1、专题5：三角函数的图象与性质(两课时)班级 姓名 一、前测训练1(1) 若，且为第四象限角，则的值等于_答案： 解析：由，且为第四象限角，则，则 (2)已知sin2cos0，则2sincoscos2的值是_.答案：1解析：由已知可得，sin2cos，即tan22sincoscos2 (3)已知sincos，(0，)，则cossin ，tan 答案：；解析：sincos，(0，)，且sincos21，得到sin，cos 2 (1) 函数y的定义域为 答案：k ，k，kZ解析： sin(2x)0，则2k2x2k，则xk ，k (2) 函数ysin(2x)，x0，的值域为 答案： ，1解析：x0，2
2、x，sin(2x)，1 (3) 函数单调减区间为 答案：，kZ解析：2k3x2k，则x， (4)函数ysin(2x)的对称轴方程为 ；对称中心坐标为 答案：x，kZ；(，0) ，kZ解析：对成轴：2x2k即x 对称中心的横坐标满足2xk，则对称中心坐标为 (，0) ，kZ3(1)函数的值域是 答案： ，解析：，所以f(x). ， (2)函数y4sin2x12cosx1，x ，的值域为 答案：13，8解析：y4(1cos2x)12cosx1，令cosxt，则t，1y4t12t3在t，1上单调递减，y13，8 (3)函数ysinxcosx2sinxcosx2(x0，)的值域为 答案：，3解析：令s
3、inxcosxt，tsin（x），则t1，sinxcosxt两边平方，得到2sinxcosxt1，ytt1，则t时，y取得最小值；t时，y取得最大值3 (4)函数y的值域为 答案： (，0提示：方法一：看作斜率，数形结合处理； 方法二：导数法处理 解析：点A（cosx，sinx）在以原点为圆心、1为半径的圆上，B（1，1）则的几何意义是直线AB的斜率，通过作图观察，可以得到y的值域为(，04(1)已知函数yAsin(2x)的对称轴为x，则的值为 答案：k，kZ解析：2k，得到k (2)已知函数ycos(2x)为奇函数，求的值为 答案：k，kZ5已知函数f(x)Asin(wx)，xR (其中A0
4、，w0，0)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(,2)，则f(x)的解析式为 答案：f(x)2sin(2x)解析： ，得到2；2k，得到二、方法联想1三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2)关于sin与cos的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1sin2cos2构造齐次(3)sincos，sincos，sincos间关系式sincossincossincossin和costansin2注意 根据角的范围确定三角函数值正负无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围变式1、已知是第三象限角，且sin2co
5、s，则sincos 答案：解析：构造方程组，求解sin，cos(构造方程组求解sin，cos)变式2、若tan ，则cos2sin2_答案： 解析：根据正切，求正余弦；或者添分母1sin2cos2构造齐次分式（已知三角函数正切值，求二次齐次式值）变式3、定义在区间0,3上的函数ysin2x的图象与ycosx的图象的交点个数是 .答案：7解析：由，因为，所以共7个（已知三角函数值求角）2yAsin(x)的性质对于yAsin(x)，将x看成整体，转化为ysinx，解决其定义域、值域、对称轴、中心对称点问题形如yasin2xbsinxcosxccos2x的形式方法 先利用降幂公式化为一次形式，将用辅
6、助角公式化为yAsin(2x)形式求值域形如含有sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；含有sinxcosx，sinxcosx方法 利用换元法转化为二次函数值域问题形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式方法1 化为sin(x)M形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|1，|cosx|1)求值域方法2 导数法变式1、为得到函数的图像,只需将函数的图像向左平移 个单位. 答案：(先平移后伸缩)变式2、已知函数f(x)cosxsinxcosx（0）的周期为. 当x0，时，求函数f(x)的值域.答案：0，1 （化为一个三角函数，求解函数的值域）3求f(x)
7、Asin(wxj)B(A0)的解析式方法 (1)由周期T得w；(2)由得 (3)将点代入求j(尽量代入最高点或最低点)变式1、设函数,若存在实数,使得对任意,都有成立,则的最小值为 .答案：2(最值与周期)4三角函数对称问题方法 对于函数yAsin(x)或yAcos(x)若xx0为对称轴f(x0)A若(x0，0)为中心对称点f(x0)0推论：对于函数yAsin(x)或yAcos(x)若函数yf(x)为偶函数f(0)A若函数yf(x)为奇函数f(0)0变式1、已知函数,若是偶函数,则 . 答案：(函数名的转换)变式2、已知函数f(x)sin(2x)(0x)，且f()f()()，则 答案： 解析：
8、直接求角或者利用三角函数的对称性（已知三角函数值求角）变式3、已知函数f(x)sin(wxj)(0,),x 为f(x)的零点，x为yf(x)图像的对称轴,且f(x)在(,)单调,则的最大值为_答案：9 (已知三角函数对称轴和单调性等性质，求参数范围)三、例题分析例1 已知函数f(x)2sinx2cosx(1)若x0，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)0，求的值解(1) (2)2解析：（1）4sin(x)x0,，则x，（2），sin(x)0,xk,xk，tanx又2教学建议(1)主要问题归类与方法： 求三角函数周期、单调区间、最值等性质的问题化为yAsin(x)形式，使得函数式中只含有
9、一个一次的三角函数 方法选择与优化建议：采用辅助角的方法“化一”，在求最值得时候特别要注意角的范围，要防止学生只是将两个端点代入计算(2)主要问题归类与方法： 三角函数求值 知一求其余三角函数值； 关于sin与cos的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1sin2cos2构造齐次方法选择与优化建议：对于方法，从已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于题目没有给定角x的范围，所以采用这个方法的话，就需要分类讨论，解决起来比较麻烦，不宜采用由于可以化为sin与cos的齐次式，所以选择方便 例2已知函数f(x)sin2xcosx.()求f(x)的最小周期和最小值，()
10、将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像.当x，时，求g(x)的值域.答案：（）的最小正周期为，最小值为，（）.解析：(1) sin（2x）因此的最小正周期为，最小值为.(2)由条件可知：g(x)sin（x）.当x，时，有x，从而sin（x）的值域为，那么sin（x）的值域为.故在区间，上的值域是.教学建议(1)主要问题归类与方法： 求三角函数周期、单调区间、最值等性质的问题化为yAsin(x)形式，使得函数式中只含有一个一次的三角函数 方法选择与优化建议：采用展开、降幂等方法“化一”(2)主要问题归类与方法： 求三角函数的最值问题常用的方法有化
11、为只含有一个一次的三角函数yAsin(x)形式；通过换元等办法将函数化为二次函数处理方法选择与优化建议：由第一问知道，本题可以化为只含有一个一次的三角函数yAsin(x)形式，所以选择方便例3 已知向量a(3sin，cos)，b(2sin， 5sin4cos)，(，2)，且ab (1)求tan的值；(2)求cos()的值解 (1) tan(2) 解析：ab，ab0而a（3sin，cos），b(2sin, 5sin4cos)，故ab6sin25sincos4cos20由于cos0，6tan25tan4 0解之，得tan，或tan（），tan0，故tan（舍去）tan（2）（），由tan，求得，2
12、（舍去） cos() 教学建议(1)主要问题归类与方法： 三角函数求值 知一求其余三角函数值； 关于sin与cos的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1sin2cos2构造齐次方法选择与优化建议：ab化简后得到sin与cos的齐次式，同除以cos2a求得tan值，所以选择方法方便(2)主要问题归类与方法： 三角变换问题 方法选择与优化建议：注意条件已知角与未知角之间的联系，从化到例4 已知函数f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数(1)求的值；(2)求的值解（1）；（2）或2.解析：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即
13、sin（-x+）=sin（x+），所以-cossinx=cossinx，对任意x都成立，且0，所以得cos=0依题设0，所以解得=，由f（x）的图象关于点M对称，得f（-x）=-f（+x），取x=0，得f（）=sin（+）=cos，cos0，又0，得+k，k=1，2，3，=（2k+1），k=0，1，2，当k=0时，=，f（x）=sin（x+）在0，上是减函数，满足题意；当k=1时，=2，f（x）=sin（2x+）在0，上是减函数；当k=2时，=，f（x）=sin（x+）在0，上不是单调函数；所以，综合得或2.教学建议(1)主要问题归类与方法： 三角函数图象轴对称问题 函数f(x)sin(x)(
14、0，0)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y轴对称方法选择与优化建议：从f(x)为偶函数很容易得到f(0)sin 1，从而有k，这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆(2)主要问题归类与方法： 三角函数图象中心对称问题函数f(x)sin(x)(0，0)图象关于点M对称方法选择与优化建议：从f0，可以得到cos0，于是k，k(kZ)再结合函数的单调性推导出的值四、反馈练习1（1）已知sin，并且是第二象限角，则cos等于 答案：解析：sincos21（2）设0x2，且sinxcosx，则x的取值范围是 答案：，解析：由题意得sinxcosx，则x， （3）已知tan3，且，则cossin 答
15、案：解析：3且 sincos21，得到sin与cos的值 （4）若cos2sin，则tan 答案：2解析：结合sincos21，得到sin与cos的值说明：考查同角三角函数的基本关系式。2（1）sin()的值是 . 答案：解析：sin（）sin（） （2）化简 = 答案：解析：利用诱导公式 （3）设asin，bcos，ctan，则a、b、c的大小关系是 答案：解析：sin，利用单位圆中的三角函数线，判断大小(4)设a,bR,c0,2)，若对任意实数x都有2sin(3x)asin(bxc)，则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为 . 答案:4解析：因为，所以.当确定时，唯一.若，则；若，则
16、；若，则；若，则；故有4种组合.3（1）在同一平面直角坐标系中，函数ycos()(x0,2)的图象和直线y的交点个数是 答案：2解析：，得到ysin，做出图像（2）已知0,在函数y2sinx与y2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 _.答案： 解析：由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为 , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内， .（3）函数f(x)sin(2x)cos(2x)的最小正周期和最大值分别为_和_答案：；解析：展开后得到ysin2x（4）函数f(x)cos(2x)2sinx的最小正周期为 答案：解析：展开并利用降幂公式，得到ysin（2x）（5）设，则函数
17、的最小值为 .答案：解析：令tsinx（0，1，利用y的单调性得到最小值说明：考查正弦函数、余弦函数的图象和性质4（1）如图所示，与函数yAsin(x)，A0，0，|0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的_条件答案：必要不充分解析：f(x)是奇函数，则k（5）已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_答案：解析：由题意知，=2，因为x0，所以2x-，由三角函数图象知：f（x）的最小值为3sin(-)=-，最大值为3sin=3，所以f（x）的取值范围是-，3故答案为：说明：考查函数的图像及参数对函数图像变化的影响和
18、函数的图像与正弦曲线的关系要特别关注其中角的整体代换思想，将问题转化为对或的图象的研究5 函数f(x)3sin的部分图像如图所示 (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值答案：（1）；x0，y03. （2）0，3解析：(1)f(x)的最小正周期为.x0，y03.(2)因为x，所以2x.于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.说明：考查正弦函数的图象和性质6已知函数（）求最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.答案：（） ；（）最大值为，最小值为0解析：（）因为所以函数的最小正周期为.（）由（）得
19、计算结果，当 时，由正弦函数在上的图象知，当，即时，取最大值；当，即时，取最小值.综上，在上的最大值为，最小值为.说明：考查正弦函数的图象和性质，方法为“化一”7已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期为.(1)求的值； (2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)1.(2f(x)在区间上单调递增， 在区间上单调递减.解析：（1）f（x）=4cosxsin（x+）=2sinxcosx+2cos2x=（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）+，所以T=，=1（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0x，所以2x+，当2x+时，即0x时，f（x）是增函数，当2x+时，
20、即x时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间0，上单调增，在区间，上单调减说明：考查正弦函数的图象和性质，方法为“化一”7、（泰州市2016届高三第一次模拟）一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为设弧度，小球从到所需时间为（1）试将表示为的函数，并写出定义域；（2）求时间最短时的值 说明：考查三角函数中的建模，综合应用三角、导数等知识解决问题解析：（1）过作于，则，所以，（2）， 记，-0+单调递减极小值单调递增故当时，时间最短8 （2016年天津）已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.()求f(x)的定义域与最小正周期；（）讨论f(x)在区间上的单调性.解：令函数的单调递增区间是由,得 设，易知.所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减. (考查三角函数图像与性质).
