函数 y1xsinxx2 的部分图像大致为()答案 D解析 易知函数 g(x)xsinxx2 是奇函数，其函数图像关于原点对称，所以函数 y1xsinxx2 的图像只需把 g(x)的图像向上平移一个单位长度，结合选项知选 D.4(2017郑州质检)已知函数 f(x)(12)xcosx，则 f(x)在0，2上的零点个数为()A1 B2C3 D4答案 C解析 作出
32、g(x)(12)x 与 h(x)cosx 的图像，可以看到其中0，2上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在0，2上的零点个数为 3，故选 C.5(2016河北七校)已知函数 f(x)exx，g(x)lnxx，h(x)x 14 x的零点依次为 a，b，c，则()Acba BabcCcab Dbac答案 B解析 由 f(x)0 得 exx，由 g(x)0 得 lnxx，由 h(x)0 得 x1，即 c1.在平面直角坐标系中，分别作出函数 yex，yx，ylnx 的图像如图所示，由图像可知，a0，0b1，所以 abc.6(2017衡水调研)已知函数 f(x)x2，0 x0)f(x)exf(x)ex
33、f(x)logaxf(x)1xlna(a0，且a1)f(x)lnxf(x)1x 导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)复合函数的导数复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，设yf(u)，ug(x)，则yf(u)g(x)，其中f(u)与g(x)有意义导数的几何意义(1)函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义，就是曲线在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率用好这个条件是解决切线问题的关键，不知道切点时要先设切点(
34、2)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(3)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条二、导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间（a，b）内f（x）大于零f（x）在（a，b）内单调递增等于零f（x）在（a，b）内为常函数小于零f（x）在（a，b）内单调递减由函数 f(x)在区间a，b内单调递增(或递减)，可得 f(x)0(或 f(x)0)在该区间恒成立，而不是 f(x)0(或0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0 附近的
35、左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值(3)“极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，则 x1即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2 处取得极小值，则 x2 为极小值点，极小值为 f(x2)求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)求导函数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)检验 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数 yf(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数 yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成函数的最值在闭区间a，b上的连续函数 yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上的连续函数
36、 yf(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点四、定积分微积分基本定理如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，且 F(x)f(x)，那么abf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)定积分的基本性质(1)abkf(x)dxkabf(x)dx；(2)abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx；(3)abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx.求曲边梯形的面积由曲线 yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)与直线 xa，xb(a0)，根据题意有 f(x)0(x0)恒成立，所以 2ax210(x0)恒成立，即 2a 1x2(x0)恒成立，所以 a0，故实数 a 的
37、取值范围为0，)故选 D.【答案】D(4)(2017湘中名校联考)设 f(x)1x2，x1，1）x21，x1，2，则12 f(x)dx 的值为()A.2 43B.2 3C.4 43D.4 3【审题】本题主要考查定积分的运算及其几何意义，以分段函数为载体，考查运算求解能力【解析】12 f(x)dx111x2dx12(x21)dx1212(13x3x)|212 43，故选 A.【答案】A5(1)(2017南昌十校二模)已知函数 f(x)lnx，g(x)x2mx(mR)，若函数 f(x)的图像在点(1，f(1)处的切线与函数 g(x)的图像相切，则 m 的值为_答案 1 或 3解析 易知 f(1)0
38、，f(x)1x，从而得到 f(1)1，函数f(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为 yx1.方法 1：设直线 yx1 与 g(x)x2mx(mR)的图像相切于点 P(x0，y0)，从而可得 g(x0)1，g(x0)x01.又 g(x)2xm，因此有g（x0）2x0m1，x02mx0 x01，得x02 1，解 得x01，m1 或x01，m3.方法 2：联立yx1，yx2mx，得 x2(m1)x10，所以(m1)240，解得 m1 或 m3.(2)(2017天津，文)已知 aR，设函数 f(x)axlnx 的图像在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_答案 1解析 因
39、为 f(x)a1x，所以 f(1)a1，又 f(1)a，所以切线 l 的方程为 ya(a1)(x1)，令 x0，得 y1.(3)(2017合肥质检一)已知直线 yb 与函数 f(x)2x3 和g(x)axlnx 分别交于 A，B 两点，若|AB|的最小值为 2，则 ab_答案 2解析 设点 B(x0，b)，欲使|AB|最小，曲线 g(x)axlnx 在点 B(x0，b)处的切线与 f(x)2x3 平行，则有 a 1x02，解得x0 12a，进而可得 a 12aln 12ab，又点 A 坐标为(b32，b)，所以|AB|x0b32 12ab32 2，联立方程可解得，a1，b1，所以 ab2.(4
40、)(2017广西二市二模)定义 mina，ba，ab，b，ab，设 f(x)minx2，1x，则由函数 f(x)的图像与 x 轴、直线 x2 所围成的封闭图形的面积为()A.712B.512C.13ln2 D.16ln2答案 C解析 本题考查定积分由题意得所求封闭图形的面积为01x2dx121xdx13x3|10lnx|2113ln2，故选 C.考向二 导数与不等式命题方向：1求单调区间；2.解不等式；3.比较大小；4不等式恒成立，求参数；5.确定函数图像(1)(2016武汉调研)已知函数f(x)x23x2lnx，则函数f(x)的单调递减区间为_【解析】函数f(x)x23x2lnx的定义域为(
41、0，)，f(x)2x3 2x，令2x3 2x 0，即2x23x2x1e的解集是()A(0，e)B(0，1e)C(1e，e)D(e，)【审题】本题主要考查抽象函数的单调性以及求导法则，属于难题准确构造出符合题意的函数是解题的关键【解析】令 g(x)xf(x)，则 f(x)g（x）x，g(x)lnxx，f(x)g（x）xg（x）x2lnxg（x）x2，令 h(x)lnxg(x)，则 h(x)1xg(x)1lnxx，当 0 x0，当xe 时，h(x)0，h(x)h(e)1g(e)1ef(e)0，f(x)0.令(x)f(x)x，则(x)f(x)11x1e可化为(x)(e)，0 xe，故选 A.【答案】
42、A(3)(2017江苏)已知函数 f(x)x32xex 1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_【解析】由 f(x)x32xex 1ex，得 f(x)x32x1exexf(x)，所以 f(x)是 R 上的奇函数，又 f(x)3x22ex1ex3x222ex 1ex3x20，当且仅当 x0 时取等号，所以 f(x)在其定义域内单调递增，所以不等式 f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)f(2a2)a12a2，解得1a12，故实数 a 的取值范围是1，12【答案】1，12(4)(2017石家庄一模)函数f(x)ex3x1(e为自然对数的底数
43、)的图像大致是()【审题】本题主要考查函数的图像，利用导数研究函数的单调性，考查考生的识图能力、运算求解能力【解析】由题意，知 f(0)0，且 f(x)ex3，当 x(，ln3)时，f(x)0，所以函数 f(x)在(，ln3)上单调递减，在(ln3，)上单调递增，结合图像可知，只有选项 D 符合题意，故选 D.【答案】D6(1)(2017西宁检测)定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数是 f(x)，且满足 f(x)f(x)，f(0)1，则不等式f（x）ex1 的解集为_答案(0，)解析 本题考查导数的运算和应用应 g(x)f（x）ex，则 g(x)f（x）f（x）ex0，则 g(x)f（
44、x）ex在 R 上单调递减，又 g(0)f（0）e01，则不等式f（x）ex1g(x)0，故解集为(0，)(2)(2017郑州质量预测)已知函数 f(x)sinx2cosx.若当 x0 时，函数 f(x)的图像恒在直线 ykx 的下方，则 k 的取值范围是()A13，33 B13，)C 33，)D 33，32 答案 B解析 由题意，当 x0 时，f(x)sinx2cosxkx 恒成立由f()0.又 f(x)12cosx（2cosx）2，由切线的几何意义知，要使 f(x)kx 恒成立，必有 kf(0)13.要证 k13时不等式恒成立，只需证 g(x)sinx2cosx13x0，g(x)2cosx
45、1（2cosx）213（cosx1）23（2cosx）2 0，g(x)在(0，)上单调递减，g(x)f(x)恒成立，且 f(1)e3(e 为自然对数的底数)，则下列结论正确的是()Af(0)1 Bf(0)1Cf(2)e6答案 C解析 本题考查导数与函数单调性的关系、利用导数求解不等 式 恒 成 立 问 题 构 造 函 数 F(x)f（x）e3x，则 F (x)f（x）3f（x）e3x0，所以函数 F(x)在 R 上是减函数，所以F(1)F(0)，F(2)f（1）e31，f（2）e61，f(2)e6，故选 C.(4)(2017临沂一模)已知函数 f(x)x(xa)(xb)的导函数为f(x)，且
46、f(0)4，则 a22b2 的最小值为_答案 8 2解析 f(x)x(xa)(xb)x3(ab)x2abx，f(x)3x22(ab)xab.f(0)4，f(0)ab4，a22b22 a22b28 2，当且仅当 a22b2 时取等号考向三 极值、最值和零点命题方向：1求极值、最值；2逆求参数(1)(2016南昌调研)已知函数f(x)x3px2qx的图像与x轴切于(1，0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A 427，0 B0，427C.427，0 D0，427【解析】由题意知，f(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0得32pq0，1pq0，解得p2，q1，f(x)x32x2x，由f
47、(x)3x24x10，得x 13或x1，易得当x 13 时，f(x)取极大值 427，当x1时，f(x)取极小值0.【答案】C(2)(2016江苏灌云高级中学调研)已知函数f(x)x2x，则下列结论正确的是_(填序号)当x 1ln2时，f(x)取最大值；当x 1ln2时，f(x)取最小值；当x 1ln2时，f(x)取最大值；当x 1ln2时，f(x)取最小值【解析】由题意知，f(x)2xx2xln2，令f(x)0，得x1ln2，又当x1ln2 时，f(x)1ln2 时，f(x)0，当x 1ln2时，f(x)取最小值正确【答案】(3)(2017合肥质检二)已知函数f(x)xlnxaex(e为自然
48、对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(0，1e)B(0，e)C(1e，e)D(，e)【审题】本题主要考查极值、利用导数判断函数的单调性，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力【解析】由题易知，f(x)1lnxaex，令f(x)0，得a1lnxex，函数f(x)有两个极值点，则需f(x)0有两个实数根，等价于a1lnxex有两个实数根，等价于直线ya与y1lnxex的图像有两个交点 令g(x)1lnxex，则g(x)1x1lnxex，令h(x)1x 1lnx，得h(x)在(0，)上为减函数，且h(1)0，所以当x(0，1)时，h(x)0，故g(x)0，g(x)为增函数，
49、当x(1，)时，h(x)0，故g(x)0，g(x)为减函数，所以g(x)maxg(1)1e，又当x时，g(x)0，所以g(x)的图像如图所示，故0a1)在区间1，1上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(1，2)B(2，)C131ln2，)D(2，311ln2)【解析】本题考查函数的图像与性质、函数的零点由题得f(x)2xln22xln2(2x1)ln22x，当x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增又f(0)1，f(1)1ln20，f(1)ln2 12 0，所以f(x)0的根所在的区间分别为(1，0)与(0，1)，作出函数y|f(x)|与yloga(x2)(a1)的草图，如
50、图所示 令|f(1)|loga(12)，可得1ln2loga3，解得a311ln2，要使函数g(x)在区间1，1上有4个不同的零点，则必有|f(1)|loga(12)，故可得a311ln2，故选C.【答案】C7(1)f(x)x33x21的极小值点是_答案 2解析 由题意得f(x)3x26x3x(x2)当x0；当0 x2时，f(x)2时，f(x)0.故当x2时取得极小值(2)(2017广东五校诊断)已知函数 f(x)x(lnxax)有极值，则实数 a 的取值范围是()A(，12)B(0，12)C(，12 D(0，12答案 A解析 f(x)xlnxax2(x0)，f(x)lnx12ax.令 g(x
51、)lnx12ax，函数 f(x)x(lnxax)有极值，则 g(x)0 在(0，)上有实根g(x)1x2a12axx，当 a0 时，g(x)0，函数 g(x)在(0，)上单调递增，当x0 时，g(x)，当 x，g(x)，故存在 x0(0，)，使得 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故 f(x)存在极小值 f(x0)，符合题意 当 a0 时，令 g(x)0，得 x 12a.当 0 x0，函数 g(x)单调递增；当 x 12a时，g(x)0，解得 0a0，x22x3，x0，的零点个数为()A1 B2C3 D4答案 C解析 令 g(x)lnxx22x(x0)，则 g(x)1x
52、2x22x22x1x，易得 g(x)在(0，312)上单调递增，在(312，)上单调递减，g(x)maxg(312)ln(312)32 0.当x0时，g(x)，当 x时，g(x)，g(x)有两个零点 当 x0 时，f(x)0 x22x30(x0)x1，函数 f(x)总共有 3 个零点(4)(2016衡水调研)将边长为 1 m 的正三角形薄铁片，沿一条平 行 于 某 边 的 直 线 剪 成 两 块，其 中 一 块 是 梯 形，记 s（梯形的周长）2梯形的面积，则 s 的最小值是_答案 32 33解析 设剪成的小正三角形的边长为 x，则梯形的周长为 3 x，梯 形 的 面 积 为 12 (x 1)
53、32 (1 x)，所 以 s（3x）212（x1）32（1x）43（3x）21x2(0 x1)方法 1：由 s 43（3x）21x2，得 s 43（2x6）（1x2）（3x）2（2x）（1x2）2 432（3x1）（x3）（1x2）2.令 s0，又 0 x1，解得 x13.当 x(0，13)时，s0.故当 x13时，s 取最小值32 33.方法 2：令 3xt，t(2，3)，1t(13，12)，则 s 43t2t26t8 4318t26t1 4318（1t38）218.故当1t38，即 x13时，s 取最小值32 33.1(2017浙江)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图像如图所示，则函
54、数 yf(x)的图像可能是()答案 D解析 根据题意，已知导函数的图像有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数 f(x)在这些零点处取得极值，排除 A、B；记导函数 f(x)的零点从左到右分别为 x1，x2，x3，又在(，x1)上 f(x)0，所以函数 f(x)在(，x1)上单调递减，排除 C，故选 D.2(2016武汉调研)已知 yf(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为 yx1，且 f(x)lnx1，则函数 f(x)的最小值为_答案 1e解析 根据题意，不妨设 f(x)xlnxC，由切线方程知 f(1)0，即 1ln1C0，所以 C0，所以 f(x)xlnx.令 f(
55、x)lnx10，解得 x1e，所以，当 0 x1e时，f(x)1e时，f(x)0，所以，f(x)在(0，1e)上单调递减，在(1e，)上单调递增，所以 f(x)minf(1e)1eln1e1e.3(2016九江调研)已知函数 f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_答案(0，12)解析 f(x)lnxaxx(1xa)lnx2ax1，令 f(x)lnx2ax10 得 lnx2ax1，因为函数 f(x)x(lnxax)有两个极值点，所以 f(x)lnx2ax1 有两个零点，等价于函数 ylnx 与 y2ax1 的图像有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图像，过点(0，1)
56、作曲线 ylnx 的切线，设切点(x0，y0)，则切线的斜率为 k 1x0，切线方程为 y 1x0 x1.切点在切线上，则 y0 x0 x010，又切点在曲线 ylnx 上，则 lnx00，x01，即切点为(1，0)切线方程为 yx1.再由直线 y2ax1 与曲线 ylnx 有两个交点，知直线 y2ax1 位于两直线 y1 和yx1 之间，其斜率 2a 满足：02a0，且 x1，f(x)m（x1）21xx2（m2）x1x（x1）2，记 g(x)x2(m2)x1，要使函数 f(x)在(e，)上有极值点，则方程 x2(m2)x10 有两个不同的实根x1，x2，(m2)240，解得 m0 或 me，
57、所以0 x1 1e e0，所 以 只 需g（e）0，g（1e）0，即e2（m2）e10，（1e）2（m2）1e1e1e2.5(2017深圳调研)设实数 0，若对任意的 x(0，)，不等式 e xlnx 0 恒成立，则 的最小值为()A.1eB.12eC.2eD.e3答案 A解析 本题考查导数及其应用当 x(0，1时，0，不等式 exlnx0 显然成立，可取任意正实数；当 x(1，)时，exlnx0exlnxxexlnxelnx，设函数 f(x)xex(x0)，而 f(x)(x1)ex0，则 f(x)在(0，)上单调递增，那么由 xexlnxelnx可得 xlnxlnxx.令 g(x)lnxx(
58、x1)，而 g(x)1lnxx2，易知函数 g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，那么 g(x)maxg(e)1e，则有1e.综上分析可知，的最小值为1e，故选 A.6(2017山西四校)函数 f(x)2x33x21，x0，eax，x0在2，3上的最大值为 2，则实数 a 的取值范围是()A13ln2，)B0，13ln2C(，0 D(，13ln2答案 D解析 由题意，得当 x2，0时，f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当 x2，1时，f(x)单调递增；当 x1，0时，f(x)单调递减所以 f(x)maxf(1)2.所以 eax2 在(0，3上恒成立，即 a(ln2x)minln23.故选 D.请做：小题专练 作业（十四）
