1、专题13：空间的平行与垂直问题班级 姓名 一、前测训练1,3,51如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若D，E是棱CC1，AB的中点，求证：DE平面AB1C1ABCA1B1C1DED提示：法一：用线面平行的判定定理来证：“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形“中心投影法”：取B为投影中心，延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DEAM法二：用面面平行的性质 取BB1中点G，证平面DEG平面AB1C1A1D1ABCDB1C12在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面B1D1C提示：用面面平行的判定定理证： 证明BDB1D1，A1BD1CA1
2、D1ABCDB1C1MO3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O（1）求证：A1O平面MBD；（2）若AB2，求点B1到平面BDM的距离提示：用线面垂直的判定定理： 证BD平面AA1C1C，从而得出BDA1O； 在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1OOM； CDBAP4如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PBPD求证：平面PBD平面PAC提示：设BD与AC交于点O，证BDAC，BDOP， 从而得出BD平面PACBCAV5如图，已知VB平面ABC，侧面VAB侧面VAC，求证：VAC是直角三角形提示：过B作BDVA，垂足为D， 由侧面VAB侧面VA
3、C，得出BD侧面VAC，从面BDAC， 由VB平面ABC，得ACVB，从而AC平面VAB 所以ACVA二、方法联想1证明线面平行或PA B AB PM N M N 方法1 构造三角形(中心投影法)寻找平面内平行直线步骤：在直线和平面外寻找一点P（一般情况下，P为几何体的顶点）；连接PA交平面于点M；连接PB交平面于点N，连接MN即为要找的平行线AMNB方法2：构造平行四边形(平行投影法) 寻找平面内平行直线步骤，如下图：选择直线上两点A、B构造两平行直线（投影方向通常选择几何体的棱所在直线的方向，大多数情况是取点连接）和平面相交于M、N；连接MN即为要找的平行线ABCAC方法3：构造面面平行构
4、造平行平面步骤，如下图：过A做AC平行于平面内一条直线AC；连结BC；平面ABC即为所要找的平行平面证明线线平行的常见方法有 方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形；方法3：利用相似三角形平行线段成比例；方法4：利用平行公理已知线面平行ml方法 过直线l作（找）平面交已知平面于直线m，则lm【变式】（1）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D、E是棱CC1，AB的上的点，且AEAB，ABCDEPHG若DE平面AB1C1，求的值（已知线面，转化为线线平行）（2）E，P，G，H分别是四面体的棱ABCD的棱NAB、CD、CA、CB的中点，求证：PE平面PGH（通过面面的平行证明线面平行）2面
5、面平行证明 方法 在一个平面内寻找两条相交直线，证明与另一个平面平行注意 证面面平行只有一个定理，不可以用线线平行来证面面平行【变式】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1A的中点点F在棱CC1上，使得平面EB1D1平面BDF 求证：点F为棱CC1的中点3证明线面垂直ABlC方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直证明线线垂直的常见方法有 方法1：利用线面垂直；方法2：利用线线平行；方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一；方法5：利用菱形对角线互相垂直； 求点到平面的距离 方法1 找出或作点到平面的垂线段，先证明，再计算 方法2 利用棱锥体积法，将点到平面的距离转化为某一三棱
6、锥的高，利用等体积法求解，即S1h1S2h2【变式1】在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1BC DA1BCC1B1DA【变式2】在正三棱柱ABCA1B1C1中， D为BB1的中点， A1BCD，求证：AA1AB【变式3】（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC交BD于O，点M在棱CC1上，且A1O平面MBD，求证：M为棱CC1的中点（线面垂直得线线垂直）（2）在四面体ABCD中，ADBC，CACBCD1，BD，则ABC的面积为_（计算证明线线垂直）（3）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB1BC1，求证：A1CBC1ABCA1B1C1（利
7、用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的垂直转化为线面的垂直）4证明面面垂直关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直找垂线的一般方法：（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；（2）找（或作）两平面交线的垂线（3）直接寻找其中一个平面的垂线已知面面垂直优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直PABCD【变式】在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAD是正三角形，DC/AB，DADC2AB求证：平面PBC平面PDC.（存在第三个面与其中一个面垂直）提示1：取PD中点M，则AM平面PDC，下面只需将AM平移到平面PBC内提示2：作出平
8、面PAD与平面PBC的交线PN，只需证明PN平面PDC三、例题分析ACDBEPF例1在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB (1)若F为PC的中点，求证：PC平面AEF；(2)求证：CE平面PAB证明：(1)在ABC中，ABC90，BAC60， AC2AB，又PA2AB，ACPA， F为PC的中点，AFPC； PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD， ACD90，CDAC， ACPAA，CD平面PAC， PC平面PAC，CDPC，E为PD的中点，F为PC的中点，EFCD，EFPC，ACDBEPFAFEFF，PC平面AEF (
9、2)提示：中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CEPG 平行投影法：取PA中点M，过C作CNAD交AB于N 证四边形CEMN是平行四边形，从而得CEMN 面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH平面PAB【教学建议】 1首先要认识立体图形，即四棱锥底面的形状，顶点与底面的关系，这是证题关键2立体几何中证明位置关系的方法并不多，对立体图形了解越多，方法就越简单，也很容易找到平行线、垂线、垂面等 例2如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE平面ABCDCEABDF （1）求证：ABEF； （2）求证：平面BCF平面CDEF证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD，因
10、为平面CDEF，平面CDEF，所以AB平面CDEF 因为平面ABFE，平面平面，所以ABEF （2）因为DE平面ABCD，平面ABCD，所以DEBC 因为BCCD，平面CDEF，所以BC平面CDEF 因为BC平面BCF，平面BCF平面CDEF 【教学建议】1线面平行的性质定理，是学生的薄弱点，它的使用是唯一的，需要找到一个过线的平面即可这方面就加强训练特别注意五面体是由五个平面围成的一个几何体 2.证明面面垂直方法3，直接找其中一个平面的垂线例3如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点 (1)求证：ADPC；(2)求三棱锥PADE的体
11、积；ABDCEP(3)在线段AC上是否存在一点M，使得PA平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由证明(1) PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD， 底面ABCD为矩形，ADDC，又PDDCD， AD平面PDC，PC平面PDC， ADPC； (2)由(1)知AD平面PDC，AD的长为A到平面PDE的距离， 在直角三角形PDC中，E为PC中点，PDDC4， SPDE4，VPADEVAPDESPDEAD42 (3) 当M为AC中点时，PA平面EDM，即在线段AC上存在一点M，使得PA平面EDMM为AC中点，E为PC中点，EMPA，又PA平面EDM，EM平面EDM，PA平面ED
12、M此时AMAC【教学建议】1本题主要涉及证明线线垂直，体积计算与探究命题成立的条件，要分清PA平面EDM是条件还是结论2证明空间两条异面直线垂直问题，通常是证明一条直线垂直与另一条直线所在的一个平面； 多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积3对命题条件的探索常采用以下三种方法： 先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；四、反馈练习空间四边形ABCD的两条对角线AC和BD的长分别为8和6，它们所成的角为90，AB，CD的中点分别为M，N
13、，则MN的长为答案：(考查：空间中直线的平行与垂直). 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCEBC，点F在BE上，当时，有DE平面ACF答案：(考查：线面平行的性质定理)PCDBA已知PABC为正三棱锥，D为BC的中点，则直线BC与平面PAD的位置关系是答案：垂直(考查：线面垂直的判定定理)在ABC中，ACB90，AB8，BAC60，PC平面ABC，PC2，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为答案：(考查：线面垂直的性质，点到直线的距离)P如图，PA菱形ABCD所在的平面，M是PC上的一个动点，当点M满足时，平面MDB平面PCD答案：或(考查：线面垂直，面面垂直的判定定理)6已知
14、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为答案：(考查：线面垂直的判定定理，体积变换)如图，等边ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BDAE，BD2AE，AEAB，M为AB的中点（1）证明：CMDE；（2）在边AC上找一点N，使CD平面BEN.答案：(2)N为靠近A的三等分点(考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的性质；线面平行的性质定理)8如图，在四棱锥PABCD中，O为AC与BD的交点，AB平面PAD，PAD是正三角形， PABCDOEDC/AB，DADC2AB.（1）若点E为棱PA上一点，且OE平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC平
15、面PDC.证 （1）因为OE平面PBC，OE平面PAC，平面PAC平面PBCPC，所以OEPC，所以AOOCAEEP 因为DC/AB，DC2AB，所以AOOCABDC12.所以 （2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD因为PAD是正三角形，DADC，所以DPDC因为F为PC的中点，所以DFPC. 因为AB平面PAD，所以ABPA，ABAD，ABPD因为DC/AB，所以DCDP，DCDA设ABa，在等腰直角三角形PCD中，DFPFa在RtPAB中，PBa在直角梯形ABCD中，BDBCa因为BCPBa，点F为PC的中点，所以PCFB在RtPFB中，FBa 在FDB中，由DFa，FBa，BDa，可
16、知DF2FB2BD2，所以FBDF由DFPC，DFFB，PCFBF，PC、FB平面PBC，所以DF平面PBC又DF平面PCD，所以平面PBC平面PDC 法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MFDC，MFDC因为DC/AB，ABDC，所以MFAB，MFAB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AMBF 在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AMPD因为AB平面PAD，所以ABAM又因为DC/AB，所以DCAM因为BF/AM，所以BFPD，BFCD又因为PDDCD，PD、DC平面PCD，所以BF平面PCD 因为BF平面PBC，所以平面PBC平面PDC. (考查：线面平行
17、的性质定理；面面垂直的判定定理)PABCOEFG如图，平面PAC平面ABC，点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点，ABBCAC4，PAPC2求证：（1）PA平面EBO；（2）FG平面EBO(考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理，面面平行的性质)10已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC，如图所示(1)求证：BC平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由答案：（3）(考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理；面面垂直的判定定理和性质定理)11已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，BAD(1)求证：平面BCF平面AED；(2)若BFBDa，求四棱锥ABDEF的体积答案：（）a3(考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式)2如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积答案：（）(考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换)
