1、15.3定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质知识点一定积分的概念思考分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限梳理一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxf(
2、i)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式知识点二定积分的几何意义思考1根据定积分的定义求得(x1)dx的值是多少？答案(x1)dx.思考2(x1)dx的值与直线x1，x2，y0，f(x)x1围成的梯形面积有何关系？答案相等梳理从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义注意：f(x)0(图象在x轴的下方时，f(x)dx0，f(x)dx等于曲边梯形的面积知识点三定积
3、分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)吗？答案直线xc把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即SS1S2.梳理(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)类型一利用定积分的定义求定积分例1利用定积分的定义，计算(3x2)dx的值解令f(x)3x2.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(
4、2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，则Sn()x2012(n1)55.(3)取极限(3x2)dxSn ().反思与感悟利用定义求定积分的步骤跟踪训练1利用定积分的定义计算(x2)dx.解令f(x)x2.将区间2,3平均分为n个小区间，每个小区间的长度为xi，xi1，xi2，2，i1,2，n.取ixi2，则f(i)224.则f(i)xi (4) ()n4.(x2)dx (4).类型二利用定积分的几何意义求定积分例2说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值(1)2dx；(2)xdx；(3)dx.解(1)2dx表示的是图中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2
5、dx2.(2)xdx表示的是图中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx.(3)dx表示的是图中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx.引申探究1将例2(3)改为利用定积分的几何意义求dx.解dx表示的是图中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，dx.2将例2(3)改为利用定积分的几何意义求dx.解dx表示的是图中阴影部分所示半径为1的圆的面积，其值为，dx.3将例2(3)改为利用定积分的几何意义求(x)dx.解由定积分的性质得，(x)dxxdxdx.yx是奇函数，xdx0.由例2(3)知dx.(x)dx.反思与感悟利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的
6、值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，直线xb及x轴所围成的平面图形的形状常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形跟踪训练2利用定积分的几何意义，求：(1)dx；(2)(2x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示，其面积S32.由定积分的几何意义，知dx.(2)在平面上，f(x)2x1为一条直线(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3，y0所围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)，其面积S(17)312.根据定积分的几何意义，知(2x1)dx12.类型三利用定积分的性质求定积分例3已知x3dx，x3dx，x2d
7、x，x2dx，求下列各式的值(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)(3x3)dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12.(2)(6x2)dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126.(3)(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx32.反思与感悟若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在a，a上连续，则(1)若函数f(x)为奇函数，则f(x)dx0.(2)若函数f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.跟踪训练3(1)已知定积分f(x)dx8，且f(x)是偶函数，则f(x)dx_.(2)(x33)_.答案(1)
8、16(2)6解析(1)f(x)dx2f(x)dx2816.(2)(x33)dxx3dx3dx，yx3是奇函数，x3dx0，又3dx6，(x33)dx6.(3)已知f(x)g(x)dx12，g(x)dx6，求3f(x)dx.解f(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx12，又g(x)dx6，f(x)dx6.3f(x)dx3f(x)dx3618.1下列结论中成立的个数是()x3dx；x3dx；x3dx.A0B1C2D3答案C解析成立2关于定积分a(2)dx的叙述正确的是()A被积函数为y2，a6B被积函数为y2，a6C被积函数为y2，a6D被积函数为y2，a6答案C解析由定积分的概念可知，(2)
9、dx中的被积函数为y2，由定积分的几何意义知，(2)dx等于由直线x1，x2，y0，y2所围成的图形的面积的相反数，(2)dx236.3下列等式不成立的是()Amf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxBf(x)1dxf(x)dxbaCf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxDsinxdxsinxdxsinxdx答案C解析由定积分的性质可得A、B、D正确，故选C.42(x2)dx_.答案5解析(x2)dxS2S13222，故2(x2)dx5.5计算：解由定积分的几何意义得，()22.由定积分的几何意义得，0.所以52.1定积分f(x)dx是一个和式f(i)的极限，是一个常数2可以
10、利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分3定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算课时作业一、选择题1根据定积分的定义，x2dx等于()A.()2B()2C.()2D()2答案D解析根据定积分的定义，x2dx()2.2已知f(x)x3xsinx，则f(x)dx的值()A等于0B大于0C小于0D不确定答案A解析f(x)f(x)，f(x)是奇函数，f(x)dx0.3下列定积分的值等于1的是()AxdxB(x1)dxCdxD1dx答案D解析A项，xdx，C项，dx，B项，(x1)dx，D项，1dx1，故选D.4直线x1，x1，y0及曲线yx3sinx围成
11、的平面图形的面积可表示为()A(x3sinx)dxB2(x3sinx)dxC.D(x3sinx)dx答案B解析yx3sinx是奇函数，其图象关于原点对称，直线x1，x1，y0及曲线yx3sinx围成的图形面积可表示为2(x3sinx)dx.5由直线yx，yx1及x轴围成的平面图形的面积为()A(1y)ydyBCDx(x1)dx答案C解析联立解得故A(，)由图知阴影部分的面积可表示为6与定积分相等的是()A|BCsinxdxD答案C解析当x0，时，sinx0；当x(，时，sinxabBabcCabcDacb答案B解析根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxbc，故选B.8若|56x|dx201
12、6，则正数a的最大值为()A6B56C36D2016答案A解析由|56x|dx56|x|dx2016，得|x|dx36，|x|dxa2，a236，即0a6.故正数a的最大值为6.二、填空题9若f(x)dx1，3f(x)dx2，则f(x)dx_.答案解析f(x)dxf(x)dx1，f(x)dx2.又3f(x)dx3f(x)dx2，f(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx2.10如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为_答案dx解析由定积分的定义可得11xdx_.答案解析xdxdxxdx.dx表示以(3,0)为圆心，3为半径的圆的面积的，即dx.xdx32.xdx.12若x2dx9，则常数T的值为_答案3解析令f(x)x2.分割将区间0，Tn等分，则x.近似代替、求和取i(i1,2，n)，Sn()22(1222n2)(1)(2)取极限S29, T327，T3.三、解答题13如图所示，抛物线yx2将圆x2y28分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为，求(x2)dx.解解方程组得x2.阴影部分的面积为(x2)dx.圆的面积为8，由几何概型可得阴影部分的面积是8()2.由定积分的几何意义得，(x2)dx(x2)dx.
